Orientation Satellite via Dipôle Magnétique

Comprendre l’Orientation Satellite via Dipôle Magnétique

Un petit satellite est équipé d’un système de contrôle d’attitude magnétique qui utilise un dipôle magnétique pour manipuler son orientation dans l’espace.

Ce système s’appuie sur l’interaction du moment magnétique du dipôle avec le champ magnétique terrestre pour ajuster l’orientation du satellite.

Pour une mission prochaine, les ingénieurs doivent calculer la force et le couple exercés sur le dipôle magnétique du satellite lorsqu’il passe à une altitude où le champ magnétique terrestre est modifié.

Données fournies:

Moment magnétique du dipôle, $\vec{m}$ : $2.5 \times 10^{-2}$ Am$^2$ (vecteur pointant initialement vers le nord).
Champ magnétique terrestre local, $\vec{B}$ : $50 \times 10^{-6}$ T (vecteur faisant un angle de $30^\circ$ vers le bas par rapport à l’horizontale).
Position du satellite : à une altitude de 400 km au-dessus du niveau de la mer.

Orientation Satellite via Dipôle Magnétique

Questions de l’exercice:

1. Calcul du couple (torque) sur le dipôle magnétique

Calculer le couple agissant sur le dipôle magnétique. Fournir la magnitude et la direction du couple résultant.

2. Calcul de l’énergie potentielle magnétique

Calculer l’énergie potentielle magnétique du dipôle dans le champ magnétique.
Évaluer comment l’orientation du dipôle affecte son énergie potentielle.

3. Étude de l’effet d’un changement d’orientation du dipôle

Si le moment magnétique est pivoté pour s’aligner parfaitement avec le champ magnétique, recalculer l’énergie potentielle. Comparer cette énergie à celle obtenue précédemment.

4. Discussion sur les implications pratiques

Discuter comment les résultats obtenus peuvent influencer la conception du système de contrôle d’attitude du satellite.
Examiner les avantages et les inconvénients de l’utilisation de dipôles magnétiques pour le contrôle d’orientation dans l’espace.

Correction : Orientation Satellite via Dipôle Magnétique

1. Calcul du Couple (Torque) sur le Dipôle Magnétique

Données :

Moment magnétique, $\vec{m} = 2.5 \times 10^{-2} \, \text{Am}^2$ (dirigé vers le nord).
Champ magnétique terrestre, $\vec{B} = 50 \times 10^{-6} \, \text{T}$ (angle de 30° vers le bas par rapport à l’horizontale).

Composantes de $\vec{B}$ :

\[ B_x = B \cos(30^\circ) \] \[ B_x = 50 \times 10^{-6} \times \cos(30^\circ) \] \[ B_x = 43.3 \times 10^{-6} \, \text{T} \]

\[ B_y = -B \sin(30^\circ) \] \[ B_y = -50 \times 10^{-6} \times \sin(30^\circ) \] \[ B_y = -25 \times 10^{-6} \, \text{T} \]

Calcul du couple $\vec{\tau}$ :

Le moment magnétique pointe vers le nord, donc $\vec{m} = (0, 2.5 \times 10^{-2}, 0)$.
$\vec{B}$ se décompose en $(43.3 \times 10^{-6}, -25 \times 10^{-6}, 0)$.

Le couple est donné par le produit vectoriel:

\[ \vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B} \] \[ \vec{\tau} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
0 & 2.5 \times 10^{-2} & 0 \\
43.3 \times 10^{-6} & -25 \times 10^{-6} & 0
\end{vmatrix} \] \[ \vec{\tau} = \hat{k} (0 – (-25 \times 10^{-6} \times 2.5 \times 10^{-2})) \] \[ \vec{\tau} = 0.625 \times 10^{-6} \hat{k} \, \text{Nm} \]

Résultat du couple :

\[ \vec{\tau} = 0.625 \times 10^{-6} \hat{k} \, \text{Nm} \]

2. Calcul de l’Énergie Potentielle Magnétique

Formule :

\[ U = -\vec{m} \cdot \vec{B} \] \[ U = -(2.5 \times 10^{-2}) \times (50 \times 10^{-6} \cos(30^\circ)) \] \[ U = -(2.5 \times 10^{-2}) \times (43.3 \times 10^{-6}) \] \[ U = -1.083 \times 10^{-6} \, \text{J} \]

Résultat de l’énergie potentielle :

\[ U = -1.083 \times 10^{-6} \, \text{J} \]

3. Étude de l’Effet d’un Changement d’Orientation du Dipôle

Nouvelle orientation :

\[ U_{\text{nouveau}} = -|\vec{m}| \times |\vec{B}| \] \[ U_{\text{nouveau}} = -(2.5 \times 10^{-2}) \times (50 \times 10^{-6}) \] \[ U_{\text{nouveau}} = -1.25 \times 10^{-6} \, \text{J} \]

Résultat de l’énergie potentielle avec nouvelle orientation :

\[ U_{\text{nouveau}} = -1.25 \times 10^{-6} \, \text{J} \]

4. Discussion:

Les calculs montrent que pivoter le dipôle pour s’aligner avec le champ magnétique réduit l’énergie potentielle, ce qui est favorable pour une stabilisation efficace du satellite avec une moindre dépense énergétique.

Cette méthode est donc bénéfique pour la conception du système de contrôle d’attitude du satellite, mais elle doit être utilisée judicieusement en tenant compte des limites dues à la force du champ magnétique et aux interférences possibles dans l’espace.

Orientation Satellite via Dipôle Magnétique

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