Analyse de la Modulation d’Amplitude (AM)

Comprendre l’Analyse de la Modulation d’Amplitude (AM)

Un signal porteur sinusoïdal \(c(t) = A_c \cos(2\pi f_c t)\) est utilisé pour moduler en amplitude un signal modulant \(m(t) = A_m \cos(2\pi f_m t)\), où Ac est l’amplitude du signal porteur, Am est l’amplitude du signal modulant, fc est la fréquence du signal porteur, et fm est la fréquence du signal modulant.

Données de l’exercice :

• Amplitude du signal porteur, Ac = 10 V
• Fréquence du signal porteur, fc = 100 kHz
• Amplitude du signal modulant, \(A_m = 5\) V
• Fréquence du signal modulant, \(f_m = 10\) kHz

Questions:

1. Calculer l’indice de modulation (m).

2. Écrire l’expression du signal modulé en amplitude (AM).

3. Calculer la bande passante du signal AM.

4. Calculer les fréquences des raies spectrales du signal AM.

5. Déterminer la puissance du signal AM en supposant que le signal est transmis dans un système avec une impédance de \(50\) ohms.

Correction : Analyse de la Modulation d’Amplitude (AM)

1. Indice de modulation (\(m\))

Données initiales :

• Amplitude du signal porteur, \(A_c = 10\) V
• Amplitude du signal modulant, \(A_m = 5\) V

Formule :

\[ m = \frac{A_m}{A_c} \]

Calcul :

\[ m = \frac{5}{10} = 0.5 \]

L’indice de modulation de 0.5 indique que l’amplitude du signal modulant est égale à la moitié de celle du signal porteur.

Cela signifie que l’amplitude du signal porteur varie de 50 % autour de sa valeur initiale sous l’effet du signal modulant.

2. Expression du signal modulé en amplitude (AM)

Formule générale :

\[ s(t) = [A_c + A_m \cos(2\pi f_m t)] \cdot \cos(2\pi f_c t) \]

Application avec \(m = 0.5\) :

\[ s(t) = [10 + 5 \cos(2\pi \times 10000 t)] \cdot \cos(2\pi \times 100000 t) \]

Expression simplifiée :

\[ s(t) = [10 + 0.5 \times 5 \cos(2\pi \times 10000 t)] \cdot \cos(2\pi \times 100000 t) \]

Cette expression montre comment l’amplitude du signal porteur est modifiée par le signal modulant, résultant en une variation d’amplitude qui encode l’information du signal modulant dans le signal porteur.

3. Bande passante du signal AM

Formule :

\[ BW = 2f_m \]

Calcul :

\[ BW = 2 \times 10000 \] \[ BW = 20000 \text{ Hz} = 20 \text{ kHz} \]

La bande passante du signal AM est de 20 kHz, ce qui inclut les fréquences des bandes latérales supérieure et inférieure. Cela reflète le spectre de fréquence élargi nécessaire pour transmettre un signal AM par rapport au signal porteur seul.

4. Fréquences des raies spectrales du signal AM

• Fréquence du porteur : \(f_c = 100\) kHz
• Fréquence latérale inférieure :

\[ f_c – f_m = 100000 – 10000 = 90\, \text{kHz} \]

• Fréquence latérale supérieure :

\[ f_c + f_m = 100000 + 10000 = 110\, \text{kHz} \]

Ces fréquences correspondent aux composantes spectrales principales d’un signal AM, avec le porteur au centre et une bande latérale de chaque côté.

5. Puissance du signal AM

• Puissance du signal porteur non modulé :

\[ P = \frac{A_c^2}{2R} \] \[ P = \frac{10^2}{2 \times 50} = 1 \text{ W} \]

• Puissance ajustée pour l’indice de modulation :

\[ P_{AM} = P \cdot (1 + \frac{m^2}{2}) \] \[ P_{AM} = 1 \cdot (1 + \frac{0.5^2}{2}) \] \[ P_{AM} = 1.125 \text{ W} \]

La puissance du signal AM est légèrement supérieure à celle du signal porteur non modulé, due à l’énergie ajoutée par les bandes latérales. La formule prend en compte à la fois la puissance du signal porteur et l’énergie supplémentaire apportée par la modulation.

Analyse de la Modulation d’Amplitude (AM)