Calcul du Rapport des Amplitudes Complexes
Comprendre le Calcul du Rapport des Amplitudes Complexes
Un circuit RLC série est soumis à une tension d’entrée sinusoïdale. Le circuit est composé d’une résistance \(R\), d’une bobine d’inductance \(L\) et d’un condensateur \(C\).
L’objectif est de calculer le rapport des amplitudes complexes entre la tension aux bornes du condensateur et la tension d’entrée.
Données Fournies:
- Résistance \(R = 200\, \Omega\)
- Inductance \(L = 0.5\, H\)
- Capacité \(C = 10\, \mu F\)
- Fréquence du signal d’entrée \(f = 1000\, Hz\)
- Amplitude de la tension d’entrée \(V_0 = 10\, V\)
Question:
Calculez le rapport des amplitudes complexes \(\frac{V_C}{V_0}\), exprimé sous forme algébrique et polaire, et interprétez le résultat.
Correction : Calcul du Rapport des Amplitudes Complexes
Données Initiales:
- Résistance (R): \(200\, \Omega\)
- Inductance (L): \(0.5\, H\)
- Capacité (C): \(10\, \mu F = 10 \times 10^{-6}\, F\)
- Fréquence du signal (f): \(1000\, Hz\)
- Amplitude de la tension d’entrée (V₀): \(10\, V\)
1. Calcul des Paramètres du Circuit:
Fréquence Angulaire (ω):
\[ \omega = 2\pi f \] \[ \omega = 2\pi \times 1000 \] \[ \omega = 6283.19\, \text{rad/s} \]
Impédance de la Bobine (Zᴸ):
\[ Z_L = j\omega L \] \[ Z_L = j \times 6283.19 \times 0.5 \] \[ Z_L = j \times 3141.595\, \Omega \]
Impédance du Condensateur (Z𝘾):
\[ Z_C = \frac{1}{j\omega C} \] \[ Z_C = \frac{1}{j \times 6283.19 \times 10 \times 10^{-6}} \] \[ Z_C \approx -j \times 15915.494\, \Omega \]
Impédance Totale du Circuit (Zₜₒₜ):
\[ Z_{tot} = R + Z_L + Z_C \] \[ Z_{tot} = 200 + j \times 3141.595 – j \times 15915.494 \] \[ Z_{tot} = 200 – j \times 12773.899\, \Omega \]
2. Calcul du Rapport des Amplitudes:
Multiplication et Division Complexes:
\[ \frac{Z_C}{Z_{\text{tot}}} = \frac{-j \times 15915.494}{200 – j \times 12773.899} \]
Multiplions le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur pour éliminer la partie imaginaire au dénominateur:
\[ = \frac{Z_C}{Z_{\text{tot}}} = \frac{-j \times 15915.494 \times (200 + j \times 12773.899)}{200^2 + (12773.899)^2} \] \[ = \frac{-j \times 15915.494 \times 200 – 15915.494 \times 12773.899}{40000 + 163154213.801} \] \[ = \frac{-3183098.8 – j \times 203145579.781}{163194213.801} \] \[ \approx -0.0195 + j \times 12.45 \]
Amplitude de la Tension aux Bornes du Condensateur (V\_C):
\[ V_C = V_0 \times (-0.0195 + j \times 12.45) \] \[ V_C = 10 \times (-0.0195 + j \times 12.45) \] \[ V_C = -0.195 + j \times 124.5 \, V \]
3. Conversion en Forme Polaire:
Module (Amplitude):
\[ |V_C| = \sqrt{(-0.195)^2 + (124.5)^2} \] \[ |V_C| \approx 124.5 \, V \]
Argument (Phase):
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{124.5}{-0.195}\right) \] \[ \theta \approx -89.1^\circ \, (\text{ou} \, 270.9^\circ) \]
4. Interprétation et Conclusion:
Le calcul révèle que le rapport des amplitudes complexes \( \frac{V_C}{V_0} \) est d’environ 12.45 en amplitude, indiquant que la tension aux bornes du condensateur est approximativement 12.45 fois plus grande que la tension d’entrée.
Le déphasage de presque \(-90^\circ\) indique que la tension aux bornes du condensateur est quasiment en quadrature avec la tension d’entrée, caractéristique d’un comportement prédominant du condensateur dans ce circuit RLC à la fréquence spécifiée.
Calcul du Rapport des Amplitudes Complexes
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