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Exercice : Période et Pulsation

Titre Outil

À DÉCOUVRIR SUR LE SITE
Calcul de l'impédance totale

Méthode pas à pas pour simplifier vos circuits.

Circuit CA Résistif

Comportement du courant et de la tension.

Analyse de climatisation

Étude de cas réelle d'installation.

Analyse de la puissance

Active, réactive, apparente : tout comprendre.

Moteur électrique en CA

Fonctionnement et rendement détaillés.

Impédance Circuit RLC

Calculs de résonance et de filtrage.

Éclairage de scène

Dimensionnement électrique d'un projet.

Chauffe-eau en CA

Analyse de l'effet Joule et consommation.

Puissance instantanée RL

Étude des régimes transitoires.

Fréquence et Intensité

Impact sur les bobines et condensateurs.

Calcul de la Période et de la Pulsation

Contexte : Étude d'un signal électrique alternatif.

Le courant alternatif (AC) est omniprésent dans la distribution d'énergie électrique, de la centrale jusqu'à la prise murale. Contrairement au courant continu (DC) qui circule dans un seul sens, le courant alternatif oscille en permanence, changeant de sens à intervalles réguliers. Cette oscillation est généralement de forme sinusoïdale parfaite, permettant un transport d'énergie efficace sur de longues distances grâce aux transformateurs.

Pour maîtriser cette technologie, un technicien doit savoir quantifier la vitesse et la nature de cette oscillation. C'est ici qu'interviennent les notions fondamentales de PériodeDurée d'un cycle complet, exprimée en secondes (s)., de FréquenceNombre de cycles par seconde (Hz). et de PulsationVitesse angulaire du signal, exprimée en radians par seconde (rad/s)..

Remarque Pédagogique : Savoir passer de la fréquence à la période (et inversement) est une compétence de base indispensable pour l'analyse d'oscillogrammes, le dimensionnement des filtres et l'étude des circuits RLC en régime sinusoïdal.


Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la relation physique et mathématique entre Fréquence et Période.
  • Calculer la Période \(T\) à partir de la fréquence \(f\) et manipuler les unités de temps (s, ms).
  • Calculer la Pulsation \(\omega\) (oméga) et comprendre son lien avec la rotation vectorielle.

Données de l'étude

Vous êtes technicien en bureau d'études et vous devez analyser la qualité du réseau électrique d'un bâtiment industriel situé en Europe. Les appareils de mesure (multimètres, analyseurs de réseau) vous fournissent des valeurs standardisées. Votre mission est de traduire ces données "publiques" en paramètres physiques précis pour dimensionner des équipements sensibles.

On considère le signal du réseau électrique domestique standard. Nous cherchons à déterminer ses caractéristiques temporelles exactes.

Fiche Technique / Données
Caractéristique Valeur
Fréquence \(f\) (Standard européen) 50 \(\text{Hz}\)
Tension efficaceValeur quadratique moyenne de la tension (celle qui chauffe). 230 \(\text{V}\)
Schéma du Signal Sinusoïdal
t u(t) Umax Période T = ?
Nom du Paramètre Symbole Valeur Unité
Fréquence \(f\) 50 \(\text{Hz}\)
Période \(T\) ? \(\text{s}\)
Pulsation \(\omega\) ? \(\text{rad/s}\)
Questions à traiter
  1. Calculer la période \(T\) en secondes.
  2. Convertir la période \(T\) en millisecondes (ms).
  3. Calculer la pulsation \(\omega\) (oméga).
  4. Calculer la tension maximale \(U_{\text{max}}\).
  5. Écrire l'équation temporelle du signal \(u(t)\).

Les bases théoriques

Le courant alternatif change de sens périodiquement. La rapidité de ces changements est définie par la fréquence. Pour bien comprendre ce phénomène, il faut maîtriser trois concepts liés :

1. Relation Période-Fréquence
La fréquence \(f\) est le nombre de motifs (cycles) répétés en une seconde. L'unité est le Hertz (Hz). La période \(T\) est la durée exacte d'un seul de ces motifs. C'est l'inverse temporel de la fréquence : plus la fréquence est élevée, plus la période est courte.

