Vitesse d’un Moteur CC à l’aide d’un Contrôleur PI
Comprendre la Vitesse d’un Moteur CC à l’aide d’un Contrôleur PI
Un ingénieur en électricité travaille sur la conception d’un système de contrôle pour un moteur électrique à courant continu (CC) utilisé dans une usine de production.
Le moteur doit maintenir une vitesse de rotation constante malgré les variations de charge. Pour ce faire, un contrôleur Proportionnel-Intégral (PI) est utilisé.
Caractéristiques du Système
Le système comprend :
Un moteur à courant continu avec les caractéristiques suivantes :
- Résistance de l’armature \(R_a = 2\, \Omega\)
- Inductance de l’armature \(L_a = 0.5\, H\)
- Constante de couple \(K_t = 0.1\, Nm/A\)
- Constante de force contre-électromotrice \(K_e = 0.1\, V/(rad/s)\)
- Moment d’inertie \(J = 0.01\, kg \cdot m^2\)
- Frottement visqueux \(B = 0.01\, Nm \cdot s\)
Le contrôleur PI a les paramètres suivants :
- Gain proportionnel \(K_p = 50\)
- Gain intégral \(K_i = 200\)
L’objectif est de concevoir et d’analyser le système de contrôle afin de maintenir une vitesse de rotation souhaitée de \(\omega_d = 100\, rad/s\) malgré une charge perturbatrice.
Questions:
1. Modélisation du Système:
a. Écrivez les équations de l’armature du moteur en termes de \(i_a\) (courant de l’armature), \(v_a\) (tension appliquée à l’armature), et \(\omega\) (vitesse angulaire).
b. Écrivez l’équation de mouvement du moteur.
2. Fonction de Transfert du Moteur:
a. Déduisez la fonction de transfert \(\frac{\Omega(s)}{V_a(s)}\) en négligeant l’inductance \(L_a\).
3. Fonction de Transfert du Système de Contrôle:
a. Déduisez la fonction de transfert en boucle ouverte \(G(s)\) du système avec le contrôleur PI.
b. Trouvez la fonction de transfert en boucle fermée \(T(s) = \frac{\Omega(s)}{\Omega_d(s)}\).
4. Analyse de la Réponse du Système:
a. Trouvez l’erreur de régime permanent du système pour une entrée de référence en échelon.
b. Calculez les pôles du système en boucle fermée et analysez la stabilité.
Correction : Vitesse d’un Moteur CC à l’aide d’un Contrôleur PI
1. Modélisation du Système:
a. Équations de l’armature du moteur :
\begin{equation}
v_a = R_a i_a + L_a \frac{di_a}{dt} + K_e \omega
\end{equation}
b. Équation de mouvement :
\begin{equation}
J \frac{d\omega}{dt} + B \omega = K_t i_a
\end{equation}
2. Fonction de Transfert du Moteur:
a. Négligeons \( L_a \) :
\begin{equation}
v_a = R_a i_a + K_e \omega
\end{equation}
En résolvant pour \( i_a \) :
\begin{equation}
i_a = \frac{v_a – K_e \omega}{R_a}
\end{equation}
En utilisant cette expression dans l’équation de mouvement :
\begin{equation}
J \frac{d\omega}{dt} + B \omega = K_t \left( \frac{v_a – K_e \omega}{R_a} \right)
\end{equation}
En transformée de Laplace :
\begin{equation}
J s \Omega(s) + B \Omega(s) = \frac{K_t}{R_a} V_a(s) – \frac{K_t K_e}{R_a} \Omega(s)
\end{equation}
\begin{equation}
(J s + B + \frac{K_t K_e}{R_a}) \Omega(s) = \frac{K_t}{R_a} V_a(s)
\end{equation}
La fonction de transfert est :
\begin{equation}
\frac{\Omega(s)}{V_a(s)} = \frac{\frac{K_t}{R_a}}{J s + B + \frac{K_t K_e}{R_a}}
\end{equation}
Substituons les valeurs :
\begin{equation}
\frac{\Omega(s)}{V_a(s)} = \frac{\frac{0.1}{2}}{0.01 s + 0.01 + \frac{0.1 \times 0.1}{2}} = \frac{0.05}{0.01 s + 0.015}
\end{equation}
Simplifions :
\begin{equation}
\frac{\Omega(s)}{V_a(s)} = \frac{0.05}{0.01 (s + 1.5)} = \frac{5}{s + 1.5}
\end{equation}
3. Fonction de Transfert du Système de Contrôle
a. Fonction de transfert en boucle ouverte \( G(s) \) avec le contrôleur PI :
\begin{equation}
G(s) = \left( K_p + \frac{K_i}{s} \right) \cdot \frac{5}{s + 1.5}
\end{equation}
\begin{equation}
G(s) = \left( 50 + \frac{200}{s} \right) \cdot \frac{5}{s + 1.5} = \frac{250s + 1000}{s(s + 1.5)}
\end{equation}
b. Fonction de transfert en boucle fermée \( T(s) \) :
\begin{equation}
T(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)} = \frac{\frac{250s + 1000}{s(s + 1.5)}}{1 + \frac{250s + 1000}{s(s + 1.5)}}
\end{equation}
\begin{equation}
T(s) = \frac{250s + 1000}{s(s + 1.5) + 250s + 1000}
\end{equation}
\begin{equation}
T(s) = \frac{250s + 1000}{s^2 + 1.5s + 250s + 1000}
\end{equation}
\begin{equation}
T(s) = \frac{250s + 1000}{s^2 + 251.5s + 1000}
\end{equation}
4. Analyse de la Réponse du Système:
a. Erreur de régime permanent :
Un contrôleur PI élimine l’erreur de régime permanent pour une entrée en échelon.
\begin{equation}
e_{ss} = 0
\end{equation}
b. Pôles du système en boucle fermée :
\begin{equation}
s^2 + 251.5s + 1000 = 0
\end{equation}
Utilisons la formule quadratique :
\begin{equation}
s = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\end{equation}
où \( a = 1 \), \( b = 251.5 \), et \( c = 1000 \).
\begin{equation}
s = \frac{-251.5 \pm \sqrt{251.5^2 – 4 \times 1 \times 1000}}{2 \times 1}
\end{equation}
\begin{equation}
s = \frac{-251.5 \pm \sqrt{63252.25 – 4000}}{2}
\end{equation}
\begin{equation}
s = \frac{-251.5 \pm \sqrt{59252.25}}{2}
\end{equation}
\begin{equation}
s = \frac{-251.5 \pm 243.38}{2}
\end{equation}
Les pôles sont :
\begin{equation}
s_1 = \frac{-251.5 + 243.38}{2} \approx -4.06
\end{equation}
\begin{equation}
s_2 = \frac{-251.5 – 243.38}{2} \approx -247.94
\end{equation}
Ces pôles sont tous les deux dans le demi-plan gauche du plan complexe, indiquant que le système en boucle fermée est stable.
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