Comportement Temporel du Courant
Comprendre le Comportement Temporel du Courant
Dans un circuit électrique industriel, un moteur triphasé est alimenté par une source de courant alternatif (AC).
La source génère une tension triphasée équilibrée avec une fréquence de 50 Hz, typique dans les systèmes européens.
Le moteur, lorsqu’il fonctionne à pleine capacité, crée des variations de charge qui affectent la forme du courant.
L’analyse de ces variations est cruciale pour optimiser la performance du moteur et prévenir les surcharges ou défaillances électriques.
Données:
- Tension nominale : 400 V (tension de ligne)
- Fréquence de la source : 50 Hz
- Impédance du moteur par phase : \( Z = 10 + j5 \) ohms
- Début de mesure : t = 0 s
- Durée de mesure : 1 s
Questions:
1. Calcul de la valeur maximale du courant de phase :
- Déterminez l’amplitude de la tension de phase (\(V_{\text{phase}}\)) en utilisant la tension de ligne.
- Calculez le courant maximal dans une phase du moteur (\(I_{\text{max}}\)), sachant que \(V_{\text{phase}}\) et \(Z\) sont connus.
2. Expression temporelle du courant :
- Exprimez mathématiquement le courant \(i(t)\) dans une phase, sous la forme \(i(t) = I_{\text{max}} \cdot \sin(\omega t + \phi)\), en déterminant \(\omega\) et \(\phi\) (phase du courant par rapport à la tension).
3. Analyse des variations du courant sur la période de mesure :
- Tracez le graphique du courant \(i(t)\) pour la durée de mesure spécifiée.
- Analysez comment le courant varie en fonction du temps et discutez des implications possibles sur le fonctionnement du moteur.
Correction : Comportement Temporel du Courant
1. Calcul de la valeur maximale du courant de phase
Étape 1: Calcul de la tension de phase
La tension de ligne est de 400 V. Dans un système triphasé équilibré, la tension de phase est calculée avec la formule suivante :
\[ V_{\text{phase}} = \frac{V_{\text{line}}}{\sqrt{3}} \]
Substituons la valeur de la tension de ligne :
\[ V_{\text{phase}} = \frac{400}{\sqrt{3}} \] \[ V_{\text{phase}} \approx 231.0 \text{ V} \]
Étape 2: Calcul de l’impédance totale
L’impédance du moteur par phase est donnée comme \( Z = 10 + j5 \) ohms. Le module de \(Z\) est calculé par :
\[ |Z| = \sqrt{(\text{Real part})^2 + (\text{Imaginary part})^2} \] \[ |Z| = \sqrt{10^2 + 5^2} \] \[ |Z| = \sqrt{125} \approx 11.18 \text{ ohms} \]
Étape 3: Calcul du courant maximal
Le courant maximal dans une phase du moteur (\(I_{\text{max}}\)) se calcule en divisant la tension de phase par l’impédance :
\[ I_{\text{max}} = \frac{V_{\text{phase}}}{|Z|} \] \[ I_{\text{max}} = \frac{231.0}{11.18} \] \[ I_{\text{max}} \approx 20.67 \text{ A} \]
2. Expression temporelle du courant
Étape 1: Calcul de la fréquence angulaire (\(\omega\))
La fréquence de la source est de 50 Hz, donc la fréquence angulaire est :
\[ \omega = 2\pi f \] \[ \omega = 2\pi \times 50 \] \[ \omega = 100\pi \text{ rad/s} \]
Étape 2: Calcul de la phase du courant (\(\phi\))
L’angle de phase, \(\phi\), est déterminé par le rapport de la partie imaginaire sur la partie réelle de l’impédance :
\[ \phi = \tan^{-1}\left(\frac{\text{Imaginary part}}{\text{Real part}}\right) \] \[ \phi = \tan^{-1}\left(\frac{5}{10}\right) \] \[ \phi = 26.57^\circ \]
Étape 3: Formulation du courant \(i(t)\)
Avec \(I_{\text{max}}\), \(\omega\), et \(\phi\) calculés, l’expression du courant \(i(t)\) devient :
\[ i(t) = 20.67 \cdot \sin(100\pi t + 26.57^\circ) \]
3. Analyse des variations du courant sur la période de mesure
Étape 1: Tracé de \(i(t)\) sur 1 seconde
Le courant \(i(t)\) varie sinusoidalement avec une fréquence de 50 Hz. Le graphique montre une onde sinusoidale commençant à une phase de 26.57° et oscillant entre \(-20.67\) A et \(+20.67\) A chaque 0.02 seconde (période de l’onde).
Étape 2: Discussion
Le courant atteint son amplitude maximale toutes les 0.01 seconde, ce qui est cohérent avec le comportement d’un système AC à 50 Hz.
Ce type d’oscillation du courant peut influencer la performance et l’efficacité du moteur, notamment en termes de pertes énergétiques et de stress mécanique sur le moteur dû aux variations de charge.
Comportement Temporel du Courant
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