Calcul de l’énergie potentielle d’une sphère

Comprendre le Calcul de l’énergie potentielle d’une sphère

Une sphère métallique de rayon $R = 0.1\,\text{m}$ est uniformément chargée avec une densité de charge $\rho = 8.85 \times 10^{-12}\,\text{C/m}^3$.

Cette sphère est isolée et placée dans le vide, où elle interagit uniquement avec les champs électriques générés par sa propre charge.

Pour comprendre la Différence de potentiel entre deux points, cliquez sur le lien.

Données:

• Rayon de la sphère, $R = 0.1\,\text{m}$ (rayon de la sphère)
• Densité de charge, $\rho = 8.85 \times 10^{-12}\,\text{C/m}^3$ (densité de charge)
• Permittivité du vide, $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\text{F/m}$ (permittivité du vide)

Question:

Calculer l’énergie potentielle électrostatique $U$ de la sphère.

Correction : Calcul de l’énergie potentielle d’une sphère

Étape 1: Calcul de la charge totale $Q$

Nous commençons par calculer la charge totale $Q$ en utilisant la formule:

$$Q = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$$

où:

• $\rho = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{C/m}^3$ est la densité de charge,
• $R = 0.1 \, \text{m}$ est le rayon de la sphère.

Substituons les valeurs:

$$Q = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{C/m}^3 \times \frac{4}{3} \pi (0.1 \, \text{m})^3$$

Calculons cette expression:

$$Q = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{C/m}^3 \times \frac{4}{3} \times 3.14159 \times (0.1)^3$$ $$Q = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{C/m}^3 \times \frac{4}{3} \times 3.14159 \times 0.001$$ $$Q = 1.479 \times 10^{-14} \, \text{C}$$

Étape 2: Calcul de l’énergie potentielle $U$

L’énergie potentielle $U$ est donnée par la formule:

$$U = \frac{3}{5} \frac{Q^2}{4 \pi \epsilon_0 R}$$

où $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m}$ est la permittivité du vide.

Substituons les valeurs:

$$U = \frac{3}{5} \frac{(1.479 \times 10^{-14} \, \text{C})^2}{4 \times 3.14159 \times 8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m} \times 0.1 \, \text{m}}$$

Calculons cette expression:

$$U = \frac{3}{5} \frac{(1.479 \times 10^{-14})^2}{4 \times 3.14159 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.1}$$ $$U = \frac{3}{5} \frac{2.187 \times 10^{-28}}{11.178 \times 10^{-12}}$$ $$U = \frac{3}{5} \times 0.1955 \times 10^{-16}$$ $$U = 0.1173 \times 10^{-16} \, \text{J}$$ $$U = 1.173 \times 10^{-17} \, \text{J}$$

Résultat final

L’énergie potentielle électrostatique $U$ de la sphère chargée est de $1.173 \times 10^{-17} \, \text{joules}$.

Calcul de l’énergie potentielle d’une sphère

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