Calcul de la Charge Totale dans une Sphère
Comprendre le Calcul de la Charge Totale dans une Sphère
Dans cet exercice, nous examinons une sphère métallique chargée isolée dans un espace vide. Cette sphère reçoit une charge électrique, ce qui induit une répartition uniforme de la charge à sa surface en raison de ses propriétés conductrices.
Le but est de déterminer la charge totale présente sur la sphère en utilisant les données fournies et les principes de base de l’électricité statique.
Pour comprendre le Calcul de l’énergie potentielle d’une sphère, cliquez sur le lien.
Données:
- Rayon de la sphère (R) : 0.5 mètres
- Densité surfacique de charge (σ) : \( 8 \times 10^{-6} \) coulombs par mètre carré
- Permittivité du vide (ε₀) : \( 8.85 \times 10^{-12} \) farads par mètre
Questions:
1. Calculer la surface \( S \) de la sphère :
- Calculez la surface de cette sphère avec le rayon donné.
2. Déterminer la charge totale \( Q \) sur la sphère :
- Utilisez les valeurs calculées pour trouver \( Q \).
3. Analyser le champ électrique \( E \) à la surface de la sphère :
- Calculez \( E \) en utilisant la charge totale déterminée dans la question précédente.
4. Réflexion sur la répartition de la charge :
- Expliquez pourquoi la charge se répartit uniformément à la surface de la sphère et non à l’intérieur ou en un point concentré.
Correction : Calcul de la Charge Totale dans une Sphère
1. Calculer la surface \( S \) de la sphère
Formule de la surface d’une sphère :
\[ S = 4\pi R^2 \]
Substitution des valeurs :
- Rayon (R) : 0.5 m
\[ S = 4\pi (0.5)^2 \] \[ S = 4\pi (0.25) \] \[ S = \pi\, \text{mètres carrés} \]
Calculons maintenant \( \pi \) avec une valeur approchée :
\[ S \approx 4 \times 3.14159 \times 0.25 \] \[ S = 3.14159\, \text{m}^2 \]
2. Déterminer la charge totale \( Q \) sur la sphère
Formule de la charge totale :
\[ Q = \sigma \times S \]
Substitution des valeurs :
- Densité surfacique de charge (σ) : \( 8 \times 10^{-6} \) coulombs/m²
- Surface (S) : \( 3.14159 \) m²
\[ Q = 8 \times 10^{-6} \times 3.14159 \] \[ Q = 2.51327 \times 10^{-5}\, \text{coulombs} \]
3. Analyser le champ électrique \( E \) à la surface de la sphère
Formule du champ électrique à la surface d’une sphère chargée :
\[ E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2} \]
Substitution des valeurs :
- Charge totale (Q) : \( 2.51327 \times 10^{-5} \) coulombs
- Permittivité du vide (ε₀) : \( 8.85 \times 10^{-12} \) farads/mètre
- Rayon (R) : 0.5 m
\[ E = \frac{2.51327 \times 10^{-5}}{4\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times (0.5)^2} \] \[ E = \frac{2.51327 \times 10^{-5} \text{ C}}{4 \times 3.14159 \times 8.85 \times 10^{-12} \text{ F/m} \times 0.25} \] \[ E \approx 28552 \text{ N/C} \]
4. Réflexion sur la répartition de la charge
Explication :
La répartition uniforme de la charge sur une sphère conductrice est due au principe que les charges électriques se repoussent mutuellement.
Dans une sphère conductrice, les charges libres se déplacent jusqu’à ce que la force électrostatique soit en équilibre en tout point de la surface, ce qui entraîne une distribution uniforme.
Cette répartition minimise l’énergie potentielle du système en répartissant les charges aussi loin que possible les unes des autres sur la surface.
Calcul de la Charge Totale dans une Sphère
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