Formule de la Période

\[ T = \frac{1}{f} \]

Où :

  • \(T\) est la période en secondes (s).
  • \(f\) est la fréquence en Hertz (Hz).

2. Pulsation (Vitesse angulaire)
En mathématiques et en physique, on modélise souvent les signaux oscillants par un vecteur tournant (représentation de Fresnel). La vitesse à laquelle ce vecteur tourne s'appelle la pulsation ($\omega$). Elle ne s'exprime pas en "tours par seconde", mais en "angle par seconde" (radians/seconde). C'est le "moteur" de la fonction sinus.

Formule de la Pulsation

\[ \omega = 2 \pi f = \frac{2 \pi}{T} \]

Où :

  • \(\omega\) est la pulsation en radians par seconde (rad/s).
  • \(\pi\) est la constante Pi (\(\approx 3,14\)).

3. Tension Maximale et Efficace
La tension du secteur n'est pas constante. Elle passe par zéro, monte à un sommet (crête), redescend, etc. La valeur efficace (celle affichée sur les appareils) est une moyenne énergétique : elle correspond à la tension continue qui produirait le même échauffement (effet Joule). La valeur maximale est la limite physique que l'isolant doit supporter sans claquer.

Relation Efficace-Max

\[ U_{\text{max}} = U_{\text{eff}} \times \sqrt{2} \]

Où :

  • \(U_{\text{max}}\) est l'amplitude crête (V).
  • \(U_{\text{eff}}\) est la tension efficace (V).

Correction : Calcul de la Période et de la Pulsation

Question 1 : Calculer la période T en secondes

Principe

La période \(T\) correspond à la durée d'un cycle complet du signal sinusoïdal. Imaginez une roue de vélo qui tourne : la fréquence est le nombre de tours par seconde, et la période est le temps nécessaire pour faire un seul tour complet. Ces deux grandeurs sont donc mathématiquement l'inverse l'une de l'autre.

Mini-Cours

Le Hertz (Hz) est l'unité de mesure de la fréquence. 50 Hz signifie "50 cycles par seconde". La période est le temps nécessaire pour effectuer UN seul de ces cycles. Elles sont liées par une relation inverse : \(T = 1/f\).

Remarque Pédagogique

Comprendre cette notion est crucial pour lire correctement un oscilloscope, où l'axe horizontal représente le temps. Si vous ne connaissez pas la période théorique, il sera impossible de choisir le bon calibre de temps (base de temps) pour visualiser le signal correctement.

Normes

Selon la norme européenne NF EN 50160, la fréquence du réseau doit être maintenue à 50 Hz ± 1% pendant 99,5 % du temps. Une variation de période, même minime, peut perturber les horloges synchrones et les moteurs industriels.

Formule(s)

Formules utilisées

Relation Fondamentale T-f

\[ T = \frac{1}{f} \]
Hypothèses

Pour ce calcul théorique, nous considérons un cas idéal :

  • La fréquence est strictement constante à \(f = 50 \text{ Hz}\).
  • Le régime est établi (pas de fluctuations transitoires).
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Fréquence du réseau\(f\)50\(\text{Hz}\)
Astuces

Calcul mental rapide : Diviser par 50 est équivalent à diviser par 100 puis multiplier par 2.
Exemple : \(1 / 50 = (1 / 100) \times 2 = 0,01 \times 2 = 0,02\).

Situation Initiale : La Fréquence
Fréquence f = 50 Hz 1 seconde Beaucoup de cycles...
Calcul(s)
Calcul Principal

Application numérique

Nous appliquons la formule en remplaçant la variable \(f\) par sa valeur numérique donnée (50 Hz). L'opération consiste à diviser 1 par 50.

Calcul de T

\[ \begin{aligned} T &= \frac{1}{f} \\ &= \frac{1}{50} \\ &= 0,02 \text{ s} \end{aligned} \]

Le résultat final est de 0,02 seconde. Cela signifie qu'il ne faut que 2 centièmes de seconde au courant pour revenir à son état initial.

