Modélisation d’un Dipôle Équivalent
Comprendre la Modélisation d’un Dipôle Équivalent
Dans un projet de conception d’un réseau électrique, un ingénieur doit analyser un segment du réseau qui peut être modélisé par un circuit composé de résistances et de sources de tension.
L’objectif est de simplifier ce circuit en un dipôle équivalent pour faciliter l’analyse de l’impact d’autres composants du réseau connectés à ce segment.
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Données:
Le segment de circuit considéré contient les éléments suivants :
- Une source de tension \( V_1 = 24 \, \text{V} \)
- Trois résistances : \( R_1 = 8 \, \Omega \), \( R_2 = 6 \, \Omega \), \( R_3 = 4 \, \Omega \)
- Les résistances \( R_1 \) et \( R_2 \) sont en série, et cette combinaison est en parallèle avec \( R_3 \).
Schéma du Circuit
Questions:
1. Calcul de la résistance équivalente du circuit:
a. Calculer la résistance équivalente des résistances \( R_1 \) et \( R_2 \) en série.
b. Calculer la résistance équivalente du circuit en utilisant la combinaison série de \( R_1 \) et \( R_2 \) en parallèle avec \( R_3 \).
2. Détermination de la tension aux bornes de \( R_3 \):
a. Utiliser la loi des tensions de Kirchhoff pour déterminer la tension aux bornes de \( R_3 \).
b. Vérifier le résultat en utilisant la loi des diviseurs de tension.
3. Calcul de l’intensité du courant dans chaque branche:
a. Calculer l’intensité du courant dans la branche contenant \( R_1 \) et \( R_2 \).
b. Calculer l’intensité du courant dans la branche contenant \( R_3 \).
4. Modélisation par un dipôle équivalent:
a. Déterminer la tension équivalente \( V_{eq} \) du dipôle équivalent.
b. Déterminer la résistance équivalente \( R_{eq} \) du dipôle équivalent à partir des calculs précédents.
5. Analyse du dipôle équivalent:
a. Dessiner le schéma du dipôle équivalent avec \( V_{eq} \) et \( R_{eq} \).
b. Discuter de l’utilité de la modélisation par dipôle équivalent dans le contexte des réseaux électriques.
Correction : Modélisation d’un Dipôle Équivalent
1. Calcul de la résistance équivalente du circuit
a. Résistances \( R_1 \) et \( R_2 \) en série :
Formule :
\[ R_{série} = R_1 + R_2 \]
Calcul :
\[R_{série} = 8 \, \Omega + 6 \, \Omega \] \[ R_{série} = 14 \, \Omega \]
b. Combinaison en parallèle avec \( R_3 \) :
Formule :
\[ R_{parallèle} = \left(\frac{1}{R_{série}} + \frac{1}{R_3}\right)^{-1} \]
Calcul :
\[ R_{parallèle} = \left(\frac{1}{14 \, \Omega} + \frac{1}{4 \, \Omega}\right)^{-1} \]
- Simplification :
\[ \frac{1}{14} + 0.25 = 0.3214 \]
- Inversion :
\[ \frac{1}{0.3214} \approx 3.11 \, \Omega \]
Résultat :
\[ R_{parallèle} \approx 3.11 \, \Omega \]
2. Tension aux bornes de \( R_3 \)
Utilisation de la loi des diviseurs de tension :
Formule :
\[ V_{R_3} = V_1 \times \frac{R_3}{R_{série} + R_3} \]
Calcul :
\[ V_{R_3} = 24 \, V \times \frac{4 \, \Omega}{14 \, \Omega + 4 \, \Omega} \] \[ V_{R_3} = 24 \, V \times \frac{4}{18} \] \[ V_{R_3} = 5.33 \, V \]
3. Calcul de l’intensité du courant dans chaque branche
a. Courant dans la branche de \( R_1 \) et \( R_2 \) :
Utilisation de la tension \( V_{R_3} \) car les branches sont en parallèle :
Formule :
\[ I_{R_1R_2} = \frac{V_{R_3}}{R_{série}} \]
Calcul :
\[ I_{R_1R_2} = \frac{5.33 \, V}{14 \, \Omega} \] \[ I_{R_1R_2} \approx 0.38 \, A \]
b. Courant dans la branche contenant \( R_3 \) :
Formule :
\[ I_{R_3} = \frac{V_{R_3}}{R_3} \]
Calcul :
\[ I_{R_3} = \frac{5.33 \, V}{4 \, \Omega} \] \[ I_{R_3} = 1.33 \, A \]
4. Modélisation par un dipôle équivalent
a. Tension équivalente \( V_{eq} \) :
\( V_{eq} \) est simplement la tension de la source car elle est identique aux bornes de \( R_{parallèle} \).
\[ V_{eq} = 24 \, V \]
b. Résistance équivalente \( R_{eq} \) :
La résistance équivalente du circuit est celle calculée pour le circuit parallèle.
\[ R_{eq} = 3.11 \, \Omega \]
5. Analyse du dipôle équivalent
a. Schéma du dipôle équivalent :
Schéma:
b. Utilité de la modélisation par dipôle équivalent :
- Simplifie l’analyse des circuits complexes en les réduisant à une source de tension et une résistance unique.
- Facilite la combinaison avec d’autres segments de circuit dans des analyses plus larges.
Modélisation d’un Dipôle Équivalent
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