Exercices Électricité

Analyse d’un Circuit Électrique Simple

Analyse d’un Circuit Électrique Simple

Analyse d’un Circuit Électrique Simple

Comprendre l'Analyse de Circuits Simples

L'analyse d'un circuit électrique, même simple, consiste à déterminer les grandeurs électriques fondamentales telles que le courant, la tension et la puissance pour chaque composant du circuit. Cela repose sur l'application de la loi d'Ohm et des lois de Kirchhoff. Pour les circuits comportant des combinaisons de résistances en série et en parallèle, une étape clé est de simplifier le circuit en calculant sa résistance équivalente totale. Une fois cette résistance totale connue, on peut déterminer le courant total fourni par la source. Ensuite, en utilisant les règles de division de tension et de courant, ainsi que la loi d'Ohm, on peut remonter aux tensions et courants spécifiques à chaque composant.

Données de l'étude

On considère le circuit en courant continu représenté ci-dessous, alimenté par une source de tension \(V_{\text{s}}\).

Valeurs des composants :

  • Tension de la source : \(V_{\text{s}} = 20 \, \text{V}\)
  • Résistance \(R_1\) : \(4 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_2\) : \(12 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_3\) : \(8 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_4\) : \(6 \, \Omega\)

Les résistances \(R_2\) et \(R_3\) sont en parallèle. Ce groupement parallèle est en série avec \(R_1\). L'ensemble (\(R_1\) série (\(R_2 // R_3\))) est ensuite en parallèle avec \(R_4\).

Schéma : Circuit Électrique Simple (DC)
Vs 20V + − R4 6Ω R1 4Ω A' R2 12Ω R3 8Ω B' → Itotal → IR4 → I_R1_branche → IR2 → IR3

Circuit DC série-parallèle complexe.

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance équivalente (\(R_{\text{eq23}}\)) du groupement parallèle formé par \(R_2\) et \(R_3\).
  2. Calculer la résistance équivalente (\(R_{\text{branche1}}\)) de la branche contenant \(R_1\) en série avec \(R_{\text{eq23}}\).
  3. Calculer la résistance totale équivalente (\(R_{\text{total}}\)) du circuit, en considérant \(R_{\text{branche1}}\) en parallèle avec \(R_4\).
  4. Calculer le courant total (\(I_{\text{total}}\)) fourni par la source.
  5. Calculer le courant (\(I_{\text{R4}}\)) traversant la résistance \(R_4\). (Rappel : la tension aux bornes de \(R_4\) est \(V_s\)).
  6. Calculer le courant (\(I_{\text{branche1}}\)) traversant la branche contenant \(R_1\), \(R_2\) et \(R_3\).
  7. Vérifier la loi des nœuds pour le courant total et les courants de branche (\(I_{\text{R4}}\) et \(I_{\text{branche1}}\)).
  8. Calculer la tension (\(V_1\)) aux bornes de \(R_1\).
  9. Calculer la tension (\(V_{\text{A'B'}}\)) aux bornes du groupement parallèle (\(R_2 // R_3\)).
  10. Calculer le courant (\(I_2\)) traversant \(R_2\).
  11. Calculer le courant (\(I_3\)) traversant \(R_3\).
  12. Vérifier la loi des nœuds au nœud A'.

Correction : Analyse d’un Circuit Électrique Simple

Question 1 : Résistance équivalente (\(R_{\text{eq23}}\)) de \(R_2 // R_3\)

Principe :

Pour deux résistances en parallèle, \(R_A\) et \(R_B\), la résistance équivalente \(R_{\text{eq}}\) est donnée par la formule \(\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_A} + \frac{1}{R_B}\), ou plus directement \(R_{\text{eq}} = \frac{R_A \times R_B}{R_A + R_B}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{eq23}} = \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3}\]
Données spécifiques :
  • \(R_2 = 12 \, \Omega\)
  • \(R_3 = 8 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{eq23}} &= \frac{12 \, \Omega \times 8 \, \Omega}{12 \, \Omega + 8 \, \Omega} \\ &= \frac{96 \, \Omega^2}{20 \, \Omega} \\ &= 4.8 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La résistance équivalente du groupement \(R_2 // R_3\) est \(R_{\text{eq23}} = 4.8 \, \Omega\).

Question 2 : Résistance équivalente (\(R_{\text{branche1}}\)) de la branche (\(R_1\) série \(R_{\text{eq23}}\))

Principe :

La résistance \(R_1\) est en série avec le groupement \(R_{\text{eq23}}\). En série, les résistances s'additionnent.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{branche1}} = R_1 + R_{\text{eq23}}\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 4 \, \Omega\)
  • \(R_{\text{eq23}} = 4.8 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{branche1}} &= 4 \, \Omega + 4.8 \, \Omega \\ &= 8.8 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La résistance de la branche contenant \(R_1, R_2, R_3\) est \(R_{\text{branche1}} = 8.8 \, \Omega\).