Schéma (Après les calculs)
T = 0,02 s Zoom sur 1 cycle
Réflexions

Le résultat de 0,02 seconde confirme notre intuition : le courant change de sens extrêmement vite. C'est assez lent pour être audible (son grave) mais trop rapide pour être vu à l'œil nu (persistance rétinienne).

Points de vigilance

Attention aux unités ! La formule \(T=1/f\) avec \(f\) en Hertz donne toujours un résultat en secondes. Une erreur classique est de penser que le résultat est directement en millisecondes.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

  • La relation est réciproque : \(T = 1/f\) et \(f = 1/T\).
  • L'unité standard de temps en physique est la seconde (s), pas la minute ni la milliseconde.
Le saviez-vous ?

L'oreille humaine perçoit les sons (vibrations de l'air) dont la période est comprise entre 50ms (20Hz, sons très graves) et 0,05ms (20kHz, sons très aigus). Le 50Hz du réseau électrique produit un bourdonnement grave caractéristique que l'on entend parfois près des transformateurs.

FAQ
Pourquoi 50 Hz et pas une autre valeur ?

C'est un compromis historique. Une fréquence trop basse (ex: 25Hz) provoquerait un scintillement visible des ampoules. Une fréquence trop haute augmenterait les pertes magnétiques dans les transformateurs et les pertes en ligne sur les longues distances. L'Europe (AEG) a choisi 50Hz, les USA (Westinghouse) ont choisi 60Hz.

\(T = 0,02 \text{ s}\)

A vous de jouer
Si la fréquence est de 100 Hz (double de la normale), quelle est la période en secondes ?

📝 Mémo
Inversez simplement la fréquence pour avoir le temps. Si la fréquence augmente, le temps diminue.


Question 2 : Convertir la période T en millisecondes (ms)

Principe

En électronique et en électricité, les phénomènes sont souvent extrêmement rapides. Utiliser la seconde comme unité principale conduit à manipuler des nombres à virgule peu pratiques (0,00...1). Pour plus de lisibilité et de confort, on préfère utiliser des sous-multiples comme la milliseconde (ms) ou la microseconde (µs).

Mini-Cours

Le préfixe "milli" (symbole 'm') signifie "millième" (\(10^{-3}\)).
1 seconde = 1000 millisecondes.
Pour convertir des secondes en millisecondes, il faut donc multiplier par 1000, ce qui revient à déplacer la virgule de 3 rangs vers la droite.

Remarque Pédagogique

C'est l'unité que vous lirez le plus souvent sur les réglages de base de temps d'un oscilloscope (bouton "Time/Div"). Pour visualiser un signal 50 Hz, on choisit généralement un calibre de 5 ms/div ou 10 ms/div.

Normes

Le Système International d'unités (SI) recommande l'usage des préfixes officiels (milli, micro, nano) pour présenter des résultats techniques lisibles, évitant ainsi les erreurs de lecture de zéros.

Formule(s)

Formule de conversion

Conversion s vers ms

\[ T_{\text{ms}} = T_{\text{s}} \times 1000 \]
Hypothèses

Il s'agit ici d'une simple conversion d'unité mathématique, aucune hypothèse physique n'est requise.

  • Rappel : \(1 \text{ s} = 10^3 \text{ ms}\)
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Période (calculée en Q1)\(T\)0,02\(\text{s}\)
Astuces

Moyen mnémotechnique : "Milli" comme "Mille". Il y a mille petits "milli" dans une grande unité. Le chiffre doit donc devenir plus grand (x1000).

Échelle de Conversion
0,02 s x 1000 ? ms
Calcul(s)
Calcul Principal

Application numérique

Nous partons du résultat précédent en secondes (\(T_{\text{s}} = 0,02\)). Pour convertir en millisecondes, nous devons multiplier cette valeur par 1000 :

\[ \begin{aligned} T_{\text{ms}} &= T_{\text{s}} \times 1000 \\ &= 0,02 \times 1000 \\ &= 20 \text{ ms} \end{aligned} \]

Multiplier par 1000 revient à décaler la virgule de trois rangs vers la droite : 0,02 devient 0020, soit 20. C'est une valeur beaucoup plus simple à manipuler.

