Analyse d’un Signal Modulé et Échantillonné
Comprendre l’Analyse d’un Signal Modulé et Échantillonné
Vous êtes ingénieur(e) en électronique travaillant sur un système de communication. Un signal modulé en amplitude (AM) est utilisé pour transmettre des informations.
Le signal modulant (message) est un signal sinusoïdal de fréquence \(f_m = 1\,\text{kHz}\) et d’amplitude \(A_m = 2\,\text{V}\).
La fréquence de la porteuse est \(f_c = 10\,\text{kHz}\) et son amplitude est \(A_c = 5\,\text{V}\).
Vous devez analyser ce signal, le numériser pour traitement numérique ultérieur, et évaluer l’impact de l’échantillonnage.
Questions:
1. Représentation du Signal Modulé en AM:
- Exprimez mathématiquement le signal modulé en AM en fonction du temps, \(s(t)\).
- Calculez la bande passante du signal modulé en AM.
2. Échantillonnage du Signal:
- Déterminez la fréquence d’échantillonnage minimale (\(f_s\)) nécessaire pour respecter le critère de Nyquist.
- Si le signal est échantillonné à une fréquence \(f_s = 30\,\text{kHz}\), calculez l’intervalle de temps entre deux échantillons consécutifs.
3. Analyse Fréquentielle après Échantillonnage:
- Décrivez qualitativement ce qui arriverait dans le domaine fréquentiel si le signal était échantillonné à \(20\,\text{kHz}\) au lieu de \(30\,\text{kHz}\).
Correction : Analyse d’un Signal Modulé et Échantillonné
1. Représentation du Signal Modulé en AM et Bande Passante
Formulation Mathématique du Signal Modulé en AM
Le signal modulé en amplitude (AM) peut être exprimé comme suit :
\( s(t) = (A_c + A_m \cos(2 \pi f_m t)) \cos(2 \pi f_c t) \)
En substituant les valeurs données :
- \(A_c = 5 \, \text{V}\) (Amplitude de la porteuse)
- \(A_m = 2 \, \text{V}\) (Amplitude du signal modulant)
- \(f_m = 1 \, \text{kHz} = 1000 \, \text{Hz}\) (Fréquence du signal modulant)
- \(f_c = 10 \, \text{kHz} = 10000 \, \text{Hz}\) (Fréquence de la porteuse)
La formule devient :
\( s(t) = (5 + 2 \cos(2 \pi \times 1000 t)) \cos(2 \pi \times 10000 t) \)
Bande Passante du Signal Modulé en AM
La bande passante est le double de la fréquence du signal modulant :
\[ \text{BW} = 2 f_m \] \[ \text{BW} = 2 \times 1000 = 2000 \, \text{Hz} \]
Ceci est conforme aux attentes pour un signal AM, où la bande passante est définie par la fréquence du signal modulant.
2. Échantillonnage du Signal
Fréquence d’Échantillonnage Minimale
Selon le critère de Nyquist, la fréquence d’échantillonnage minimale (\(f_s\)) pour éviter le repliement de spectre (aliasing) doit être au moins le double de la plus haute fréquence présente dans le signal.
Pour un signal AM, cela inclut la fréquence de la porteuse plus la bande passante du signal :
\[ f_s \geq 2 (f_c + f_m) \] \[ f_s = 2 (10000 + 1000) \] \[ f_s = 22000 \, \text{Hz} \]
Dans notre cas, \(f_s = 30000 \, \text{Hz}\) est utilisée, ce qui est supérieur à la fréquence minimale requise, satisfaisant ainsi le critère de Nyquist.
Intervalle de Temps entre Deux Échantillons Consécutifs
L’intervalle de temps (\(T_s\)) entre deux échantillons est l’inverse de la fréquence d’échantillonnage :
\[ T_s = \frac{1}{f_s} \] \[ T_s = \frac{1}{30000} \approx 3.33 \times 10^{-5} \, \text{s} \]
ou \(33.33 \, \mu\text{s}\).
3. Analyse Fréquentielle après Échantillonnage
Si le signal était échantillonné à \(20 \, \text{kHz}\), cela ne respecterait pas le critère de Nyquist pour un signal AM avec notre fréquence de porteuse et de modulant.
Cela entraînerait du repliement de spectre (aliasing), dégradant ainsi la qualité du signal reconstruit en mélangeant des composantes de fréquence qui ne peuvent être correctement distinguées à cette fréquence d’échantillonnage.
Calculs et Visualisation des Spectres de Fréquence
- À gauche : Le spectre de fréquence du signal modulé en AM avant échantillonnage. Ce graphique montre les composantes fréquentielles du signal, y compris la fréquence de la porteuse et les bandes latérales créées par la modulation d’amplitude. Les pics principaux correspondent à la fréquence de la porteuse (10kHz) et aux fréquences des bandes latérales ( et ), résultant de l’ajout et de la soustraction de la fréquence du signal modulant () à celle de la porteuse.
- À droite : Le spectre de fréquence du signal après un échantillonnage insuffisant à . Ce graphique démontre le phénomène de repliement de spectre (aliasing) qui survient lorsque la fréquence d’échantillonnage ne respecte pas le critère de Nyquist. Dans ce cas, les composantes fréquentielles qui dépassent la moitié de la fréquence d’échantillonnage se replient dans la bande de fréquences observable, provoquant une superposition indésirable des fréquences et une distorsion du signal original.
Analyse d’un Signal Modulé et Échantillonné
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