Calcul de l’amplitude de l’onde réfléchie
Comprendre le Calcul de l’amplitude de l’onde réfléchie
Vous êtes un ingénieur en télécommunications travaillant sur la conception d’un système de communication pour un tunnel ferroviaire.
Vous devez prendre en compte les effets de la réflexion des ondes électromagnétiques sur les parois du tunnel pour garantir une transmission claire et continue des signaux.
Pour comprendre le Calcul de la Vitesse de Phase d’une Onde, cliquez sur le lien.
Données:
- Fréquence de l’onde (f) : 500 MHz, ce qui correspond à une onde radio couramment utilisée pour les communications.
- Permittivité relative du matériau du tunnel (εr) : 5
- Perméabilité relative du matériau du tunnel (μr) : 1
- Conductivité du matériau du tunnel (σ) : 0,1 S/m
- Distance entre l’émetteur et la paroi réfléchissante (d) : 100 m
Questions:
1. Calculer la longueur d’onde dans le vide de l’onde électromagnétique.
2. Déterminer la longueur d’onde dans le matériau du tunnel en tenant compte des propriétés diélectriques du matériau.
3. Évaluer le coefficient de réflexion à l’interface air-matériau du tunnel.
4. Calculer l’amplitude de l’onde réfléchie si l’amplitude de l’onde incidente est de 1 V/m.
Correction : Calcul de l’amplitude de l’onde réfléchie
Données de l’exercice:
- Fréquence de l’onde (f) : 500 MHz (ou \(500 \times 10^6\) Hz)
- Permittivité relative du matériau du tunnel (εr) : 5
- Perméabilité relative du matériau du tunnel (μr) : 1
- Conductivité du matériau du tunnel (σ) : 0,1 S/m
- Distance entre l’émetteur et la paroi réfléchissante (d) : 100 m
1. Calcul de la longueur d’onde dans le vide (\(\lambda_0\))
La formule pour la longueur d’onde dans le vide est :
\[ \lambda_0 = \frac{c}{f} \]
où \(c = 3 \times 10^8\) m/s est la vitesse de la lumière dans le vide.
Substitution des valeurs :
\[ \lambda_0 = \frac{3 \times 10^8 \text{ m/s}}{500 \times 10^6 \text{ Hz}} \] \[ \lambda_0 = 0,6 \text{ m} \]
2. Calcul de la longueur d’onde dans le matériau (\(\lambda_m\))
La vitesse de l’onde dans le matériau est affectée par la permittivité et la perméabilité relatives, donc :
\[ \lambda_m = \frac{\lambda_0}{\sqrt{\epsilon_r \mu_r}} \]
Substitution des valeurs :
\[ \lambda_m = \frac{0,6 \text{ m}}{\sqrt{5 \times 1}} \] \[ \lambda_m = \frac{0,6 \text{ m}}{\sqrt{5}} \] \[ \lambda_m \approx 0,268 \text{ m} \]
3. Calcul du coefficient de réflexion (\(\Gamma\))
Le coefficient de réflexion est donné par la formule :
\[ \Gamma = \frac{\eta_2 – \eta_1}{\eta_2 + \eta_1} \]
où les impédances sont définies comme :
\[ \eta_1 = \frac{\sqrt{\mu_0}}{\sqrt{\epsilon_0}}, \quad \eta_2 = \frac{\sqrt{\mu_0 \mu_r}}{\sqrt{\epsilon_0 \epsilon_r}} \]
Pour simplifier, nous utilisons les valeurs relatives :
\[ \eta_1 = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1, \quad \eta_2 = \frac{1}{\sqrt{5}} \]
Substitution des valeurs :
\[ \Gamma = \frac{\frac{1}{\sqrt{5}} – 1}{\frac{1}{\sqrt{5}} + 1} = \frac{1 – \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5}} \]
En résolvant cette expression, nous obtenons :
\[ \Gamma \approx -0,382 \]
4. Calcul de l’amplitude de l’onde réfléchie (\(A_r\))
L’amplitude de l’onde réfléchie est calculée comme :
\[ A_r = \Gamma \times A_i \]
où \(A_i = 1\) V/m.
Substitution des valeurs :
\[ A_r = -0,382 \times 1 \text{ V/m} \] \[ A_r = -0,382 \text{ V/m} \]
Résumé des résultats
- Longueur d’onde dans le vide : 0,6 m
- Longueur d’onde dans le matériau : environ 0,268 m
- Coefficient de réflexion : -0,382 (l’onde réfléchie est en phase opposée à l’onde incidente)
- Amplitude de l’onde réfléchie : -0,382 V/m (indiquant une réduction et une inversion de phase par rapport à l’onde incidente)
Calcul de l’amplitude de l’onde réfléchie
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