Étude de la Tension Efficace et Instantanée

Comprendre l’Étude de la Tension Efficace et Instantanée

Dans une installation industrielle, un technicien est chargé de vérifier le bon fonctionnement d’un circuit alimenté par une source de tension sinusoïdale.

La tension d’alimentation doit être mesurée pour s’assurer qu’elle est conforme aux spécifications du fabricant de l’équipement connecté.

Pour comprendre l’Analyse d’un Circuit en Série, cliquez sur le lien.

Données:

• La tension maximale de la source est de $325 \, \text{V}$.
• La fréquence de la tension est de $50 \, \text{Hz}$.

Questions:

1. Calcul de la tension efficace:

Calculez la tension efficace de la source sinusoïdale.

2. Expression de la tension instantanée:

Exprimez la tension instantanée $v(t)$ en fonction du temps $t$.

3. Calcul de la période:

Calculez la période $T$ de la tension sinusoïdale.

4. Analyse à un moment donné:

Déterminez la valeur de la tension instantanée à $t = 10 \, \text{ms}$.

5. Représentation graphique:

Tracez le graphe de $v(t)$ sur un cycle complet.

Correction : Étude de la Tension Efficace et Instantanée

1. Calcul de la tension efficace

Formule utilisée :

$$V_{\text{eff}} = \frac{V_{\text{max}}}{\sqrt{2}}$$

Substitution des valeurs et calcul :

$$V_{\text{eff}} = \frac{325\,V}{\sqrt{2}}$$ $$V_{\text{eff}} \approx \frac{325}{1.414}$$ $$V_{\text{eff}}\approx 229.8\,V$$

La tension efficace de la source sinusoïdale est d’environ 229.8 V.

2. Expression de la tension instantanée

Formule utilisée :

$$v(t) = V_{\text{max}} \cdot \sin(2\pi f t)$$

Expression substituée :

$$v(t) = 325 \cdot \sin(2\pi \cdot 50 \cdot t)$$

Simplification :

$$v(t) = 325 \cdot \sin(100\pi t)$$

L’expression de la tension instantanée est

$$v(t) = 325 \sin(100\pi t)\,V.$$

3. Calcul de la période

Formule utilisée :

$$T = \frac{1}{f}$$

Substitution des valeurs et calcul:

$$T = \frac{1}{50}$$ $$T = 0.02\,s$$

La période de la tension sinusoïdale est de 20 ms.

4. Analyse à un moment donné (t = 10 ms)

Expression utilisée :

$$v(10\,\text{ms}) = 325 \cdot \sin(100\pi \cdot 0.01)$$

Calcul trigonométrique :

$$v(10\,\text{ms}) = 325 \cdot \sin(\pi)$$

Résultat trigonométrique :

$$\sin(\pi) = 0$$

Valeur finale :

$$v(10\,\text{ms}) = 0\,V$$

À $t = 10\,\text{ms}$, la tension instantanée est de 0 V.

5. Représentation graphique

Pour tracer le graphe de $v(t)$ sur un cycle complet (0 à 20 ms), nous utilisons les points clés du sinus. Voici les moments précis pour ces valeurs clés :

• À 0 ms :

$$v(0) = 325 \sin(0) = 0 \text{ V}$$

• Au premier maximum (à environ 1/4 de la période, soit 5 ms) :

$$v(5 \text{ ms}) = 325 \sin(100\pi \cdot 0.005)$$ $$v(5 \text{ ms}) = 325 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$$ $$v(5 \text{ ms}) = 325 \text{ V}$$

• À 10 ms :

$$v(10 \text{ ms}) = 325 \sin(\pi) = 0 \text{ V}$$

• Au premier minimum (à environ 3/4 de la période, soit 15 ms) :

$$v(15 \text{ ms}) = 325 \sin(100\pi \cdot 0.015)$$ $$v(15 \text{ ms}) = 325 \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)$$ $$v(15 \text{ ms}) = -325 \text{ V}$$

• À 20 ms :

$$v(20 \text{ ms}) = 325 \sin(2\pi) = 0 \text{ V}$$

Résultat : Le graphe de $v(t)$ devrait donc afficher une onde sinusoïdale classique oscillant entre 325 V et -325 V avec une période de 20 ms. Le graphe montre des zéros à 0 ms, 10 ms et 20 ms, atteignant un maximum de 325 V à environ 5 ms et un minimum de -325 V à environ 15 ms.

Ces valeurs sont à interpréter comme approximatives pour un tracé graphique, car elles sont déterminées par des points précis où la fonction sinus atteint ses valeurs extrêmes.

Étude de la Tension Efficace et Instantanée

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