Schéma (Après les calculs)
Résultat Converti
20 ms
Réflexions

Le résultat 20 ms est un "nombre rond", facile à mémoriser et à manipuler. C'est une valeur de référence absolue pour tout électricien travaillant sur le réseau 50 Hz.

Points de vigilance

Erreur fréquente : Diviser par 1000 au lieu de multiplier. Rappelez-vous qu'une milliseconde est toute petite, il en faut donc beaucoup pour faire une seconde.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

  • Réseau 50 Hz = 20 ms.
  • Ce couple de valeurs est inséparable en électrotechnique.
Le saviez-vous ?

Pour comparaison, un clignement d'œil humain dure environ 100 à 150 ms. Pendant le temps d'un seul clignement d'œil, le courant a le temps de changer de sens entre 10 et 15 fois !

FAQ
Et pour le 60 Hz (États-Unis) ?

Aux USA, la fréquence est de 60 Hz. Le calcul donne \(T = 1000/60 \approx 16,66 \text{ ms}\). Les cycles sont légèrement plus courts et plus rapides.

\(T = 20 \text{ ms}\)

A vous de jouer
Si vous avez une durée de 0,05 s, combien cela fait-il en millisecondes ?

📝 Mémo
"50 Hz correspond à 20 ms". C'est un réflexe professionnel à acquérir impérativement.


Question 3 : Calculer la pulsation \(\omega\) (oméga)

Principe

La pulsation \(\omega\) (lettre grecque oméga minuscule) est une grandeur fondamentale en physique ondulatoire. C'est l'équivalent de la fréquence, mais exprimée en "vitesse de rotation angulaire". Pourquoi en a-t-on besoin ? Parce que les fonctions mathématiques qui décrivent les ondes (sinus et cosinus) prennent en entrée un angle, et non un temps. La pulsation \(\omega\) sert de facteur de conversion pour transformer le temps \(t\) (secondes) en angle (radians).

Mini-Cours

Imaginez un point qui tourne sur un cercle. Un tour complet correspond à un angle de \(360^\circ\) ou \(2\pi\) radians. La fréquence \(f\) nous dit combien de tours sont faits par seconde. La pulsation \(\omega\) nous dit donc quel angle total est parcouru par seconde.
D'où la relation : \(\omega = 2\pi \times f\).

Remarque Pédagogique

Attention à la confusion visuelle ! Ne confondez pas le symbole \(\omega\) (oméga minuscule, qui ressemble à un 'w' arrondi) avec \(\Omega\) (Oméga majuscule), qui est le symbole de l'Ohm pour la résistance.

Normes

L'unité SI pour la vitesse angulaire est le radian par seconde (rad/s). Bien que l'on parle souvent en degrés dans la vie courante, les calculs analytiques (dérivées, intégrales) en physique utilisent exclusivement le radian.

Formule(s)

Formules utilisées

Définition de la Pulsation

\[ \omega = 2 \pi f \]
Hypothèses

On considère le système en rotation uniforme (vitesse angulaire constante), ce qui est le cas pour un alternateur de centrale électrique en régime stable.

  • \(\pi\) est approximé à 3,14159...
Donnée(s)
ParamètreValeur
Fréquence \(f\)50 \(\text{Hz}\)
Constante \(\pi\)\(\approx 3,14159\)
Astuces

Pour une estimation rapide de tête : \(2\pi \approx 6,28\). On peut arrondir à 6.
Donc \(\omega \approx 6 \times f\).
Pour 50 Hz : \(50 \times 6 = 300\). Le résultat exact sera un peu au-dessus (314).

Concept : Le Vecteur Tournant (Fresnel)
ω Vitesse de rotation angulaire
Calcul(s)
Calcul Principal

Application numérique

Nous appliquons la formule \(\omega = 2\pi f\). Nous remplaçons d'abord \(f\) par 50, puis \(\pi\) par une valeur approchée (3,14159...) :

\[ \begin{aligned} \omega &= 2 \times \pi \times f \\ &= 2 \times \pi \times 50 \\ &= 100 \times \pi \\ &\approx 100 \times 3,14159... \\ &\approx 314,16 \text{ rad/s} \end{aligned} \]

On arrondit généralement le résultat à l'entier le plus proche, soit 314 rad/s. Ce chiffre correspond simplement à la valeur de Pi multipliée par 100.

