Exercices Électricité

Performance d’un Transformateur en Réseau

Performance d’un Transformateur en Réseau

Performance d’un Transformateur en Réseau

Comprendre la Performance d'un Transformateur en Réseau

Les transformateurs jouent un rôle essentiel dans les réseaux de distribution électrique en adaptant les niveaux de tension pour le transport et l'utilisation de l'énergie. Leur performance, lorsqu'ils sont intégrés dans un réseau comprenant une source, des lignes de transmission et des charges, est cruciale. L'analyse de cette performance implique de prendre en compte non seulement les caractéristiques propres du transformateur (rapport de transformation, impédance équivalente modélisant les pertes cuivre et les fuites de flux) mais aussi l'impédance des lignes de transmission et les caractéristiques de la charge. Cet exercice vise à calculer les grandeurs électriques (tensions, courants), les différentes puissances (active, réactive, apparente), les pertes dans le transformateur et la ligne, ainsi que le rendement global du système de distribution.

Données de l'étude

Un système de distribution monophasé est constitué d'une source, d'un transformateur élévateur, d'une ligne de transmission, d'un transformateur abaisseur et d'une charge.

Source et Transformateur Élévateur (T1) :

  • Tension de la source (\(V_S\)) : \(400 \, \text{V}\)
  • Transformateur T1 : \(400\text{V} / 4000\text{V}\). Son impédance équivalente ramenée au secondaire (côté \(4000\text{V}\)) est \(Z_{eq1,sec} = (0.8 + j1.5) \, \Omega\).

Ligne de Transmission :

  • Impédance totale de la ligne (\(Z_{ligne}\)) : \((1.5 + j2.5) \, \Omega\).

Transformateur Abaisseur (T2) et Charge :

  • Transformateur T2 : \(3800\text{V} / 230\text{V}\). Son impédance équivalente ramenée au primaire (côté \(3800\text{V}\)) est \(Z_{eq2,prim} = (0.6 + j1.1) \, \Omega\).
  • Charge : Consomme une puissance active \(P_{charge,nom} = 50 \, \text{kW}\) avec un facteur de puissance \(\cos\phi_{charge} = 0.9\) inductif, sous sa tension nominale de \(V_{charge,nom} = 230 \, \text{V}\).

On négligera les courants à vide des transformateurs pour simplifier les calculs de courant.

Schéma du Système de Distribution avec Transformateurs
~ Vs T1 Zeq1,sec Zligne T2 Zeq2,prim Charge P,cosφ Is Iligne Icharge Système de Distribution avec Transformateurs

Une source \(V_S\) alimente une charge via un transformateur élévateur T1, une ligne de transmission, et un transformateur abaisseur T2.

Questions à traiter

  1. Calculer le rapport de transformation \(m_1\) de T1 et \(m_2\) de T2.
  2. Calculer l'impédance complexe de la charge (\(Z_{charge}\)) à partir de sa puissance nominale, sa tension nominale et son facteur de puissance.
  3. Calculer l'impédance totale ramenée au primaire de T1 (\(Z''_{totale}\)) vue par la source \(V_S\).
  4. Calculer le courant complexe \(\vec{I}_S\) fourni par la source.
  5. Calculer le courant complexe \(\vec{I}_{ligne}\) dans la ligne de transmission (secondaire de T1 / primaire de T2).
  6. Calculer le courant complexe \(\vec{I}_{charge}\) absorbé par la charge (secondaire de T2).
  7. Calculer la tension complexe \(\vec{V}_{charge,eff}\) réellement aux bornes de la charge.
  8. Calculer la puissance active réelle (\(P_{charge,eff}\)) consommée par la charge.
  9. Calculer la puissance active perdue dans l'impédance équivalente de T1 (\(P_{pertes,T1}\)).
  10. Calculer la puissance active perdue dans la ligne de transmission (\(P_{pertes,ligne}\)).
  11. Calculer la puissance active perdue dans l'impédance équivalente de T2 (\(P_{pertes,T2}\)).
  12. Calculer la puissance active totale (\(P_S\)) fournie par la source et le rendement global (\(\eta_{global}\)) du système.

