Calcul de l’Inductance et de l’Énergie Stockée dans un Solénoïde
Comprendre l'Inductance et l'Énergie Magnétique
L'inductance (\(L\)) est une propriété fondamentale des circuits électriques qui décrit leur capacité à s'opposer aux variations de courant. Elle est définie comme le rapport entre le flux magnétique total (\(\Phi_{\text{total}}\)) qui traverse les spires d'une bobine et le courant (\(I\)) qui produit ce flux : \(L = \Phi_{\text{total}} / I\). Lorsqu'un courant circule dans un inducteur, comme un solénoïde, un champ magnétique est créé, et de l'énergie est stockée dans ce champ.
L'énergie magnétique (\(W_m\)) emmagasinée dans un inducteur d'inductance \(L\) parcouru par un courant \(I\) est donnée par \(W_m = \frac{1}{2} L I^2\). Pour un solénoïde long, l'inductance peut être calculée à partir de ses caractéristiques géométriques (nombre de spires \(N\), longueur \(l\), section \(A\)) et de la perméabilité magnétique (\(\mu\)) du milieu. Dans le vide ou l'air, \(\mu \approx \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\).
Cet exercice vise à calculer l'inductance d'un solénoïde, le champ magnétique qu'il génère, le flux magnétique à travers ses spires, et l'énergie magnétique totale stockée, ainsi que la densité d'énergie magnétique.
Données de l'étude
- Nombre de spires (\(N\)) : \(800\)
- Longueur du solénoïde (\(l\)) : \(0.40 \, \text{m}\)
- Rayon des spires (\(r\)) : \(0.025 \, \text{m}\) (soit \(2.5 \, \text{cm}\))
- Courant parcourant le solénoïde (\(I\)) : \(4.0 \, \text{A}\)
- Le solénoïde est supposé être dans l'air (ou vide), donc on utilise la perméabilité du vide \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\).
Schéma d'un Solénoïde
Solénoïde de longueur \(l\), rayon \(r\), \(N\) spires, parcouru par un courant \(I\).
Questions à traiter
- Calculer la section transversale (aire) \(A\) d'une spire du solénoïde en \(\text{m}^2\).
- Calculer la densité de spires (nombre de spires par unité de longueur) \(n\).
- Calculer l'intensité du champ magnétique \(B\) à l'intérieur du solénoïde.
- Calculer le flux magnétique \(\Phi_{\text{spire}}\) à travers une seule spire.
- Calculer l'inductance propre \(L\) du solénoïde en utilisant la formule \(L = \mu_0 \frac{N^2 A}{l}\).
- Calculer l'énergie magnétique \(W_m\) stockée dans le solénoïde.
- Calculer la densité d'énergie magnétique \(w_m\) à l'intérieur du solénoïde.
- Vérifier que l'énergie totale stockée \(W_m\) peut aussi être obtenue en multipliant la densité d'énergie \(w_m\) par le volume intérieur du solénoïde \(V_{\text{int}} = A \cdot l\).
Correction : Calcul de l’Inductance et de l’Énergie Stockée dans un Solénoïde
Question 1 : Section transversale (\(A\)) d'une spire
Principe :
La section transversale d'une spire circulaire de rayon \(r\) est l'aire d'un disque : \(A = \pi r^2\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- Rayon (\(r\)) : \(0.025 \, \text{m}\)
Calcul :
Soit \(A \approx 1.963 \times 10^{-3} \, \text{m}^2\).
Quiz Intermédiaire 1 : Si le rayon d'une spire est triplé, sa section :
Question 2 : Densité de spires (\(n\))
Principe :
La densité de spires \(n\) est le nombre total de spires \(N\) divisé par la longueur \(l\) du solénoïde.
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- Nombre de spires (\(N\)) : \(800\)
- Longueur du solénoïde (\(l\)) : \(0.40 \, \text{m}\)
Calcul :
Quiz Intermédiaire 2 : Si la longueur d'un solénoïde double mais que le nombre total de spires reste le même, la densité de spires \(n\) :
Question 3 : Intensité du champ magnétique (\(B\))
Principe :
Pour un solénoïde long, le champ magnétique à l'intérieur est approximativement uniforme et donné par \(B = \mu_0 n I\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- Perméabilité du vide (\(\mu_0\)) : \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\)
- Densité de spires (\(n\)) : \(2000 \, \text{spires/m}\) (de Q2)
- Courant (\(I\)) : \(4.0 \, \text{A}\)
Calcul :
Soit \(B \approx 10.05 \, \text{mT}\).
Quiz Intermédiaire 3 : Le champ magnétique à l'extérieur d'un solénoïde idéal long est :
Question 4 : Flux magnétique (\(\Phi_{\text{spire}}\)) à travers une seule spire
Principe :
Le flux magnétique à travers une spire est \(\Phi_{\text{spire}} = B \cdot A\), car le champ \(B\) est supposé uniforme et perpendiculaire à la section \(A\) de la spire.