Schéma (Après les calculs)
ω ≈ 314 rad/s (Vitesse standard 50Hz)
Réflexions

La valeur 314 revient constamment dans les exercices car elle correspond simplement à \(100\pi\). Si vous trouvez 3140, vous avez probablement fait une erreur de virgule.

Points de vigilance

Calculatrice : Si vous utilisez cette valeur dans un sinus (\(\sin(\omega t)\)) plus tard, assurez-vous impérativement que votre calculatrice est configurée en mode RADIAN. Si vous restez en mode DEGRÉ, tous vos calculs de valeurs instantanées seront faux.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

  • La formule \(\omega = 2\pi f\).
  • Pour le réseau domestique (50 Hz), \(\omega \approx 314 \text{ rad/s}\).
Le saviez-vous ?

Dans l'aéronautique, les réseaux électriques fonctionnent souvent à une fréquence de 400 Hz pour réduire la taille et le poids des transformateurs. La pulsation y monte alors à environ \(800\pi \approx 2513 \text{ rad/s}\) !

FAQ
Peut-on avoir une pulsation négative ?

D'un point de vue purement mathématique, une pulsation négative signifierait une rotation dans le sens inverse (sens horaire). En physique du signal simple, on utilise conventionnellement la norme positive, car la fréquence est positive.

\(\omega \approx 314 \text{ rad/s}\)

A vous de jouer
Calculez la pulsation pour f = 100 Hz (valeur entière proche).

📝 Mémo
314 rad/s est une "constante métier" à connaître par cœur, tout comme on connaît la valeur de Pi.


Question 4 : Calculer la tension maximale \(U_{\text{max}}\)

Principe

La tension de 230 V que l'on cite habituellement est une valeur dite efficace (\(U_{\text{eff}}\)). C'est une moyenne énergétique : elle correspond à la tension continue qui produirait le même échauffement (effet Joule) dans une résistance. Cependant, la sinusoïde monte plus haut que cette moyenne. L'amplitude maximale, ou crête, est appelée tension maximale (\(U_{\text{max}}\)). Il est crucial de la connaître pour dimensionner l'isolement des câbles.

Mini-Cours

Pour un signal purement sinusoïdal, il existe un rapport géométrique constant entre la valeur maximale (le sommet de la vague) et la valeur efficace (la puissance de la vague). Ce rapport est \(\sqrt{2}\) (racine carrée de 2).

Remarque Pédagogique

C'est cette valeur crête (\(U_{\text{max}}\)) qui détermine la "distance de sécurité" électrique. Si un isolant ne tient que 250V, il claquera sur du 230V efficace car la tension réelle monte bien au-delà à chaque alternance !

Normes

Le réseau basse tension est normalisé à 230 V efficace. Cependant, le distributeur (comme Enedis en France) s'autorise une tolérance de +/- 10%.

Formule(s)

Relation Efficace-Max

Calcul de Umax

\[ U_{\text{max}} = U_{\text{eff}} \times \sqrt{2} \]
Hypothèses

On suppose que le signal est purement sinusoïdal. Si le signal était déformé (harmoniques), ce rapport \(\sqrt{2}\) ne serait plus exact.

  • \(\sqrt{2} \approx 1,414\)
Donnée(s)
ParamètreValeurUnité
Tension Efficace \(U_{\text{eff}}\)230\(\text{V}\)
Astuces

\(\sqrt{2}\) vaut environ 1,4. Cela signifie que la tension maximale est environ 40% plus élevée que la tension efficace. C'est un ordre de grandeur facile à retenir.

