Application de la Méthode des Tensions de Nœud
Comprendre l’Application de la Méthode des Tensions de Nœud
Dans une petite station météorologique, plusieurs instruments sont alimentés par un circuit en courant continu.
Ces instruments incluent un anémomètre, un thermomètre, et un baromètre, chacun nécessitant des tensions spécifiques pour fonctionner correctement.
L’objectif est de déterminer les tensions aux différents points du circuit pour garantir le bon fonctionnement des instruments.
Le circuit est composé de trois résistances:
- \(R_1 = 100\, \Omega\), connectée entre le point d’alimentation (12V) et un nœud A.
- \(R_2 = 200\, \Omega\), connectée entre le nœud A et la terre (0V).
- \(R_3 = 150\, \Omega\), connectée entre le nœud A et un autre nœud B, qui est lui-même connecté à la terre par une source de tension inconnue \(V_x\).
Question:
Utilisez la méthode des tensions de nœud pour déterminer les tensions aux nœuds A et B, ainsi que la valeur de la tension \(V_x\).
Correction : Application de la Méthode des Tensions de Nœud
Étape 1: Établissement des équations initiales
Pour les nœuds A et B, nous avons les équations suivantes :
- Pour le nœud A:
\[ \frac{V_A – 12}{100} + \frac{V_A}{200} + \frac{V_A – V_B}{150} = 0 \]
- Pour le nœud B:
\[ \frac{V_B – V_A}{150} = 0 \]
Étape 2: Simplification et substitution
Sachant que \( V_B = V_x \) et \( V_A = V_B \) à cause de la connexion directe entre A et B via \( R_3 \), nous simplifions notre analyse :
\[ \frac{V_A – 12}{100} + \frac{V_A}{200} + \frac{V_A – V_A}{150} = 0 \]
En substituant \(V_A = V_B\), l’équation devient :
\[ \frac{V_A – 12}{100} + \frac{V_A}{200} = 0 \]
Étape 3: Calculs
Pour résoudre cette équation, multiplions chaque terme par 200 pour éliminer le dénominateur :
\[ 2(V_A – 12) + V_A = 0 \] \[ 2V_A – 24 + V_A = 0 \] \[ 3V_A = 24 \] \[ V_A = 8 \, \text{V} \]
Étape 4: Conclusion
Nous avons trouvé que \( V_A = 8 \, \text{V} \). Puisque \( V_B = V_A \), nous avons également \( V_B = 8 \, \text{V} \). Enfin, comme \( V_B \) est également égal à \( V_x \), la tension \( V_x \) est de \( 8 \, \text{V} \).
Résultats finaux:
- Tension au nœud A: \( V_A = 8 \, \text{V} \)
- Tension au nœud B: \( V_B = 8 \, \text{V} \)
- Valeur de \( V_x \): \( 8 \, \text{V} \)
Application de la Méthode des Tensions de Nœud
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