Calcul du Flux Électrique à Travers une Surface
Comprendre le Calcul du Flux Électrique à Travers une Surface
En électrostatique, le flux électrique à travers une surface fermée est une quantité importante pour déterminer la charge totale enfermée par cette surface.
Cet exercice vous permettra de comprendre comment appliquer le théorème de Gauss pour calculer le flux électrique à travers une surface sphérique, en prenant en compte une distribution de charge spécifique.
Pour comprendre la Vérification de la conservation de la charge, cliquez sur le lien.
Données:
- Une charge ponctuelle \( Q \) de \( +5 \, \mu C \) (microcoulombs) est placée au centre d’une sphère.
- La sphère a un rayon \( R \) de \( 2 \, m \) (mètres).
- La permittivité du vide \( \epsilon_0 \) est de \( 8.85 \times 10^{-12} \, F/m \) (farads par mètre).
- La charge est uniformément distribuée en volume dans un petit noyau au centre de la sphère, le reste de la sphère étant non chargé.
Questions:
1. Calculez le flux électrique \( \Phi_E \) à travers la surface de la sphère.
2. Déterminez si le résultat serait différent si la charge était distribuée uniformément sur la surface de la sphère au lieu d’être au centre.
Correction : Calcul du Flux Électrique à Travers une Surface
1. Calcul du Flux Électrique \(\Phi_E\)
Formule de la loi de Gauss :
\[ \Phi_E = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0} \]
où \(Q_{\text{enc}}\) est la charge totale enfermée par la surface, et \(\epsilon_0\) est la permittivité du vide.
Substitution des valeurs données :
- \(Q = +5\, \mu C = 5 \times 10^{-6}\, C\) (Coulombs)
- \(\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\, F/m\) (Farads par mètre)
Calcul du flux :
\[ \Phi_E = \frac{5 \times 10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12}} \] \[ \Phi_E = 564971.751412\, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C} \]
Le flux électrique à travers la surface de la sphère est donc d’environ \(564,972\, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}\).
2. Réflexion sur la Distribution de la Charge
Question : Si la charge était distribuée uniformément sur la surface de la sphère au lieu d’être concentrée au centre, le résultat serait-il différent?
Analyse :
Dans le cas d’une sphère avec une charge ponctuelle au centre, comme vu précédemment, toute la charge est uniformément « vue » depuis n’importe quel point sur la surface sphérique, car chaque ligne de champ partant de la charge intersecte la surface une fois.
Si la charge était répartie sur la surface, le flux électrique à travers la surface serait également le même. Cela est dû à la propriété de symétrie sphérique qui s’applique toujours.
Le champ électrique à la surface serait simplement
\[ E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2} \]
et en intégrant ce champ sur toute la surface sphérique
\[ A = 4\pi R^2 \]
on retrouverait le même flux:
\[ \Phi_E = E \cdot A = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2} \cdot 4\pi R^2 = \frac{Q}{\epsilon_0} \]
Conclusion :
Le flux électrique \(\Phi_E\) calculé serait le même que la charge soit concentrée au centre ou distribuée uniformément sur la surface de la sphère.
Le théorème de Gauss assure que le calcul du flux ne dépend que de la charge totale enfermée et de la symétrie de la distribution de la charge.
Calcul du Flux Électrique à Travers une Surface
D’autres exercices d’électricité statique:
0 commentaires