Analyse d’un Circuit Électrique Simple

Principe :

Pour deux résistances en parallèle, \(R_A\) et \(R_B\), la résistance équivalente \(R_{\text{eq}}\) est donnée par la formule \(\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_A} + \frac{1}{R_B}\), ou plus directement \(R_{\text{eq}} = \frac{R_A \times R_B}{R_A + R_B}\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(R_2 = 12 \, \Omega\)
• \(R_3 = 8 \, \Omega\)

Calcul :

Principe :

La résistance \(R_1\) est en série avec le groupement \(R_{\text{eq23}}\). En série, les résistances s'additionnent.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(R_1 = 4 \, \Omega\)
• \(R_{\text{eq23}} = 4.8 \, \Omega\)

Calcul :

Principe :

Le circuit total est formé par la branche \(R_{\text{branche1}}\) en parallèle avec la résistance \(R_4\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(R_{\text{branche1}} = 8.8 \, \Omega\)
• \(R_4 = 6 \, \Omega\)

Calcul :

Principe :

Le courant total fourni par la source est donné par la loi d'Ohm : \(I_{\text{total}} = V_{\text{s}} / R_{\text{total}}\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(V_{\text{s}} = 20 \, \text{V}\)
• \(R_{\text{total}} \approx 3.5675 \, \Omega\)

Calcul :

Principe :

La résistance \(R_4\) est directement connectée aux bornes de la source de tension \(V_s\). Donc, la tension à ses bornes est \(V_s\). Le courant \(I_{\text{R4}}\) est alors \(V_s / R_4\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(V_{\text{s}} = 20 \, \text{V}\)
• \(R_4 = 6 \, \Omega\)

Calcul :

Principe :

La branche contenant \(R_1, R_2, R_3\) (avec \(R_{\text{branche1}}\) comme résistance équivalente) est également connectée directement aux bornes de la source \(V_s\). Donc, la tension à ses bornes est \(V_s\). Le courant \(I_{\text{branche1}}\) est \(V_s / R_{\text{branche1}}\). Alternativement, par la loi des nœuds, \(I_{\text{total}} = I_{\text{R4}} + I_{\text{branche1}}\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(V_{\text{s}} = 20 \, \text{V}\)
• \(R_{\text{branche1}} = 8.8 \, \Omega\)

Calcul :

Principe :

La somme des courants sortant du nœud principal (après la source) doit être égale au courant total entrant dans ce nœud (qui est \(I_{\text{total}}\)). Donc, \(I_{\text{total}} = I_{\text{R4}} + I_{\text{branche1}}\).

Données calculées :

• \(I_{\text{total}} \approx 5.6060 \, \text{A}\)
• \(I_{\text{R4}} \approx 3.3333 \, \text{A}\)
• \(I_{\text{branche1}} \approx 2.2727 \, \text{A}\)

Vérification :

Comparaison avec \(I_{\text{total}} \approx 5.6060 \, \text{A}\). La loi des nœuds est vérifiée (les petites différences sont dues aux arrondis).

Principe :

\(V_1 = R_1 \times I_{\text{branche1}}\) (puisque \(I_{\text{branche1}}\) est le courant qui traverse \(R_1\)).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(R_1 = 4 \, \Omega\)
• \(I_{\text{branche1}} = \frac{25}{11} \, \text{A} \approx 2.2727 \, \text{A}\)

Calcul :

Principe :

La tension \(V_{\text{A'B'}}\) aux bornes du groupement parallèle \(R_2 // R_3\) est la tension totale de la branche moins la chute de tension sur \(R_1\). La tension totale aux bornes de la branche (\(R_1\) + \(R_2//R_3\)) est \(V_s\). Donc \(V_{\text{A'B'}} = V_s - V_1\). Alternativement, \(V_{\text{A'B'}} = R_{\text{eq23}} \times I_{\text{branche1}}\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(V_s = 20 \, \text{V}\)
• \(V_1 = \frac{100}{11} \, \text{V}\)

Calcul :

Principe :

\(I_2 = V_{\text{A'B'}} / R_2\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(V_{\text{A'B'}} = \frac{120}{11} \, \text{V}\)
• \(R_2 = 12 \, \Omega\)

Calcul :

Principe :

\(I_3 = V_{\text{A'B'}} / R_3\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(V_{\text{A'B'}} = \frac{120}{11} \, \text{V}\)
• \(R_3 = 8 \, \Omega\)

Calcul :

Principe :

Au nœud A', le courant entrant est \(I_{\text{branche1}}\) (qui est aussi \(I_1\)). Les courants sortants sont \(I_2\) et \(I_3\). Donc, \(I_{\text{branche1}} = I_2 + I_3\).

Données calculées :

• \(I_{\text{branche1}} = \frac{25}{11} \, \text{A} \approx 2.2727 \, \text{A}\)
• \(I_2 = \frac{10}{11} \, \text{A} \approx 0.9090 \, \text{A}\)
• \(I_3 = \frac{15}{11} \, \text{A} \approx 1.3636 \, \text{A}\)

Vérification :

Comparaison avec \(I_{\text{branche1}} = \frac{25}{11} \, \text{A}\) :