Temps de Décharge d’un Condensateur

Comprendre le Temps de Décharge d’un Condensateur

Dans un laboratoire de physique, un étudiant réalise une expérience pour étudier la décharge d’un condensateur à travers une résistance.

Le condensateur, initialement chargé à une tension connue, est connecté à une résistance, et la tension aux bornes du condensateur est mesurée à différents intervalles de temps après la fermeture du circuit.

Données fournies:

Capacité du condensateur, $C = 500 \, \mu\text{F}$
Résistance, $R = 10 \, \text{k}\Omega$
Tension initiale du condensateur, $V_0 = 12 \, \text{V}$
L’étudiant mesure la tension aux bornes du condensateur à t = 0 s, 1 s, 2 s, 3 s, 4 s, 5 s après la fermeture du circuit.

Questions:

1. Écrivez l’expression mathématique décrivant la tension $V(t)$ aux bornes du condensateur en fonction du temps $t$, en utilisant la loi de décharge d’un condensateur.

2. Calculez la tension aux bornes du condensateur pour chaque intervalle de temps donné.

3. Déterminez la constante de temps $\tau$ du circuit et expliquez son importance dans le contexte de la décharge du condensateur.

4. Tracez un graphique de $V(t)$ contre $t$.

5. Expliquez physiquement pourquoi la tension diminue avec le temps dans ce circuit.

Correction : Temps de Décharge d’un Condensateur

1. Expression de la Tension $V(t)$

La tension $V(t)$ aux bornes d’un condensateur qui se décharge à travers une résistance peut être décrite par l’équation exponentielle suivante:

\[ V(t) = V_0 \times e^{-t/\tau} \]

où:

$V_0 = 12\,V$ est la tension initiale,
$\tau$ est la constante de temps du circuit, définie par $\tau = R \times C$.

2. Calcul de la Constante de Temps $\tau$

$R = 10\, \text{k}\Omega = 10,000\, \Omega$
$C = 500\, \mu\text{F} = 500 \times 10^{-6}\, F = 0.0005\, F$

\[ \tau = R \times C \] \[ \tau = 10,000 \times 0.0005 \] \[ \tau = 5\, s \]

3. Calcul des Valeurs de Tension pour Chaque Intervalle de Temps

Utilisant l’expression de $V(t)$, nous obtenons :

À $t = 0\,s$:

\[ V(0) = 12\,V \times e^{0/5} \] \[ V(0) = 12\,V \]

À $t = 1\,s$:

\[ V(1) = 12\,V \times e^{-1/5} \] \[ V(1) \approx 9.82\,V \]

À $t = 2\,s$:

\[ V(2) = 12\,V \times e^{-2/5} \] \[ V(2) \approx 8.04\,V \]

À $t = 3\,s$:

\[ V(3) = 12\,V \times e^{-3/5} \] \[ V(3) \approx 6.59\,V \]

À $t = 4\,s$:

\[ V(4) = 12\,V \times e^{-4/5} \] \[ V(4) \approx 5.39\,V \]

À $t = 5\,s$:

\[ V(5) = 12\,V \times e^{-5/5} \] \[ V(5) \approx 4.41\,V \]

4. Graphique de la Tension

Le graphique représentant $V(t)$ contre $t$ montrerait une courbe décroissante de façon exponentielle de 12 V à environ 4.41 V sur une période de 5 secondes.

5. Interprétation Physique

La tension diminue avec le temps car le condensateur perd progressivement sa charge électrique stockée, ce qui se manifeste par une diminution de la tension aux bornes du condensateur.

La constante de temps $\tau$ indique que le condensateur atteint environ 36.79% de sa tension initiale après 5 secondes, ce qui correspond à la définition mathématique de la constante de temps dans le contexte de la décharge d’un condensateur.

Temps de Décharge d’un Condensateur

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