Analyse d’un Système du Second Ordre
Comprendre l’Analyse d’un Système du Second Ordre
Considérons un système de contrôle représenté par la fonction de transfert suivante :
\[ G(s) = \frac{25}{s^2 + 10s + 25} \]
où \(G(s)\) est la fonction de transfert du système en fonction de la variable complexe \(s\).
Objectifs :
1. Déterminer les caractéristiques du système :
- Calculer la fréquence naturelle non amortie (\(\omega_n\)) et le coefficient d’amortissement (\(\zeta\)).
2. Calculer les indicateurs de performance du système :
- Temps de montée (\(t_r\)) : temps nécessaire pour que la réponse atteigne de 0% à 100% de sa valeur finale pour la première fois.
- Dépassement (\(M_p\)) : pourcentage maximum par lequel la réponse dépasse sa valeur finale.
- Temps de réponse à 5% (\(t_{r5\%}\)) : temps nécessaire pour que la réponse reste à l’intérieur d’une bande de 5% autour de la valeur finale.
- Temps de stabilisation (\(t_s\)) : temps nécessaire pour que la réponse atteigne et reste dans une bande de 2% de la valeur finale.
Hypothèses :
- Considérez que pour un système du second ordre sous-amorti (\(0 < \zeta < 1\)), le temps de montée (\(t_r\)) de 0 à 100% n’est pas bien défini. À la place, nous utiliserons le temps de montée de 10% à 90%.
Correction : Analyse d’un Système du Second Ordre
1. Détermination des paramètres du système
La première étape consiste à identifier les paramètres caractéristiques du système, à savoir la fréquence naturelle non amortie (\( \omega_n \)) et le coefficient d’amortissement (\( \zeta \)).
Fréquence naturelle non amortie (\( \omega_n \)) :
La fréquence naturelle non amortie peut être trouvée à partir du coefficient du terme \( s^2 \) dans le dénominateur de la fonction de transfert.
Pour \[ G(s) = \frac{25}{s^2 + 10s + 25} \], le terme correspondant à \( s^2 \) est 25, donc \[ \omega_n = \sqrt{25} = 5\, \text{rad/s} \]
Coefficient d’amortissement (\( \zeta \)) :
Le coefficient d’amortissement est obtenu à partir du coefficient du terme \( s \) dans le dénominateur, normalisé par deux fois le produit de \( \omega_n \).
Pour notre fonction de transfert,
\[ \zeta = \frac{10}{2\sqrt{25}} = 1.0 \]
2. Calcul des indicateurs de performance
Avec \( \omega_n \) et \( \zeta \) déterminés, nous calculons les indicateurs de performance.
Temps de montée (\( t_r \)) :
Pour un système du second ordre sous-amorti, le temps de montée de 10% à 90% est approximé par \( t_r \approx \frac{2.2}{\omega_n} \).
Ici, \[ t_r = \frac{2.2}{5} = 0.44\, \text{s} \]
Dépassement (\( M_p \)) :
Le dépassement est calculé par
\[ M_p = e^{\frac{-\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}} \times 100\% \]
Cependant, pour \( \zeta = 1 \), le système ne présente aucun dépassement car il est critique. Donc, \[ M_p = 0\% \]
Temps de stabilisation (\( t_s \)) :
Le temps de stabilisation est approximativement \( t_s \approx \frac{4}{\zeta \omega_n} \).
Pour notre système, \[ t_s = \frac{4}{1 \times 5} = 0.8\, \text{s} \]
Analyse des résultats:
Les résultats obtenus offrent des insights sur le comportement dynamique du système :
- Le coefficient d’amortissement \( \zeta = 1 \) indique un système critique, qui atteint son état stable le plus rapidement possible sans oscillations.
- Un temps de montée (\( t_r = 0.44 \) s) assez court indique une réponse rapide du système à une entrée step.
- L’absence de dépassement (\( M_p = 0\% \)) et un temps de stabilisation (\( t_s = 0.8 \) s) court sont désirables dans de nombreuses applications de contrôle où la précision et la rapidité sont cruciales.
Analyse d’un Système du Second Ordre
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