Calcul de l’impédance dans un circuit RLC
Comprendre le Calcul de l’impédance dans un circuit RLC
Dans un laboratoire d’électronique, un technicien est chargé de concevoir un circuit RLC série pour tester la réponse d’un nouveau type de condensateur. Le circuit comprend une résistance, un condensateur, et une bobine inductive connectés en série et alimentés par une source de tension alternative.
Données :
- Résistance (R) = 120 ohms
- Capacitance (C) = 47 microfarads (µF)
- Inductance (L) = 0.3 henries (H)
- Fréquence de la source de tension alternative = 50 Hz
Questions :
1. Calculez la réactance capacitive (Xc) du condensateur.
2. Calculez la réactance inductive (Xl) de la bobine.
3. Déterminez l’impédance totale (Z) du circuit.
4. Comment l’impédance affecte-t-elle l’amplitude du courant circulant dans le circuit ?
Correction : Calcul de l’impédance dans un circuit RLC
1. Calcul de la réactance capacitive (\(X_c\)) du condensateur
La réactance capacitive, notée \(X_c\), représente l’opposition qu’offre un condensateur au passage du courant alternatif. Elle dépend de la fréquence de la source de tension et de la capacité du condensateur.
Formule :
\[ X_c = \frac{1}{\omega C} \]
où \(\omega = 2\pi f\) est la pulsation, \(f\) est la fréquence, et \(C\) est la capacité.
Données :
- \(f = 50 \, \text{Hz}\)
- \(C = 47 \, \mu\text{F} = 47 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Calcul :
\[ \omega = 2\pi \times 50 = 314.16 \, \text{rad/s} \]
\[ X_c = \frac{1}{314.16 \times 47 \times 10^{-6}} \approx 67.68 \, \Omega \]
2. Calcul de la réactance inductive (\(X_l\)) de la bobine
La réactance inductive, notée \(X_l\), indique l’opposition à la variation du courant par une bobine due à son inductance. Elle augmente avec la fréquence et l’inductance de la bobine.
Formule :
\[ X_l = \omega L \quad \text{où} \quad L \text{ est l’inductance.} \]
Données :
- \(L = 0.3 \, \text{H}\)
Calcul :
\[ X_l = 314.16 \times 0.3 = 94.248 \, \Omega \]
3. Détermination de l’impédance totale (\(Z\)) du circuit
Dans un circuit RLC série, l’impédance totale \(Z\) est la somme vectorielle de la résistance \(R\), de la réactance inductive \(X_l\), et de la réactance capacitive \(X_c\) (qui a un effet opposé à \(X_l\)).
Formule :
\[ Z = \sqrt{R^2 + (X_l – X_c)^2} \]
Données :
- \(R = 120 \, \Omega\)
- \(X_l = 94.248 \, \Omega\)
- \(X_c = 67.68 \, \Omega\)
Calcul :
\[ Z = \sqrt{120^2 + (94.248 – 67.68)^2} \] \[ Z \approx \sqrt{120^2 + 26.568^2} \] \[ Z \approx 122.91 \, \Omega \]
4. Impact de l’impédance sur l’amplitude du courant circulant dans le circuit
L’impédance totale \(Z\) du circuit influence directement l’amplitude du courant selon la loi d’Ohm pour les circuits AC, où le courant \(I\) est inversement proportionnel à \(Z\).
Formule :
\[ I = \frac{V}{Z} \] où V est la tension de la source.
Données :
Supposons \(V = 230 \, \text{V}\) (tension typique d’un circuit domestique en Europe)
Calcul :
\[ I = \frac{230}{122.91} \approx 1.87 \, \text{A} \]
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