Potentiel Vecteur d’un Courant Continu
Comprendre le Potentiel Vecteur d’un Courant Continu
Dans un laboratoire de recherche en physique, une expérience est menée pour étudier les champs magnétiques générés par différents courants électriques dans un environnement contrôlé.
Les chercheurs veulent calculer le potentiel vecteur magnétique \( \mathbf{A} \) dans un point de l’espace à cause d’un fil infini parcouru par un courant constant.
Cette mesure est essentielle pour comprendre la distribution du champ magnétique dans l’espace autour du fil.
Données de l’Exercice:
- Le courant \( I \) qui traverse le fil est de \( 5 \, \text{A} \).
- Le fil est aligné le long de l’axe \( z \).
- Le point où le potentiel vecteur \( \mathbf{A} \) est calculé se trouve à une distance \( r = 0.1 \, \text{m} \) du fil, dans le plan \( xy \).
- On utilise la perméabilité du vide \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{N/A}^2 \).
Question:
Calculer le potentiel vecteur \( \mathbf{A} \) au point donné en utilisant les données ci-dessus.
Correction : Potentiel Vecteur d’un Courant Continu
Données Fournies:
- Courant \(I = 5 \, \text{A}\)
- Distance \(r = 0.1 \, \text{m}\)
- Perméabilité du vide \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{N/A}^2\)
1. Formule de Base:
La formule pour le potentiel vecteur \(\mathbf{A}\) autour d’un fil infini est donnée par une intégrale sur la distribution de courant, qui peut être exprimée en coordonnées cylindriques pour un fil aligné le long de l’axe \(z\) :
\[ \mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0 I}{2\pi} \ln \left(\frac{1}{r}\right) \mathbf{k} \]
2. Calcul du Potentiel Vecteur
- Expression du potentiel vecteur :
\[ \mathbf{A} = \frac{\mu_0 I}{2\pi} \ln \left(\frac{1}{r}\right) \mathbf{k} \]
- Substitution des valeurs :
\[ \mathbf{A} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \, \text{N/A}^2 \times 5 \, \text{A}}{2\pi} \ln \left(\frac{10}{1}\right) \mathbf{k} \]
- Calcul du logarithme :
Le logarithme naturel de \(10\) (puisque \(\frac{1}{0.1} = 10\)) est approximativement \(2.302\).
Calcul final du potentiel vecteur :
\[ \mathbf{A} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 5}{2\pi} \times 2.302 \, \mathbf{k} \] \[ \mathbf{A} = 10^{-6} \times 2.302 \, \mathbf{k} \] \[ \mathbf{A} = 2.302 \times 10^{-6} \, \mathbf{k} \]
Résultat Final
Le potentiel vecteur au point donné est donc \(\mathbf{A} \approx 2.302 \times 10^{-6} \, \mathbf{k} \, \text{Tesla} \cdot \text{m}\), où \(\mathbf{k}\) est le vecteur unitaire dans la direction de l’axe \(z\).
Explications et Implications
- Le potentiel vecteur \(\mathbf{A}\) indique la contribution du champ magnétique due au courant dans le fil infini.
- La direction du vecteur \(\mathbf{k}\) montre que le champ est orienté le long de l’axe \(z\), perpendiculaire à la direction du courant.
- La magnitude du potentiel vecteur augmente logarithmiquement avec la diminution de la distance \(r\) par rapport au fil, illustrant l’intensification du champ magnétique près du fil.
Potentiel Vecteur d’un Courant Continu
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