Question 3 : Résistance totale équivalente (\(R_{\text{total}}\))

Principe :

Le circuit total est formé par la branche \(R_{\text{branche1}}\) en parallèle avec la résistance \(R_4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{total}} = \frac{R_{\text{branche1}} \times R_4}{R_{\text{branche1}} + R_4}\]
Données spécifiques :
  • \(R_{\text{branche1}} = 8.8 \, \Omega\)
  • \(R_4 = 6 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{total}} &= \frac{8.8 \, \Omega \times 6 \, \Omega}{8.8 \, \Omega + 6 \, \Omega} \\ &= \frac{52.8 \, \Omega^2}{14.8 \, \Omega} \\ &\approx 3.5675... \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La résistance totale équivalente du circuit est \(R_{\text{total}} \approx 3.57 \, \Omega\).

Question 4 : Courant total (\(I_{\text{total}}\))

Principe :

Le courant total fourni par la source est donné par la loi d'Ohm : \(I_{\text{total}} = V_{\text{s}} / R_{\text{total}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{total}} = \frac{V_{\text{s}}}{R_{\text{total}}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{s}} = 20 \, \text{V}\)
  • \(R_{\text{total}} \approx 3.5675 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{\text{total}} &\approx \frac{20 \, \text{V}}{3.5675 \, \Omega} \\ &\approx 5.6060... \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le courant total fourni par la source est \(I_{\text{total}} \approx 5.61 \, \text{A}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la tension de la source \(V_s\) est doublée, le courant total \(I_{total}\) (en supposant que les résistances ne changent pas) va :

Question 5 : Courant (\(I_{\text{R4}}\)) traversant \(R_4\)

Principe :

La résistance \(R_4\) est directement connectée aux bornes de la source de tension \(V_s\). Donc, la tension à ses bornes est \(V_s\). Le courant \(I_{\text{R4}}\) est alors \(V_s / R_4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{R4}} = \frac{V_{\text{s}}}{R_4}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{s}} = 20 \, \text{V}\)
  • \(R_4 = 6 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{\text{R4}} &= \frac{20 \, \text{V}}{6 \, \Omega} \\ &= \frac{10}{3} \, \text{A} \\ &\approx 3.3333... \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le courant traversant \(R_4\) est \(I_{\text{R4}} \approx 3.33 \, \text{A}\).

Question 6 : Courant (\(I_{\text{branche1}}\)) traversant la branche contenant \(R_1, R_2, R_3\)

Principe :

La branche contenant \(R_1, R_2, R_3\) (avec \(R_{\text{branche1}}\) comme résistance équivalente) est également connectée directement aux bornes de la source \(V_s\). Donc, la tension à ses bornes est \(V_s\). Le courant \(I_{\text{branche1}}\) est \(V_s / R_{\text{branche1}}\). Alternativement, par la loi des nœuds, \(I_{\text{total}} = I_{\text{R4}} + I_{\text{branche1}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{branche1}} = \frac{V_{\text{s}}}{R_{\text{branche1}}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{s}} = 20 \, \text{V}\)
  • \(R_{\text{branche1}} = 8.8 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{\text{branche1}} &= \frac{20 \, \text{V}}{8.8 \, \Omega} \\ &= \frac{200}{88} \, \text{A} = \frac{25}{11} \, \text{A} \\ &\approx 2.2727... \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le courant traversant la branche 1 est \(I_{\text{branche1}} \approx 2.27 \, \text{A}\). Ce courant est aussi \(I_1\).

Question 7 : Vérification de la loi des nœuds

Principe :

La somme des courants sortant du nœud principal (après la source) doit être égale au courant total entrant dans ce nœud (qui est \(I_{\text{total}}\)). Donc, \(I_{\text{total}} = I_{\text{R4}} + I_{\text{branche1}}\).

Données calculées :
  • \(I_{\text{total}} \approx 5.6060 \, \text{A}\)
  • \(I_{\text{R4}} \approx 3.3333 \, \text{A}\)
  • \(I_{\text{branche1}} \approx 2.2727 \, \text{A}\)
Vérification :
\[ \begin{aligned} I_{\text{R4}} + I_{\text{branche1}} &\approx 3.3333 \, \text{A} + 2.2727 \, \text{A} \\ &\approx 5.6060 \, \text{A} \end{aligned} \]

Comparaison avec \(I_{\text{total}} \approx 5.6060 \, \text{A}\). La loi des nœuds est vérifiée (les petites différences sont dues aux arrondis).

Résultat Question 7 : La loi des nœuds est vérifiée.

Question 8 : Tension (\(V_1\)) aux bornes de \(R_1\)

Principe :

\(V_1 = R_1 \times I_{\text{branche1}}\) (puisque \(I_{\text{branche1}}\) est le courant qui traverse \(R_1\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_1 = R_1 I_{\text{branche1}}\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 4 \, \Omega\)
  • \(I_{\text{branche1}} = \frac{25}{11} \, \text{A} \approx 2.2727 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_1 &= 4 \, \Omega \times \frac{25}{11} \, \text{A} \\ &= \frac{100}{11} \, \text{V} \\ &\approx 9.0909... \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : La tension aux bornes de \(R_1\) est \(V_1 \approx 9.09 \, \text{V}\).

