Champ Électrique en Utilisant la Superposition
Comprendre le Champ Électrique en Utilisant la Superposition
Dans un laboratoire de recherche en physique, un scientifique étudie les interactions entre différentes charges électriques. Il dispose de trois charges ponctuelles disposées sur un axe horizontal.
L’objectif est de calculer le champ électrique résultant en un point de l’espace situé sur le même axe, à une certaine distance des charges.
Données:
- Charge \(q_1 = +3 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
– Position : \(x_1 = 0 \, \text{m}\)
- Charge \(q_2 = -4 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
– Position : \(x_2 = 3 \, \text{m}\)
- Charge \(q_3 = +2 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
– Position : \(x_3 = 6 \, \text{m}\)
- Point \(P\) pour le calcul du champ électrique:
Position : \(x_P = 4 \, \text{m}\)
Questions:
1. Calcul du champ électrique dû à chaque charge en \(P\):
- Utiliser la formule du champ électrique créé par une charge ponctuelle :
\[ E = k \frac{|q|}{r^2} \]
- Déterminer la direction du champ électrique en fonction du signe de la charge.
- \(k\) est la constante de Coulomb, \(k \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2\).
- La distance \(r\) entre chaque charge et le point \(P\) doit être calculée à partir des positions données.
2. Application du principe de superposition:
- Calculer le champ électrique total en \(P\) en additionnant vectoriellement les champs électriques dus à chaque charge.
- Considérer que le champ électrique est dirigé vers la charge si celle-ci est négative et dans le sens opposé si la charge est positive.
Correction : Champ Électrique en Utilisant la Superposition
Données fournies
Charges et positions :
- \( q_1 = +3 \times 10^{-6} \, \text{C} \) à \( x_1 = 0 \, \text{m} \)
- \( q_2 = -4 \times 10^{-6} \, \text{C} \) à \( x_2 = 3 \, \text{m} \)
- \( q_3 = +2 \times 10^{-6} \, \text{C} \) à \( x_3 = 6 \, \text{m} \)
Point de calcul \( P \):
- \( x_P = 4 \, \text{m} \)
Constantes
- Constante de Coulomb \( k = 8.99 \times 10^9 \, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2 \)
Calcul des distances
- Distance de \( q_1 \) à \( P \):
\[ r_1 = |x_P – x_1| \] \[ r_1 = |4 – 0| \] \[ r_1 = 4 \, \text{m} \]
- Distance de \( q_2 \) à \( P \):
\[ r_2 = |x_P – x_2| \] \[ r_2 = |4 – 3| \] \[ r_2 = 1 \, \text{m} \]
- Distance de \( q_3 \) à \( P \):
\[ r_3 = |x_P – x_3| \] \[ r_3 = |4 – 6| \] \[ r_3 = 2 \, \text{m} \]
1. Calcul du champ électrique en \( P \) pour chaque charge
- Pour \( q_1 \):
\[ E_1 = k \frac{|q_1|}{r_1^2} \] \[ E_1 = 8.99 \times 10^9 \times \frac{3 \times 10^{-6}}{(4)^2} \] \[ E_1 = 1.3485 \times 10^5 \, \text{N/C} \]
Direction : de \( q_1 \) vers \( P \) (car \( q_1 \) est positive).
- Pour \( q_2 \):
\[ E_2 = k \frac{|q_2|}{r_2^2} \] \[ E_2 = 8.99 \times 10^9 \times \frac{4 \times 10^{-6}}{(1)^2} \] \[ E_2 = 3.596 \times 10^7 \, \text{N/C} \]
Direction : de \( P \) vers \( q_2 \) (car \( q_2 \) est négative).
- Pour \( q_3 \):
\[ E_3 = k \frac{|q_3|}{r_3^2} \] \[ E_3 = 8.99 \times 10^9 \times \frac{2 \times 10^{-6}}{(2)^2} \] \[ E_3 = 4.495 \times 10^6 \, \text{N/C} \]
Direction : de \( q_3 \) vers \( P \) (car \( q_3 \) est positive).
2. Application du principe de superposition
Le champ électrique résultant \( \vec{E}_{\text{total}} \) au point \( P \) est la somme vectorielle des champs \( E_1 \), \( E_2 \), et \( E_3 \), tenant compte de leurs directions :
\[ \vec{E}_{\text{total}} = E_1 + (-E_2) + E_3 \] \[ \vec{E}_{\text{total}} = 1.3485 \times 10^5 – 3.596 \times 10^7 + 4.495 \times 10^6 \, \text{N/C} \] \[ \vec{E}_{\text{total}} = -2.85205 \times 10^7 \, \text{N/C} \]
Direction : de \( P \) vers \( q_2 \), car le champ négatif dominant indique une force qui attire les charges positives vers \( q_2 \).
Conclusion
Le champ électrique total au point \( P \) est de \( -2.85205 \times 10^7 \, \text{N/C} \), indiquant une force de direction de \( P \) vers \( q_2 \).
Ce calcul illustre comment le principe de superposition permet de combiner les effets individuels de plusieurs charges pour obtenir le champ électrique résultant dans un système de charges multiples.
Champ Électrique en Utilisant la Superposition
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