Corrélation Croisée entre Deux Signaux Discrets
Comprendre la Corrélation Croisée entre Deux Signaux Discrets
On considère deux signaux discrets \(x[n]\) et \(y[n]\), définis comme suit sur l’intervalle \(0 \leq n \leq 4\):
\[
x[n] = [3, 5, 2, -1, 4]
\]
\[
y[n] = [1, -1, 0, 3, -2]
\]
On souhaite calculer la corrélation croisée de ces deux signaux, définie par la formule suivante pour un décalage \(k\) :
\[
R_{xy}[k] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \cdot y[n-k]
\]
Dans le cadre de cet exercice, nous allons limiter le calcul à \(k\) variant de -4 à 4, étant donné la longueur finie des signaux.
Pour les valeurs de \(n\) pour lesquelles \(y[n-k]\) n’est pas défini (parce que \(n-k\) est hors de l’intervalle \(0 \leq n \leq 4\)), \(y[n-k]\) est considéré comme étant égal à 0.
Objectifs:
1. Calculer \(R_{xy}[k]\) pour \(k = -4, -3, …, 3, 4\).
2. Identifier la valeur de \(k\) pour laquelle la corrélation croisée est maximale.
Correction : Corrélation Croisée entre Deux Signaux Discrets
1. Calcul de \(R_{xy}[k]\) pour chaque valeur de \(k\)
La corrélation croisée est calculée en utilisant la formule :
\[ R_{xy}[k] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \cdot y[n-k] \]
Calculs :
- Pour \(k = -4\):
\[ R_{xy}[-4] = x[4] \cdot y[0] \] \[ R_{xy}[-4] = 4 \times 1 = 4 \]
- Pour \(k = -3\):
\[ R_{xy}[-3] = x[3] \cdot y[0] + x[4] \cdot y[1] \] \[ R_{xy}[-3] = (-1) \times 1 + 4 \times (-1) \] \[ R_{xy}[-3] = -5 \]
- Pour \(k = -2\):
\[ R_{xy}[-2] = x[2] \cdot y[0] + x[3] \cdot y[1] + x[4] \cdot y[2] \] \[ R_{xy}[-2] = 2 \times 1 + (-1) \times (-1) + 4 \times 0 = 3 \]
- Pour \(k = -1\):
\[ R_{xy}[-1] = x[1] \cdot y[0] + x[2] \cdot y[1] + x[3] \cdot y[2] + x[4] \cdot y[3] \] \[ R_{xy}[-1] = 5 \times 1 + 2 \times (-1) + (-1) \times 0 + 4 \times 3 \] \[ R_{xy}[-1] = 15 \]
- Pour \(k = 0\):
\[ R_{xy}[0] = x[0] \cdot y[0] + x[1] \cdot y[1] + x[2] \cdot y[2] + x[3] \cdot y[3] + x[4] \cdot y[4] \] \[ R_{xy}[0] = 3 \times 1 + 5 \times (-1) + 2 \times 0 + (-1) \times 3 + 4 \times (-2) \] \[ R_{xy}[0] = -13 \]
- Pour \(k = 1\):
\[ R_{xy}[1] = x[0] \cdot y[1] + x[1] \cdot y[2] + x[2] \cdot y[3] + x[3] \cdot y[4] \] \[ R_{xy}[1] = 3 \times (-1) + 5 \times 0 + 2 \times 3 + (-1) \times (-2) \] \[ R_{xy}[1] = 5 \]
- Pour \(k = 2\):
\[ R_{xy}[2] = x[0] \cdot y[2] + x[1] \cdot y[3] + x[2] \cdot y[4] \] \[ R_{xy}[2] = 3 \times 0 + 5 \times 3 + 2 \times (-2) \] \[ R_{xy}[2] = 11 \]
- Pour \(k = 3\):
\[ R_{xy}[3] = x[0] \cdot y[3] + x[1] \cdot y[4] \] \[ R_{xy}[3] = 3 \times 3 + 5 \times (-2) \] \[ R_{xy}[3] = -1 \]
- Pour \(k = 4\):
\[ R_{xy}[4] = x[0] \cdot y[4] \] \[ R_{xy}[4] = 3 \times (-2) = -6 \]
2. Identification de la valeur de \(k\) maximale
La valeur maximale de \(R_{xy}[k]\) est \(15\), qui se produit pour \(k = -1\).
Résumé et interprétation:
Les valeurs calculées montrent comment la similarité entre les deux signaux varie en fonction du décalage \(k\).
La corrélation croisée est maximale pour \(k = -1\), ce qui signifie que lorsque le signal \(y[n]\) est décalé d’une unité vers la gauche par rapport à \(x[n]\), ils sont les plus similaires.
Ceci est un indicateur important dans l’analyse de signaux pour identifier le retard ou l’avance d’un signal par rapport à l’autre.
Corrélation Croisée entre Deux Signaux Discrets
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