Visualisation Efficace vs Max
Ueff (230V) Umax?
Calcul(s)
Calcul Principal

Application numérique

Nous utilisons la relation \(U_{\text{max}} = U_{\text{eff}} \times \sqrt{2}\). Nous remplaçons \(U_{\text{eff}}\) par la tension du secteur (230 V) :

\[ \begin{aligned} U_{\text{max}} &= 230 \times \sqrt{2} \\ &\approx 230 \times 1,4142... \\ &\approx 325,27 \text{ V} \end{aligned} \]

Le résultat montre que la tension "crête" (le sommet de la sinusoïde) est nettement supérieure à la tension nominale de 230 V. C'est ce pic de tension que l'isolant doit supporter.

Schéma (Après les calculs)
Umax ≈ 325 V Crête du signal
Réflexions

On constate que la tension instantanée dépasse largement les 300V ! C'est ce qui rend le courant alternatif particulièrement dangereux et ce qui impose des contraintes strictes sur le matériel électrique (condensateurs, câbles).

Points de vigilance

Erreur fatale : Ne jamais utiliser \(U_{\text{max}}\) pour calculer une puissance active (\(P=UI\)). Les calculs de puissance se font toujours avec les valeurs efficaces. \(U_{\text{max}}\) ne sert quasiment qu'à l'isolation et à l'écriture de l'équation temporelle.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

  • Le réseau "230V" atteint en réalité une crête de 325 V.
  • Le coefficient magique est \(\sqrt{2}\).
Le saviez-vous ?

Avant 1996, la tension en France était de 220 V. Elle a été harmonisée à 230 V (+/- 10%) dans toute l'Europe pour faciliter l'interconnexion des réseaux électriques nationaux.

FAQ
Pourquoi parle-t-on encore de "220 Volts" ?

C'est un abus de langage hérité de l'ancienne norme (avant 1996). Beaucoup de gens continuent de dire "le 220" par habitude, mais la valeur réelle est bien 230 V aujourd'hui.

\(U_{\text{max}} \approx 325 \text{ V}\)

A vous de jouer
Si Ueff = 100 V, combien vaut Umax ?

📝 Mémo
Umax est toujours plus grand que Ueff. La crête est plus haute que la "moyenne".


Question 5 : Écrire l'équation temporelle \(u(t)\)

Principe

Nous avons maintenant toutes les pièces du puzzle : l'amplitude (\(U_{\text{max}}\)) et la vitesse de variation (\(\omega\)). Nous pouvons assembler ces valeurs pour écrire l'équation temporelle du signal. C'est l'expression mathématique ultime qui permet de calculer la valeur exacte de la tension à n'importe quelle fraction de seconde \(t\).

Mini-Cours

L'équation universelle d'une grandeur sinusoïdale alternative est de la forme :
\(u(t) = \text{Amplitude} \times \sin(\text{Pulsation} \times \text{temps} + \text{Phase})\).
C'est la "carte d'identité" mathématique complète du signal.

Remarque Pédagogique

Dans cette expression, \(t\) reste une lettre (la variable), tandis que \(U_{\text{max}}\) et \(\omega\) sont remplacés par les valeurs numériques que nous avons calculées.

Normes

On utilise la convention standard des minuscules pour les grandeurs instantanées (qui varient avec le temps) : \(u(t)\), \(i(t)\), \(p(t)\). Les majuscules (\(U\), \(I\)) sont réservées aux valeurs efficaces ou constantes.

Formule(s)

Modèle Mathématique

Formule générale

\[ u(t) = U_{\text{max}} \cdot \sin(\omega \cdot t + \phi) \]
Hypothèses

Pour simplifier l'écriture, nous posons arbitrairement que l'origine des temps (t=0) correspond au moment où la tension passe par 0 en montant. Cela signifie que le déphasage à l'origine est nul.

  • \(\phi = 0\) (Phase à l'origine nulle)
Donnée(s)
ParamètreValeurSource
\(U_{\text{max}}\)325 \(\text{V}\)Calculé en Q4
\(\omega\)314 \(\text{rad/s}\)Calculé en Q3
Astuces

C'est un simple exercice d'assemblage : prenez le "squelette" de la formule et remplissez les trous avec vos résultats précédents.