Correction : Performance d’un Transformateur en Réseau

Question 1 : Rapports de transformation \(m_1\) et \(m_2\)

Principe :

Le rapport de transformation \(m\) est \(V_{secondaire}/V_{primaire}\).

Calcul :
\[ m_1 = \frac{V_{1,sec}}{V_{1,prim}} \] \[ m_1 = \frac{4000 \, \text{V}}{400 \, \text{V}}\] \[ m_1 = 10 \] \[ m_2 = \frac{V_{2,sec}}{V_{2,prim}} \] \[ m_2 = \frac{230 \, \text{V}}{3800 \, \text{V}} \] \[ m_2 \approx 0.060526 \]
Résultat Question 1 : \(m_1 = 10\), \(m_2 \approx 0.06053\).

Question 2 : Impédance complexe de la charge (\(Z_{charge}\))

Principe :

L'impédance de la charge \(Z_{charge}\) est calculée à partir de sa puissance nominale \(P_{charge,nom}\), sa tension nominale \(V_{charge,nom}\) et son facteur de puissance \(\cos\phi_{charge}\). La puissance apparente nominale est \(S_{charge,nom} = P_{charge,nom} / \cos\phi_{charge}\). Le module de l'impédance est \(|Z_{charge}| = V_{charge,nom}^2 / S_{charge,nom}\). L'angle de l'impédance est \(\phi_{charge} = \arccos(\cos\phi_{charge})\), positif car la charge est inductive.

Formule(s) utilisée(s) :
\[S_{charge,nom} = \frac{P_{charge,nom}}{\cos\phi_{charge}}\] \[|Z_{charge}| = \frac{V_{charge,nom}^2}{S_{charge,nom}}\] \[Z_{charge} = |Z_{charge}| (\cos\phi_{charge} + j\sin\phi_{charge})\]
Données spécifiques :
  • \(P_{charge,nom} = 50000 \, \text{W}\)
  • \(V_{charge,nom} = 230 \, \text{V}\)
  • \(\cos\phi_{charge} = 0.9\) (inductif)
Calcul :
\[ \begin{aligned} S_{charge,nom} &= \frac{50000 \, \text{W}}{0.9} \\ &\approx 55555.556 \, \text{VA} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} |Z_{charge}| &= \frac{(230 \, \text{V})^2}{55555.556 \, \text{VA}} \\ &= \frac{52900}{55555.556} \, \Omega \\ &\approx 0.9522 \, \Omega \end{aligned} \] \[ \phi_{charge} = \arccos(0.9) \approx 25.8419^\circ \] \[ \sin(\phi_{charge}) = \sin(25.8419^\circ) \approx 0.43589 \] \[ \begin{aligned} R_{charge} &= |Z_{charge}| \cos\phi_{charge} \\ &\approx 0.9522 \times 0.9 \\ &\approx 0.85698 \, \Omega \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} X_{charge} &= |Z_{charge}| \sin\phi_{charge} \\ &\approx 0.9522 \times 0.43589 \\ &\approx 0.41500 \, \Omega \end{aligned} \] \[ Z_{charge} \approx (0.85698 + j0.41500) \, \Omega \]
Résultat Question 2 : L'impédance complexe de la charge est \(Z_{charge} \approx (0.8570 + j0.4150) \, \Omega\).

Question 3 : Impédance totale ramenée au primaire de T1 (\(Z''_{totale}\))

Principe :

On ramène toutes les impédances (charge, T2, ligne) au primaire de T1.