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- Champ magnétique (\(B\)) : \(\approx 0.010053 \, \text{T}\) (de Q3)
- Section (\(A\)) : \(\approx 0.0019635 \, \text{m}^2\) (de Q1)
Calcul :
Quiz Intermédiaire 4 : Si l'aire d'une spire double et que le champ magnétique B reste constant et perpendiculaire, le flux à travers la spire :
Question 5 : Inductance propre (\(L\)) du solénoïde
Principe :
L'inductance propre d'un solénoïde long est donnée par la formule \(L = \mu_0 \frac{N^2 A}{l}\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\)
- \(N = 800\)
- \(A \approx 0.0019635 \, \text{m}^2\) (de Q1)
- \(l = 0.40 \, \text{m}\)
Calcul :
Soit \(L \approx 3.95 \, \text{mH}\).
Alternativement, utilisant \(n=N/l=2000\), \(L = \mu_0 n^2 A l = (4\pi \times 10^{-7}) \cdot (2000)^2 \cdot (0.0019635) \cdot (0.40) \approx 0.0039478 \, \text{H}\).
Quiz Intermédiaire 5 : Si la longueur \(l\) d'un solénoïde est doublée (N et A constants), son inductance \(L\) :
Question 6 : Énergie magnétique (\(W_m\)) stockée
Principe :
L'énergie magnétique stockée dans une inductance est \(W_m = \frac{1}{2} L I^2\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- Inductance (\(L\)) : \(\approx 0.0039478 \, \text{H}\) (de Q5)
- Courant (\(I\)) : \(4.0 \, \text{A}\)
Calcul :
Soit \(W_m \approx 31.58 \, \text{mJ}\).
Quiz Intermédiaire 6 : L'énergie stockée dans un inducteur est sous forme :
Question 7 : Densité d'énergie magnétique (\(w_m\))
Principe :
La densité d'énergie magnétique dans un milieu de perméabilité \(\mu_0\) où règne un champ magnétique \(B\) est \(w_m = \frac{B^2}{2\mu_0}\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- Champ magnétique (\(B\)) : \(\approx 0.010053 \, \text{T}\) (de Q3)
- Perméabilité du vide (\(\mu_0\)) : \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\)
Calcul :
Quiz Intermédiaire 7 : Si le champ magnétique \(B\) à l'intérieur d'un solénoïde double, la densité d'énergie magnétique \(w_m\) :
Question 8 : Vérification de l'énergie stockée (\(W_m = w_m \cdot V_{\text{int}}\))
Principe :
Le volume intérieur du solénoïde est \(V_{\text{int}} = A \cdot l\). L'énergie totale stockée est \(W_m = w_m \cdot V_{\text{int}}\).
Calcul du volume :
Calcul de l'énergie :
Cette valeur est très proche de \(0.0315824 \, \text{J}\) calculée en Q6. Les petites différences sont dues aux arrondis intermédiaires.
Quiz Intermédiaire 8 : La densité d'énergie magnétique est utile pour :
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. L'inductance d'un solénoïde long est proportionnelle :
2. L'énergie stockée dans un solénoïde est donnée par :
3. La densité d'énergie magnétique (\(w_m\)) dans le vide est :
Glossaire
- Solénoïde
- Bobine de fil conductrice, généralement de forme cylindrique, conçue pour produire un champ magnétique lorsqu'elle est parcourue par un courant électrique.
- Champ Magnétique (\(\vec{B}\))
- Champ vectoriel qui décrit l'influence magnétique des courants électriques et des matériaux magnétiques. Unité : Tesla (T).
- Inductance (\(L\))
- Propriété d'un circuit électrique par laquelle une force électromotrice (tension) est induite en lui-même par une variation du courant qui le traverse, ou dans un circuit voisin par une variation du courant dans ce circuit voisin. Unité : Henry (H).
- Flux Magnétique (\(\Phi_B\))
- Mesure de la quantité totale de champ magnétique passant à travers une surface donnée. Unité : Weber (Wb).
- Énergie Magnétique (\(W_m\))
- Énergie stockée dans un champ magnétique. Pour une inductance, \(W_m = \frac{1}{2} L I^2\). Unité : Joule (J).
- Densité d'Énergie Magnétique (\(w_m\))
- Énergie magnétique stockée par unité de volume dans une région où existe un champ magnétique. \(w_m = \frac{B^2}{2\mu}\). Unité : Joule par mètre cube (J/m³).
- Perméabilité du Vide (\(\mu_0\))
- Constante physique fondamentale représentant la capacité du vide à supporter la formation d'un champ magnétique. \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\).
- Perméabilité Magnétique (\(\mu\))
- Mesure de la capacité d'un matériau à supporter la formation d'un champ magnétique en son sein. \(\mu = \mu_r \mu_0\), où \(\mu_r\) est la perméabilité relative.
- Densité de Spires (\(n\))
- Nombre de spires par unité de longueur d'un solénoïde (\(n=N/l\)).
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