Performance d’un Moteur Asynchrone Triphasé
Comprendre la Performance d’un Moteur Asynchrone Triphasé
Un moteur asynchrone triphasé a les caractéristiques nominales suivantes :
- Puissance nominale: \(P_{\text{nom}} = 22\, kW\)
- Tension nominale (par phase): \(V_{\text{nom}} = 400\, V\)
- Fréquence nominale: \(f = 50\, Hz\)
- Rendement à pleine charge: \(\eta = 90\%\)
- Facteur de puissance à pleine charge: \(\cos(\phi) = 0.85\)
- Vitesse nominale: \(n_{\text{nom}} = 1475\, rpm\)
- La machine est connectée en étoile (Y).
Questions :
1. Calculer le courant de ligne (\(I_{L}\)) à pleine charge.
2. Déterminer le couple de sortie (\(T\)) à pleine charge.
3. Calculer le glissement (\(s\)) à pleine charge.
4. Estimer le rendement (\(\eta\)) et le facteur de puissance (\(\cos(\phi)\)) à mi-charge, en supposant que le glissement à mi-charge est de \(2\%\) et que le courant et le couple varient linéairement avec la charge.
Correction : Performance d’un Moteur Asynchrone Triphasé
1. Courant de Ligne à Pleine Charge
- Calcul de la puissance électrique d’entrée
La puissance d’entrée nécessaire se déduit du rendement. En effet, pour obtenir \( P_{\text{méc}} \) en sortie, il faut une puissance électrique d’entrée :
\[P_{\text{in}} = \frac{P_{\text{méc}}}{\eta}\]
\[P_{\text{in}} = \frac{22\,000}{0,90}\]
\[P_{\text{in}} \approx 24\,444\,\text{W}\]
Pour une connexion étoile, on a :
\[P_{\text{in}} = 3\,V_{\text{phase}}\,I_{\text{ligne}}\,\cos\varphi\]
d’où le courant de ligne :
\[I_{\text{ligne}} = \frac{P_{\text{in}}}{3\,V_{\text{phase}}\,\cos\varphi}\]
En substituant :
- \( P_{\text{in}} \approx 24\,444\,\text{W} \)
- \( V_{\text{phase}} = 400\,\text{V} \)
- \( \cos\varphi = 0,85 \)
On obtient :
\[I_{\text{ligne}} = \frac{24\,444}{3 \times 400 \times 0,85}\]
\[I_{\text{ligne}} = \frac{24\,444}{1020}\]
\[I_{\text{ligne}} \approx 23,99\,\text{A}\]
Résultat : Le courant de ligne à pleine charge est d’environ 24 A.
2. Détermination du couple de sortie à pleine charge
La puissance mécanique fournie par le rotor est reliée au couple \( T \) par la relation :
\[P_{\text{méc}} = T \,\omega\]
où \( \omega \) est la vitesse angulaire en rad/s.
- Calcul de la vitesse angulaire
La vitesse angulaire est donnée par :
\[\omega = \frac{2\pi\,n}{60}\]
avec \( n = 1475\,\text{rpm} \).
Calculons :
\[\omega = \frac{2\pi \times 1475}{60}\]
\[\omega \approx \frac{9269,0}{60}\]
\[\omega \approx 154,48\,\text{rad/s}\]
- Détermination du couple
En isolant \( T \) :
\[T = \frac{P_{\text{méc}}}{\omega}\]
\[T = \frac{22\,000}{154,48}\]
\[T \approx 142,4\,\text{Nm}\]
Le couple de sortie à pleine charge est d’environ 142,4 Nm.
3. Calcul du glissement à pleine charge
Le glissement \( s \) est défini par :
\[s = \frac{n_{\text{synchrone}} – n_{\text{rotor}}}{n_{\text{synchrone}}}\]
où \( n_{\text{rotor}} = n_{\text{nom}} \).
- Détermination de la vitesse synchrone
Pour une fréquence \( f = 50\,\text{Hz} \) et en supposant que le moteur est un 4 pôles (ce qui est courant), la vitesse synchrone est :
\[n_{\text{synchrone}} = \frac{120 \times f}{\text{nombre de pôles}}\]
\[n_{\text{synchrone}} = \frac{120 \times 50}{4}\]
\[n_{\text{synchrone}} = 1500\,\text{rpm}\]
- Calcul du glissement
Ainsi,
\[s = \frac{1500 – 1475}{1500}\]
\[s = \frac{25}{1500}\]
\[s \approx 0,01667 \quad \text{soit} \quad 1,67\%\]
Résultat : Le glissement à pleine charge est d’environ 1,67 %.
4. Estimation du rendement et du facteur de puissance à mi-charge
Le courant et le couple varient linéairement avec la charge.