1. Ramener \(Z_{charge}\) au primaire de T2 : \(Z'_{charge} = Z_{charge} / m_2^2\).

2. Impédance totale vue à l'entrée du primaire de T2 : \(Z_{tot,primT2} = Z'_{charge} + Z_{eq2,prim}\).

3. Impédance totale au secondaire de T1 : \(Z_{sec,T1} = Z_{ligne} + Z_{tot,primT2}\).

4. Ramener \(Z_{sec,T1}\) au primaire de T1 : \(Z''_{sec,T1} = Z_{sec,T1} / m_1^2\).

5. Ramener \(Z_{eq1,sec}\) au primaire de T1 : \(Z''_{eq1} = Z_{eq1,sec} / m_1^2\).

6. Impédance totale vue par la source : \(Z''_{totale} = Z''_{eq1} + Z''_{sec,T1}\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} m_2^2 &\approx (0.060526)^2 \approx 0.0036634 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} Z'_{charge} &= \frac{0.85698 + j0.41500}{0.0036634} \\ &\approx (233.99 + j113.28) \, \Omega \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} Z_{tot,primT2} &= (233.99 + j113.28) + (0.6 + j1.1) \\ &= (234.59 + j114.38) \, \Omega \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} Z_{sec,T1} &= (1.5 + j2.5) + (234.59 + j114.38) \\ &= (236.09 + j116.88) \, \Omega \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} m_1^2 &= 10^2 = 100 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} Z''_{sec,T1} &= \frac{236.09 + j116.88}{100} \\ &= (2.3609 + j1.1688) \, \Omega \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} Z''_{eq1} &= \frac{0.8 + j1.5}{100} \\ &= (0.008 + j0.015) \, \Omega \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} Z''_{totale} &= (0.008 + j0.015) + (2.3609 + j1.1688) \\ &= (2.3689 + j1.1838) \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'impédance totale ramenée au primaire de T1 est \(Z''_{totale} \approx (2.3689 + j1.1838) \, \Omega\).

Question 4 : Courant complexe \(\vec{I}_S\) fourni par la source

Principe :

Le courant fourni par la source est \(\vec{I}_S = \vec{V}_S / Z''_{totale}\). On prend \(\vec{V}_S = 400 \angle 0^\circ \, \text{V}\).

Calcul :
\[ |Z''_{totale}| = \sqrt{2.3689^2 + 1.1838^2} \approx \sqrt{5.6117 + 1.40137} \approx \sqrt{7.01307} \approx 2.6482 \, \Omega \] \[ \text{arg}(Z''_{totale}) = \phi_S = \arctan\left(\frac{1.1838}{2.3689}\right) \approx \arctan(0.49973) \approx 26.553^\circ \] \[ Z''_{totale} \approx 2.6482 \angle 26.553^\circ \, \Omega \] \[ \begin{aligned} \vec{I}_S &= \frac{400 \angle 0^\circ \, \text{V}}{2.6482 \angle 26.553^\circ \, \Omega} \\ &\approx 151.044 \angle -26.553^\circ \, \text{A} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \vec{I}_S &\approx 151.044 (\cos(-26.553^\circ) + j\sin(-26.553^\circ)) \, \text{A} \\ &\approx 151.044 (0.8945 - j0.4470) \, \text{A} \\ &\approx (135.14 - j67.39) \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le courant fourni par la source est \(\vec{I}_S \approx 151.04 \angle -26.55^\circ \, \text{A}\) (soit \((135.14 - j67.39) \, \text{A}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Pour ramener une impédance \(Z_{sec}\) du secondaire au primaire d'un transformateur de rapport \(m=V_{sec}/V_{prim}\), on utilise :

Question 5 : Courant de ligne \(\vec{I}_{ligne}\)

Principe :

Le courant de ligne \(\vec{I}_{ligne}\) est le courant au secondaire de T1. Pour un transformateur élévateur idéal, \(I_{sec} = I_{prim} / m_1\). Plus précisément, \(\vec{I}_{ligne} = \vec{I}_S / m_1\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{I}_{ligne} &= \frac{151.044 \angle -26.553^\circ \, \text{A}}{10} \\ &= 15.1044 \angle -26.553^\circ \, \text{A} \\ &\approx (13.514 - j6.739) \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : \(\vec{I}_{ligne} \approx 15.10 \angle -26.55^\circ \, \text{A}\).

Question 6 : Courant de charge \(\vec{I}_{charge}\)

Principe :

Le courant de charge \(\vec{I}_{charge}\) est le courant au secondaire de T2. Pour un transformateur abaisseur idéal, \(I_{sec} = I_{prim} / m_2\). Donc \(\vec{I}_{charge} = \vec{I}_{ligne} / m_2\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{I}_{charge} &= \frac{15.1044 \angle -26.553^\circ \, \text{A}}{0.060526} \\ &\approx 249.55 \angle -26.553^\circ \, \text{A} \\ &\approx (223.15 - j111.33) \, \text{A} \end{aligned} \] \[ |I_{charge}| \approx 249.55 \, \text{A} \]
Résultat Question 6 : \(\vec{I}_{charge} \approx 249.55 \angle -26.55^\circ \, \text{A}\).