Question 9 : Tension (\(V_{\text{A'B'}}\)) aux bornes du groupement (\(R_2 // R_3\))

Principe :

La tension \(V_{\text{A'B'}}\) aux bornes du groupement parallèle \(R_2 // R_3\) est la tension totale de la branche moins la chute de tension sur \(R_1\). La tension totale aux bornes de la branche (\(R_1\) + \(R_2//R_3\)) est \(V_s\). Donc \(V_{\text{A'B'}} = V_s - V_1\). Alternativement, \(V_{\text{A'B'}} = R_{\text{eq23}} \times I_{\text{branche1}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{A'B'}} = V_s - V_1\]
Données spécifiques :
  • \(V_s = 20 \, \text{V}\)
  • \(V_1 = \frac{100}{11} \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{A'B'}} &= 20 \, \text{V} - \frac{100}{11} \, \text{V} \\ &= \frac{220 - 100}{11} \, \text{V} = \frac{120}{11} \, \text{V} \\ &\approx 10.9090... \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 9 : La tension aux bornes du groupement \(R_2 // R_3\) est \(V_{\text{A'B'}} \approx 10.91 \, \text{V}\).

Question 10 : Courant (\(I_2\)) traversant \(R_2\)

Principe :

\(I_2 = V_{\text{A'B'}} / R_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_2 = \frac{V_{\text{A'B'}}}{R_2}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{A'B'}} = \frac{120}{11} \, \text{V}\)
  • \(R_2 = 12 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_2 &= \frac{\frac{120}{11} \, \text{V}}{12 \, \Omega} \\ &= \frac{120}{11 \times 12} \, \text{A} = \frac{10}{11} \, \text{A} \\ &\approx 0.9090... \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 10 : Le courant traversant \(R_2\) est \(I_2 \approx 0.91 \, \text{A}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si \(R_2\) et \(R_3\) sont en parallèle et \(R_2 = 2 R_3\), alors le courant \(I_2\) sera :

Question 11 : Courant (\(I_3\)) traversant \(R_3\)

Principe :

\(I_3 = V_{\text{A'B'}} / R_3\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_3 = \frac{V_{\text{A'B'}}}{R_3}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{A'B'}} = \frac{120}{11} \, \text{V}\)
  • \(R_3 = 8 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_3 &= \frac{\frac{120}{11} \, \text{V}}{8 \, \Omega} \\ &= \frac{120}{11 \times 8} \, \text{A} = \frac{15}{11} \, \text{A} \\ &\approx 1.3636... \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 11 : Le courant traversant \(R_3\) est \(I_3 \approx 1.36 \, \text{A}\).

Question 12 : Vérification de la loi des nœuds au nœud A'

Principe :

Au nœud A', le courant entrant est \(I_{\text{branche1}}\) (qui est aussi \(I_1\)). Les courants sortants sont \(I_2\) et \(I_3\). Donc, \(I_{\text{branche1}} = I_2 + I_3\).

Données calculées :
  • \(I_{\text{branche1}} = \frac{25}{11} \, \text{A} \approx 2.2727 \, \text{A}\)
  • \(I_2 = \frac{10}{11} \, \text{A} \approx 0.9090 \, \text{A}\)
  • \(I_3 = \frac{15}{11} \, \text{A} \approx 1.3636 \, \text{A}\)
Vérification :
\[ \begin{aligned} I_2 + I_3 &= \frac{10}{11} \, \text{A} + \frac{15}{11} \, \text{A} \\ &= \frac{10+15}{11} \, \text{A} = \frac{25}{11} \, \text{A} \end{aligned} \]

Comparaison avec \(I_{\text{branche1}} = \frac{25}{11} \, \text{A}\) :

\[\frac{25}{11} \, \text{A} = \frac{25}{11} \, \text{A} \quad (\text{Vérifié})\]
Résultat Question 12 : La loi des nœuds est vérifiée au nœud A'.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans un circuit avec des branches parallèles, le courant total se divise. La branche avec la plus petite résistance aura :

2. La tension aux bornes de composants montés en parallèle est :

3. Pour analyser un circuit série-parallèle, une bonne première étape est souvent de :

Glossaire

Circuit Série-Parallèle (Mixte)
Un circuit électrique qui contient des combinaisons de composants connectés à la fois en série et en parallèle.
Résistance Équivalente
La valeur d'une résistance unique qui aurait le même effet global sur le circuit que le groupement de résistances qu'elle remplace.
Loi d'Ohm
Stipule que \(V = IR\), où \(V\) est la tension, \(I\) le courant, et \(R\) la résistance.
Loi des Nœuds de Kirchhoff (KCL)
La somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants en sortant.
Loi des Mailles de Kirchhoff (KVL)
La somme algébrique des tensions autour de toute boucle fermée (maille) est nulle.
Diviseur de Tension
Dans un circuit série, la tension se divise entre les résistances proportionnellement à leur valeur.
Diviseur de Courant
Dans un circuit parallèle, le courant total se divise entre les branches inversement proportionnellement à la résistance de chaque branche.
Analyse d’un Circuit Électrique Simple

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