Comportement du Condensateur Sous Tension
Comprendre le Comportement du Condensateur Sous Tension
Dans un laboratoire d’électronique, un ingénieur teste la charge d’un condensateur dans un circuit simple pour comprendre comment la tension aux bornes du condensateur évolue avec le temps.
Le circuit comprend un condensateur, une résistance, et une source de tension continue.
Données:
- Capacité du condensateur, \( C \): 220 microfarads (µF)
- Résistance, \( R \): 1 kiloohm (kΩ)
- Tension de la source, \( V \): 5 volts
- La relation de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps est donnée par la formule: \( V_c(t) = V(1 – e^{-\frac{t}{RC}}) \)
Questions:
1. Calcul de la constante de temps du circuit (tau, \( \tau \)):
- Déterminez la constante de temps \( \tau \) du circuit qui est le produit de la résistance \( R \) et de la capacité \( C \). Exprimez votre réponse en secondes.
2. Évolution de la tension aux bornes du condensateur:
- Calculez la tension aux bornes du condensateur \( V_c \) après une constante de temps \( \tau \), deux constantes de temps \( 2\tau \), et cinq constantes de temps \( 5\tau \).
3. Interprétation des résultats:
Expliquez ce que signifie chaque valeur de \( V_c \) calculée pour \( \tau \), \( 2\tau \), et \( 5\tau \) en termes de la charge du condensateur.
4. Graphique de la tension:
Tracez un graphique montrant l’évolution de la tension aux bornes du condensateur \( V_c \) en fonction du temps de 0 à \( 5\tau \).
5. Réflexion sur le comportement du circuit à long terme:
Que peut-on attendre de la tension aux bornes du condensateur après un temps très long, théoriquement infini?
Correction : Comportement du Condensateur Sous Tension
1. Calcul de la constante de temps \( \tau \)
Formule de la constante de temps:
\[ \tau = R \times C \]
Substitution des valeurs:
- \( R = 1 \, k\Omega = 1000 \, \Omega \)
- \( C = 220 \, \mu F = 220 \times 10^{-6} \, F \)
\[ \tau = 1000 \, \Omega \times 220 \times 10^{-6} \, F \] \[ \tau = 0.22 \, s \]
La constante de temps \( \tau \) du circuit est de 0.22 secondes.
2. Évolution de la tension aux bornes du condensateur \( V_c \)
Formule d’évolution de la tension:
\[ V_c(t) = V(1 – e^{-\frac{t}{\tau}}) \]
où \( V = 5 \, V \) est la tension de la source.
Calculs pour différents temps:
- Pour \( \tau = 0.22 \, s \) :
\[ V_c(0.22) = 5(1 – e^{-\frac{0.22}{0.22}}) \] \[ V_c(0.22) = 5(1 – e^{-1}) \] \[ V_c(0.22) \approx 3.16 \, V \]
- Pour \( 2\tau = 0.44 \, s \) :
\[ V_c(0.44) = 5(1 – e^{-\frac{0.44}{0.22}}) \] \[ V_c(0.44) = 5(1 – e^{-2}) \] \[ V_c(0.44) \approx 4.55 \, V \]
- Pour \( 5\tau = 1.1 \, s \) :
\[ V_c(1.1) = 5(1 – e^{-\frac{1.1}{0.22}}) \] \[ V_c(1.1) = 5(1 – e^{-5}) \] \[ V_c(1.1) \approx 4.97 \, V \]
Résultats:
- Après une constante de temps (0.22 s), la tension est d’environ 3.16 V.
- Après deux constantes de temps (0.44 s), la tension monte à environ 4.55 V.
- Après cinq constantes de temps (1.1 s), la tension atteint presque la tension maximale de la source, soit environ 4.97 V.
3. Interprétation des résultats
– Après \( \tau = 0.22 \, s \): Le condensateur a atteint environ 63% de la tension maximale de la source.
– Après \( 2\tau = 0.44 \, s \): Le condensateur a atteint environ 86% de la tension maximale.
– Après \( 5\tau = 1.1 \, s \): Le condensateur est presque complètement chargé, atteignant environ 99% de la tension maximale.
4. Graphique de la tension aux bornes du condensateur
Le graphique ci-dessous montre la progression de la tension aux bornes du condensateur de 0 à \( 5\tau \) (1.1 secondes).
5. Comportement du circuit à long terme
Analyse:
À long terme, théoriquement après un temps infini, la tension aux bornes du condensateur atteindra et restera à 5 volts, la tension totale de la source.
Le condensateur sera complètement chargé et ne gagnera plus de tension supplémentaire.
Comportement du Condensateur Sous Tension
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