Question 7 : Tension \(\vec{V}_{charge,eff}\) aux bornes de la charge

Principe :

\(\vec{V}_{charge,eff} = Z_{charge} \vec{I}_{charge}\).

Calcul :
\[ Z_{charge} \approx (0.85698 + j0.41500) \, \Omega \approx 0.9522 \angle 25.8419^\circ \, \Omega \] \[ \vec{I}_{charge} \approx 249.55 \angle -26.553^\circ \, \text{A} \] \[ \begin{aligned} \vec{V}_{charge,eff} &= (0.9522 \angle 25.8419^\circ) \times (249.55 \angle -26.553^\circ) \, \text{V} \\ &= (0.9522 \times 249.55) \angle (25.8419^\circ - 26.553^\circ) \, \text{V} \\ &\approx 237.62 \angle -0.7111^\circ \, \text{V} \end{aligned} \] \[ |V_{charge,eff}| \approx 237.62 \, \text{V} \]
Résultat Question 7 : La tension réelle aux bornes de la charge est \(\vec{V}_{charge,eff} \approx 237.62 \angle -0.71^\circ \, \text{V}\).

Question 8 : Puissance active réelle (\(P_{charge,eff}\)) consommée

Principe :

\(P_{charge,eff} = |V_{charge,eff}| |I_{charge}| \cos\phi_{charge}\). L'angle de l'impédance de charge est \(\phi_{charge}\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{charge,eff} &= (237.62 \, \text{V}) \times (249.55 \, \text{A}) \times 0.9 \\ &\approx 59299.3 \times 0.9 \\ &\approx 53369.37 \, \text{W} \end{aligned} \]

Alternativement, \(P_{charge,eff} = R_{charge} |I_{charge}|^2\):

\[ \begin{aligned} P_{charge,eff} &= (0.85698 \, \Omega) \times (249.55 \, \text{A})^2 \\ &= 0.85698 \times 62275.20 \\ &\approx 53366.6 \, \text{W} \end{aligned} \]

Note : Cette valeur est différente des \(50 \, \text{kW}\) nominaux car la tension à la charge (\(237.62V\)) est différente de la tension nominale (\(230V\)) pour laquelle la puissance de \(50kW\) était définie.

Résultat Question 8 : La puissance active réelle consommée par la charge est \(P_{charge,eff} \approx 53367 \, \text{W}\).

Question 9 : Pertes de puissance active dans T1 (\(P_{pertes,T1}\))

Principe :

Pertes dans T1 : \(P_{pertes,T1} = \text{Re}(Z''_{eq1}) \cdot |I_S|^2\).

Calcul :
\[ \text{Re}(Z''_{eq1}) = 0.008 \, \Omega \] \[ \begin{aligned} P_{pertes,T1} &= (0.008 \, \Omega) \times (151.044 \, \text{A})^2 \\ &= 0.008 \times 22818.59 \\ &\approx 182.55 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 9 : Pertes T1 : \(P_{pertes,T1} \approx 182.55 \, \text{W}\).

Question 10 : Pertes de puissance active dans la ligne (\(P_{pertes,ligne}\))

Principe :

Pertes Ligne : \(P_{pertes,ligne} = R_{ligne} \cdot |I_{ligne}|^2\).

Calcul :
\[ R_{ligne} = \text{Re}(Z_{ligne}) = 1.5 \, \Omega \] \[ \begin{aligned} P_{pertes,ligne} &= (1.5 \, \Omega) \times (15.1044 \, \text{A})^2 \\ &= 1.5 \times 228.145 \\ &\approx 342.22 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 10 : Pertes Ligne : \(P_{pertes,ligne} \approx 342.22 \, \text{W}\).