À mi-charge, la machine délivre une puissance mécanique de :
\[P_{\text{méc, mi}} = \frac{22\,000}{2} = 11\,000\,\text{W}\]
Le glissement à mi-charge est donné : \( s_{\text{mi}} = 2\% = 0,02 \).
a) Répartition des pertes à pleine charge
À pleine charge, la puissance électrique d’entrée est :
\[P_{\text{in, ple}} \approx 24\,444\,\text{W}\]
Les pertes totales à pleine charge sont donc :
\[P_{\text{pertes, ple}} = P_{\text{in, ple}} – P_{\text{méc, ple}}\]
\[P_{\text{pertes, ple}} = 24\,444 – 22\,000\]
\[P_{\text{pertes, ple}} = 2444\,\text{W}\]
- Pertes dans le rotor :
Dans un moteur asynchrone, les pertes dans le rotor (cuivre) sont directement liées au glissement. La puissance transférée à l’intérieur du rotor (la puissance de l’écart) est donnée par :
\[P_{\text{rotor}} = \frac{s}{1-s}\,P_{\text{méc}}\]
Pour la pleine charge, avec \( s_{\text{ple}} \approx 0,01667 \) :
\[P_{\text{rotor, ple}} = \frac{0,01667}{1-0,01667}\times 22\,000\]
\[P_{\text{rotor, ple}} \approx \frac{0,01667}{0,98333}\times 22\,000\]
\[P_{\text{rotor, ple}} \approx 373\,\text{W}\]
- Pertes fixes (stator, noyau, frottements, etc.) :
On estime alors que les pertes fixes sont :
\[P_{\text{fixes}} = P_{\text{pertes, ple}} – P_{\text{rotor, ple}}\]
\[P_{\text{fixes}} \approx 2444 – 373\]
\[P_{\text{fixes}} \approx 2071\,\text{W}\]
b) Calcul des pertes à mi-charge
À mi-charge, nous procéderons comme suit :
- Pertes rotor à mi-charge :
Utilisons la même formule avec \( s_{\text{mi}} = 0,02 \) et \( P_{\text{méc, mi}}\) = 11,000 W :
\[P_{\text{rotor, mi}} = \frac{0,02}{1-0,02}\times 11\,000\]
\[P_{\text{rotor, mi}} = \frac{0,02}{0,98}\times 11\,000\]
\[P_{\text{rotor, mi}} \approx 224,5\,\text{W}\]
- Pertes fixes :
On considère, dans un premier ordre, que ces pertes restent constantes (elles dépendent en grande partie du magnétisme, des pertes fer et des frottements) :
\[P_{\text{fixes}} \approx 2071\,\text{W}\]
Puissance électrique d’entrée à mi-charge :
\[P_{\text{in, mi}} = P_{\text{méc, mi}} + P_{\text{rotor, mi}} + P_{\text{fixes}}\]
\[P_{\text{in, mi}} \approx 11\,000 + 224,5 + 2071\]
\[P_{\text{in, mi}} \approx 13\,295,5\,\text{W}\]
c) Calcul du rendement à mi-charge
Le rendement à mi-charge se calcule par :
\[\eta_{\text{mi}} = \frac{P_{\text{méc, mi}}}{P_{\text{in, mi}}}\]
\[\eta_{\text{mi}} = \frac{11\,000}{13\,295,5}\]
\[\eta_{\text{mi}} \approx 0,827 \quad \text{soit} \quad 82,7\%\]
d) Estimation du facteur de puissance à mi-charge
En connexion étoile, la relation entre la puissance électrique, la tension, le courant et le facteur de puissance est :
\[P_{\text{in}} = 3\,V_{\text{phase}}\,I_{\text{ligne}}\,\cos\varphi\]
À pleine charge, nous avons trouvé \( I_{\text{ligne, ple}} \approx 24\,\text{A} \).
D’après l’hypothèse de variation linéaire avec la charge, à mi-charge le courant est :
\[I_{\text{ligne, mi}} = \frac{24}{2}\]
\[I_{\text{ligne, mi}} = 12\,\text{A}\]
On peut alors isoler le facteur de puissance à mi-charge :
\[\cos\varphi_{\text{mi}} = \frac{P_{\text{in, mi}}}{3\,V_{\text{phase}}\,I_{\text{ligne, mi}}}\]
\[\cos\varphi_{\text{mi}} = \frac{13\,295,5}{3 \times 400 \times 12}\]
\[\cos\varphi_{\text{mi}} = \frac{13\,295,5}{14\,400}\]
\[\cos\varphi_{\text{mi}} \approx 0,923\]
Conclusion :
À mi-charge, le rendement est d’environ 82,7 % et le facteur de puissance est d’environ 0,923.
Résumé des Résultats :
-
Courant de ligne à pleine charge :
\[I_{\text{ligne}} \approx 24\,\text{A}\] -
Couple de sortie à pleine charge :
\[T \approx 142,4\,\text{Nm}\] -
Glissement à pleine charge :
\[s \approx 1,67\%\] -
À mi-charge (avec \( s = 2\% \)) :
-
Rendement : \( \eta \approx 82,7\% \)
-
Facteur de puissance : \( \cos\varphi \approx 0,923 \)
Performance d’un Moteur Asynchrone Triphasé
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