Assemblage de l'équation
Forme générique : u(t) = [?] sin( [?] t )
Calcul(s)
Résultat

Expression finale

Pour construire l'équation, nous injectons les constantes calculées précédemment (\(U_{\text{max}}\) et \(\omega\)) dans la formule générale. La variable \(t\) (le temps) reste une lettre car elle varie.

\[ \begin{aligned} u(t) &= U_{\text{max}} \cdot \sin(\omega \cdot t) \\ &= 325 \cdot \sin(314 \cdot t) \end{aligned} \]

Cette équation est complète. Si vous remplacez \(t\) par une valeur (par exemple 0,005 seconde), vous pourrez calculer la tension exacte à cet instant précis.

Schéma (Après les calculs)
u(t) = 325 sin(314 t)
Réflexions

Cette équation permet de vérifier la cohérence. Par exemple, si on remplace \(t\) par 0,01s (une demi-période), on obtient \(\sin(3,14)\), ce qui fait zéro. C'est logique : à une demi-période, le signal repasse par zéro !

Points de vigilance

Erreur de syntaxe : N'oubliez surtout pas le \(t\) dans la parenthèse ! Écrire \(u(t) = 325 \sin(314)\) est faux, car cela voudrait dire que la tension est constante. C'est bien le produit \(314 \times t\) qui fait varier l'angle au fil du temps.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

  • La forme canonique : \(A \sin(\omega t)\).
  • L'amplitude est devant le sinus, la pulsation est dedans, collée au temps.
Le saviez-vous ?

Dans un système triphasé, nous aurions trois équations de ce type, décalées dans le temps : \(u_1(t) = 325 \sin(314t)\), \(u_2(t) = 325 \sin(314t - 2\pi/3)\), \(u_3(t) = 325 \sin(314t - 4\pi/3)\).

FAQ
Et s'il y a un déphasage ?

L'équation devient \(u(t) = 325 \sin(314t + \phi)\), où \(\phi\) est l'angle de décalage à l'origine (en radians).

\(u(t) \approx 325 \sin(314 t)\)

A vous de jouer
Quelle est la valeur de la tension \(u(t)\) à l'instant t = 0 s ?

📝 Mémo
Une équation complète décrit toute l'histoire du signal, passé et futur.


Schéma Bilan de l'Exercice

Synthèse des caractéristiques temporelles et d'amplitude du réseau 50 Hz.

t (s) u (V) 325V T = 20 ms ω = 314 rad/s

📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument

Voici la synthèse des points clés méthodologiques et physiques abordés dans cet exercice :

  • 🔑
    Relation Temps/Fréquence :
    \(T = 1/f\). La période est l'inverse de la fréquence. Une fréquence élevée signifie une période courte.
  • 📐
    Pulsation (Vitesse angulaire) :
    \(\omega = 2\pi f\). C'est le moteur mathématique du signal, exprimé en rad/s.
  • ⚠️
    Amplitude Max vs Efficace :
    \(U_{\text{max}} = U_{\text{eff}}\sqrt{2}\). Le voltmètre mesure l'efficace, l'oscilloscope montre le max.
  • 💡
    Le "Trio 50 Hz" à connaître par cœur :
    Pour f = 50 Hz : T = 20 ms, \(\omega\) = 314 rad/s.
"Maîtriser ces conversions est la base de toute l'électrotechnique en courant alternatif."

🎛️ Simulateur : Impact de la Fréquence

Modifiez la fréquence pour observer comment la période et la sinusoïde évoluent.

Paramètres
Période (T) : -
Pulsation (\(\omega\)) : -

📝 Quiz final : Testez vos connaissances

1. Quelle est l'unité de la pulsation \(\omega\) ?

2. Si la période double, que fait la fréquence ?

📚 Glossaire

Fréquence (f)
Nombre de répétitions du signal par seconde (en Hz).
Période (T)
Durée minimale au bout de laquelle le signal se répète (en s).
Pulsation (\(\omega\))
Vitesse angulaire équivalente en rad/s.
Sinusoïdal
Forme d'onde qui suit la fonction mathématique sinus.
Umax
Valeur maximale (crête) de la tension.
Exercice : Calcul de la Période et de la Pulsation
Le Saviez-vous ?

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