Question 11 : Pertes de puissance active dans T2 (\(P_{pertes,T2}\))

Principe :

Pertes dans T2 : \(P_{pertes,T2} = \text{Re}(Z_{eq2,prim}) \cdot |I_{ligne}|^2\).

Calcul :
\[ \text{Re}(Z_{eq2,prim}) = 0.6 \, \Omega \] \[ \begin{aligned} P_{pertes,T2} &= (0.6 \, \Omega) \times (15.1044 \, \text{A})^2 \\ &\approx 0.6 \times 228.145 \\ &\approx 136.89 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 11 : Pertes T2 : \(P_{pertes,T2} \approx 136.89 \, \text{W}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Le rendement d'un système de distribution est affecté par :

Question 12 : Puissance active totale \(P_S\) fournie et rendement (\(\eta_{global}\))

Principe :

\(P_S = P_{charge,eff} + P_{pertes,T1} + P_{pertes,ligne} + P_{pertes,T2}\). \(\eta_{global} = P_{charge,eff} / P_S\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} P_S &\approx 53366.6 \, \text{W} + 182.55 \, \text{W} + 342.22 \, \text{W} + 136.89 \, \text{W} \\ &= 53366.6 + 661.66 \, \text{W} \\ &= 54028.26 \, \text{W} \end{aligned} \]

Vérification avec \(P_S = V_S |I_S| \cos\phi_S\) :

\[ \cos\phi_S = \cos(-26.553^\circ) \approx 0.8945 \] \[ \begin{aligned} P_S &\approx 400 \, \text{V} \times 151.044 \, \text{A} \times 0.8945 \\ &\approx 60417.6 \times 0.8945 \\ &\approx 54049.5 \, \text{W} \end{aligned} \]

Les valeurs sont proches. Utilisons la somme des puissances pour le rendement.

\[ \begin{aligned} \eta_{global} &= \frac{53366.6 \, \text{W}}{54028.26 \, \text{W}} \\ &\approx 0.98775 \\ &\approx 98.78\% \end{aligned} \]
Résultat Question 12 :
  • Puissance active totale fournie par la source : \(P_S \approx 54028.26 \, \text{W}\)
  • Rendement global du système : \(\eta_{global} \approx 98.78\%\)

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'impédance équivalente d'un transformateur ramenée au primaire est utilisée pour :

2. Les pertes de puissance active dans une ligne de transmission sont principalement dues à :

3. Le rendement global d'un système de distribution (source -> ligne -> transformateur -> charge) est affecté par :

Glossaire

Transformateur
Appareil électrique statique qui transfère de l'énergie électrique d'un circuit à un autre par induction électromagnétique, généralement avec un changement de tension et de courant.
Rapport de Transformation (\(m\))
Rapport entre la tension secondaire à vide et la tension primaire (\(m = V_2/V_1\)).
Impédance Équivalente du Transformateur (\(Z_{eq}\))
Impédance complexe (résistance + réactance) qui modélise les pertes cuivre et les flux de fuite du transformateur, ramenée à un des enroulements.
Ligne de Transmission
Ensemble de conducteurs utilisés pour transporter l'énergie électrique sur une distance.
Impédance de Ligne (\(Z_{ligne}\))
Impédance totale d'une ligne de transmission, incluant sa résistance et sa réactance.
Puissance Active (\(P\))
Puissance réellement consommée ou produite dans un circuit. Unité : Watt (W).
Puissance Réactive (\(Q\))
Puissance oscillant entre la source et les éléments réactifs. Unité : Voltampère réactif (VAR).
Puissance Apparente (\(S\))
Produit des valeurs efficaces de la tension et du courant. \(S = VI\). Unité : Voltampère (VA).
Facteur de Puissance (\(\cos\phi\))
Rapport entre la puissance active et la puissance apparente (\(P/S\)).
Pertes Joule
Pertes de puissance dues à la résistance des conducteurs (\(P = RI^2\)).
Rendement (\(\eta\))
Rapport de la puissance utile (sortie) à la puissance fournie (entrée).
Chute de Tension
Différence entre la tension à l'entrée et la tension à la sortie d'un composant ou d'une ligne.
Performance d’un Transformateur en Réseau

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