Analyse de la Réponse en Fréquence
Comprendre l’Analyse de la Réponse en Fréquence
Supposez qu’un circuit électrique comporte un filtre passe-bas simple. La fonction de transfert du filtre est donnée par :
\[ H(f) = \frac{1}{1 + j \cdot \frac{f}{f_c}} \]
où \(f_c\) est la fréquence de coupure et \(j = \sqrt{-1}\).
1. Fréquence de Coupure:
Calculez la fréquence de coupure \(f_c\) en prenant le module de \(H(f)\) égal à \(\frac{1}{\sqrt{2}}\). Exprimez votre réponse en Hz.
2. Réponse en Fréquence:
Tracez le module (amplitude) de \(H(f)\) en fonction de la fréquence \(f\), pour \(f\) allant de 0 à 10 fois la fréquence de coupure \(f_c\). Indiquez le point où le gain tombe à -3 dB.
3. Phase de la Réponse en Fréquence:
Calculez l’angle de la phase de \(H(f)\) pour des fréquences allant de 0 à 10 fois \(f_c\). Tracez la courbe de la phase en fonction de la fréquence.
4. Réponse à un Signal Sinusoïdal:
Supposons que le signal d’entrée est un signal sinusoïdal : \( x(t) = A \cdot \cos(2\pi \times f_0 \times t) \) où \(f_0 = 2 \times f_c\). Déterminez le signal de sortie \(y(t)\) en utilisant la fonction de transfert du filtre. Quelle est l’amplitude du signal de sortie par rapport à celle du signal d’entrée ? Calculez également le déphasage entre l’entrée et la sortie.
5. Interprétation des Résultats:
Expliquez pourquoi le filtre a un impact différent selon les fréquences des signaux d’entrée. Utilisez des exemples concrets pour illustrer votre réponse.
Correction : Analyse de la Réponse en Fréquence
1. Fréquence de Coupure
La fréquence de coupure \(f_c\) est le point où le module du gain \(|H(f)|\) atteint \(\frac{1}{\sqrt{2}}\). Voici l’expression du module du gain :
\[ |H(f)| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{f}{f_c}\right)^2}} \]
Pour \(|H(f)| = \frac{1}{\sqrt{2}}\), nous avons :
\[ \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{f_c}{f_c}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]
En simplifiant, nous obtenons :
\[ 1 + \left(\frac{f_c}{f_c}\right)^2 = 2 \]
Ainsi,
\[ \left(\frac{f_c}{f_c}\right)^2 = 1 \]
La condition \( \left(\frac{f_c}{f_c}\right)^2 = 1 \) est vérifiée pour tout \( f_c \) non nul, et donc \( f_c \) peut être arbitrairement choisi pour des raisons de simplicité. Nous prendrons \(f_c = 1\) Hz.
2. Réponse en Fréquence
Traçons le module du gain \(|H(f)|\) pour \(f\) allant de 0 à 10 Hz (10 fois \(f_c\)). Le module du gain est donné par :
\[ |H(f)| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{f}{f_c}\right)^2}} \]
Ainsi, vous pouvez tracer le module du gain pour une gamme de fréquences allant jusqu’à 10 fois la fréquence de coupure. Indiquez également le point où le gain tombe à -3 dB.
Dans le graphique, on observe la chute du gain au fur et à mesure que la fréquence augmente. Le point où le gain tombe à -3 dB est la fréquence de coupure.
3. Phase de la Réponse en Fréquence
La phase de la fonction de transfert est donnée par :
\[ \theta(f) = -\arctan\left(\frac{f}{f_c}\right) \]
Nous allons tracer la phase pour les mêmes fréquences que précédemment. Pour cela, tracez la phase sur un graphique avec l’axe horizontal représentant la fréquence et l’axe vertical représentant la phase en radians.
La phase indique le déphasage induit par le filtre. Plus la fréquence augmente, plus le déphasage s’accentue.
4. Réponse à un Signal Sinusoïdal
Le signal d’entrée est donné par :
\[ x(t) = A \cdot \cos(2\pi \times f_0 \times t) \]
avec \( f_0 = 2 \times f_c = 2 \, \text{Hz} \)
Le gain pour cette fréquence est :
\[ |H(f_0)| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left( \frac{2}{1} \right)^2}} \] \[ |H(f_0)| = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.447 \]
L’angle de phase correspondant est :
\[ \theta(f_0) = -\arctan(2) \] \[ \theta(f_0) \approx -1.107 \, \text{radians} \]
Le signal de sortie devient donc :
\[ y(t) = 0.447 \cdot A \cdot \cos(2\pi \times 2 \times t – 1.107) \]
Ainsi, l’amplitude du signal de sortie est d’environ 44.7% de celle du signal d’entrée, avec un déphasage d’environ -63.4 degrés.
5. Interprétation des Résultats
Le filtre passe-bas laisse passer les fréquences inférieures à la fréquence de coupure, mais atténue les fréquences supérieures.
Plus la fréquence du signal d’entrée est élevée, plus elle sera atténuée. La phase montre comment le signal de sortie est déphasé par rapport à l’entrée, indiquant le retard induit par le filtre.
Analyse de la Réponse en Fréquence
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