Analyse Dynamique d’un Circuit R-C
Comprendre l’Analyse Dynamique d’un Circuit R-C
Dans un circuit électronique simple, un dipôle composé d’une résistance \(R\) et d’un condensateur \(C\) est connecté en série avec une source de tension alternative \(V(t)\).
La source de tension délivre une tension sinusoïdale définie par l’équation \(V(t) = V_0 \sin(\omega t)\), où \(V_0\) est l’amplitude de la tension, \(\omega\) est la fréquence angulaire et \(t\) est le temps en secondes.
- Amplitude de la tension, \(V_0\): 10 V
- Fréquence angulaire, \(\omega\): \(100\pi\) rad/s
- Résistance, \(R\): 50 ohms
- Capacité du condensateur, \(C\): 100 microfarads (\(100 \times 10^{-6}\) farads)
Objectif de l’exercice:
Calculer l’intensité \(I(t)\) du courant qui traverse le dipôle à différents instants, ainsi que sa valeur moyenne sur une période. Nous chercherons également à comprendre l’impact de la phase sur l’intensité en comparaison avec la tension.
Pour comprendre le Calcul du Rapport des Amplitudes Complexes, cliquez sur le lien.
Questions:
1. Écrivez l’expression de l’impédance \(Z\) du circuit et utilisez-la pour dériver l’expression de l’intensité \(I(t)\) en fonction de \(V(t)\), \(R\), et \(C\).
2. Calculez l’intensité \(I(t)\) aux instants \(t = 0\) s, \(t = \frac{1}{400}\) s, et \(t = \frac{1}{200}\) s.
3. Déterminez la valeur moyenne du courant \(I(t)\) sur une période complète et calculez la valeur efficace du courant.
4. Déterminez le déphasage entre la tension \(V(t)\) et le courant \(I(t)\). Expliquez comment ce déphasage influence la puissance consommée par le circuit.
5. Que se passerait-il si la fréquence de la source de tension était doublée? Discutez des modifications sur l’intensité \(I(t)\) et sur le comportement global du circuit.
Correction : Analyse Dynamique d’un Circuit R-C
1. Expression de l’impédance \(Z\):
L’impédance totale \(Z\) pour un circuit R-C en série est donnée par :
\[ Z = \sqrt{R^2 + \left(\frac{1}{\omega C}\right)^2} \]
Substituons les valeurs données :
- \(R = 50 \, \text{ohms}\)
- \(C = 100 \times 10^{-6} \, \text{farads}\)
- \(\omega = 100\pi \, \text{rad/s}\)
\[ Z = \sqrt{50^2 + \left(\frac{1}{100\pi \times 100 \times 10^{-6}}\right)^2} \] \[ Z = \sqrt{2500 + \left(\frac{1}{0.0314159}\right)^2} \] \[ Z = \sqrt{2500 + 1017.874} \] \[ Z \approx 59.31 \, \text{ohms} \]
Expression de l’intensité \(I(t)\):
Avec \(\phi = \arctan\left(\frac{-1}{\omega RC}\right)\)
\[ \phi = \arctan\left(\frac{-1}{100\pi \times 50 \times 100 \times 10^{-6}}\right) \] \[ \phi \approx -0.575 \, \text{radians} \]
\[ I(t) = \frac{V_0}{Z} \sin(\omega t + \phi) \] \[ I(t) = \frac{10}{59.31} \sin(100\pi t – 0.575) \] \[ I(t) \approx 0.169 \sin(100\pi t – 0.575) \, \text{A} \]
2. Calcul de l’intensité instantanée pour différents instants:
Pour \(t = 0\) s:
\[ I(0) = 0.169 \sin(-0.575) \] \[ I(0) \approx -0.144 \, \text{A} \]
Pour \(t = \frac{1}{400}\) s:
\[ I\left(\frac{1}{400}\right) = 0.169 \sin\left(100\pi \times \frac{1}{400} – 0.575\right) \] \[ I\left(\frac{1}{400}\right) \approx 0.082 \, \text{A} \]
Pour \(t = \frac{1}{200}\) s:
\[ I\left(\frac{1}{200}\right) = 0.169 \sin\left(100\pi \times \frac{1}{200} – 0.575\right) \] \[ I\left(\frac{1}{200}\right) \approx 0.156 \, \text{A} \]
3. Valeur moyenne et efficace:
La valeur moyenne du courant \(I(t)\) sur une période est 0 A.
La valeur efficace du courant est,
\[ I_{\text{eff}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} \] \[ I_{\text{eff}} = \frac{0.169}{\sqrt{2}} \] \[ I_{\text{eff}} \approx 0.1195 \, \text{A} \]
4. Analyse de la phase:
Le déphasage \(\phi\) de -0.575 radians indique que le courant est en retard sur la tension. Cela implique que le circuit consomme plus de puissance réactive qu’active, typique des circuits contenant des condensateurs.
5. Réflexion supplémentaire:
Si la fréquence de la source de tension était doublée,
- \(\omega = 200\pi \, \text{rad/s}\)
- Le déphasage augmenterait, conduisant à un retard plus important du courant par rapport à la tension.
- L’impédance du condensateur diminuerait, réduisant ainsi l’impédance totale du circuit et augmentant l’intensité \(I(t)\).
Analyse Dynamique d’un Circuit R-C
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