Calcul du vecteur de Poynting
Comprendre le Calcul du vecteur de Poynting
Le vecteur de Poynting, nommé d’après John Henry Poynting, représente la direction et l’intensité du flux d’énergie électromagnétique dans un milieu.
Cet exercice examine l’interaction entre un champ électrique et un champ magnétique dans un espace libre, une situation fréquente en ingénierie des télécommunications et en physique des radiations.
Pour comprendre le Potentiel Vecteur d’un Courant Continu, cliquez sur le lien.
Données:
Considérez un champ électrique et un champ magnétique qui sont perpendiculaires entre eux et à la direction de propagation de l’énergie. Les champs sont définis comme suit:
- Champ électrique (\(\mathbf{E}\)): \(\mathbf{E} = E_0 \cos(\omega t – kz) \hat{x}\), où \(E_0 = 50 \, \text{V/m}\), \(\omega = 2\pi \times 10^6 \, \text{rad/s}\), \(k = \frac{\omega}{c}\), et \(c\) est la vitesse de la lumière dans le vide.
- Champ magnétique (\(\mathbf{B}\)): \(\mathbf{B} = B_0 \cos(\omega t – kz) \hat{y}\), où \(B_0 = \frac{E_0}{c}\).
Questions:
1. Définissez les vecteurs \(\mathbf{E}\) et \(\mathbf{B}\) en fonction du temps et de l’espace.
2. Calculez le vecteur de Poynting (\(\mathbf{S}\)) en utilisant la formule \(\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B}\), où \(\mu_0\) est la perméabilité du vide.
3. Analysez la direction et la magnitude du vecteur de Poynting.
4. Discutez de l’implication physique du résultat.
Correction : Calcul du vecteur de Poynting
1. Définition des vecteurs \(\mathbf{E}\) et \(\mathbf{B}\)
Données initiales :
- \(E_0 = 50 \, \text{V/m}\)
- \(\omega = 2\pi \times 10^6 \, \text{rad/s}\)
- \(c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
- \(k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi \times 10^6}{3 \times 10^8} = \frac{2\pi}{300} \, \text{rad/m}\)
- \(B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{50}{3 \times 10^8} \approx 1.67 \times 10^{-7} \, \text{T}\)
Vecteur électrique \(\mathbf{E}(t, z)\):
\[ \mathbf{E} = 50 \cos(2\pi \times 10^6 t – \frac{2\pi}{300}z) \hat{x} \, \text{V/m} \]
Vecteur magnétique \(\mathbf{B}(t, z)\):
\[ \mathbf{B} = 1.67 \times 10^{-7} \cos(2\pi \times 10^6 t – \frac{2\pi}{300}z) \hat{y} \, \text{T} \]
2. Calcul du vecteur de Poynting \(\mathbf{S}\)
Formule :
\[ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} \]
où \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T}\cdot\text{m/A}\)
Produit vectoriel :
\[ \mathbf{E} \times \mathbf{B} = \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ 50 \cos(2\pi \times 10^6 t – \frac{2\pi}{300}z) & 0 & 0 \\ 0 & 1.67 \times 10^{-7} \cos(2\pi \times 10^6 t – \frac{2\pi}{300}z) & 0 \end{vmatrix} \]
\[ = (50)(1.67 \times 10^{-7}) \cos^2(2\pi \times 10^6 t – \frac{2\pi}{300}z) \hat{z} \, \text{W/m}^2 \]
Calcul final de \(\mathbf{S}\) :
\[ \mathbf{S} = \frac{1}{4\pi \times 10^{-7}} \times 8.35 \times 10^{-6} \cos^2(2\pi \times 10^6 t – \frac{2\pi}{300}z) \hat{z} \] \[ = 6.67 \times 10^3 \cos^2(2\pi \times 10^6 t – \frac{2\pi}{300}z) \hat{z} \, \text{W/m}^2 \]
3. Analyse de la direction et la magnitude du vecteur de Poynting
Direction :
Le vecteur de Poynting est orienté selon \(\hat{z}\), indiquant que l’énergie électromagnétique se propage dans la direction positive de l’axe \(z\).
Magnitude moyenne :
\[ \langle S \rangle = \frac{1}{2} \times 6.67 \times 10^3 \] \[ \langle S \rangle = 3.335 \times 10^3 \, \text{W/m}^2 \]
4. Discussion
Le vecteur de Poynting \(\mathbf{S}\) illustre le flux d’énergie dans la direction de propagation de l’onde électromagnétique.
Sa magnitude moyenne, \(3.335 \times 10^3 \, \text{W/m}^2\), révèle l’intensité de ce flux d’énergie.
Dans ce système, l’énergie transportée par les ondes électromagnétiques est significative, soulignant l’importance des champs électriques et magnétiques dans le transport de l’énergie à travers l’espace.
Calcul du vecteur de Poynting
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