Potentiel Vecteur d’un Courant Continu

Nous adoptons une configuration en coordonnées cylindriques \( (r,\phi,z) \) et choisissons, par commodité, une jauge telle que le potentiel vecteur soit orienté uniquement selon \( z \), c’est-à-dire \[ \vec{A}(r)= A_z(r)\, \vec{e}_z \]

Dans ce choix, le seul composant non nul est \( A_z \) qui dépend de \( r \). Le lien entre le potentiel vecteur et le champ magnétique \( \vec{B} \) est donné par :

\[ \vec{B} = \nabla \times \vec{A} \]

1. Expression du Champ Magnétique

Pour un fil infini parcouru par un courant \( I \), le champ magnétique circulant autour du fil (dans la direction \( \vec{e}_\phi \)) est donné par la formule :

\[ B_\phi(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]

Les autres composantes de \( \vec{B} \) sont nulles : \( B_r = 0 \) et \( B_z = 0 \).

2. Relation entre \( \vec{A} \) et \( \vec{B} \)

En coordonnées cylindriques, en choisissant \( \vec{A} = A_z(r)\,\vec{e}_z \), le seul composant non nul du rotationnel se trouve dans la direction \( \phi \). Ainsi :

\[ B_\phi = -\frac{dA_z}{dr} \]

3. Établissement de l’Équation Différentielle

En égalant l’expression obtenue avec celle de \( B_\phi \) par la loi d’Ampère, on a :

\[ -\frac{dA_z}{dr} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]

Cette équation différentielle concerne \( A_z(r) \).

4. Intégration de l’Équation

On réécrit l'équation sous la forme :

\[ \frac{dA_z}{dr} = -\frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]

En intégrant par rapport à \( r \) :

\[ A_z(r) = - \frac{\mu_0 I}{2\pi} \int \frac{1}{r}\,dr \] \[ A_z(r) = - \frac{\mu_0 I}{2\pi} \ln r + C \]

où \( C \) est une constante d’intégration.

Choix de la constante d’intégration : On impose la condition \( A_z(r_0) = 0 \) pour \( r_0 = 1\,\text{m} \). Ainsi :

\[ 0 = -\frac{\mu_0 I}{2\pi} \ln(1) + C \quad \Longrightarrow \quad C = 0 \]

D'où :

\[ A_z(r) = - \frac{\mu_0 I}{2\pi} \ln r \] \[ A_z(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi} \ln \frac{1}{r} \]

5. Substitution des Valeurs Numériques

Avec :

• \( I = 5\,\text{A} \)
• \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\text{N/A}^2 \)
• \( r = 0.1\,\text{m} \)

L'expression devient :

\[ A_z(0.1) = -\frac{4\pi \times 10^{-7} \times 5}{2\pi} \ln(0.1) \]

Simplification du Facteur Constant

Calcul du facteur :

\[ \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 5}{2\pi} \] \[ = \frac{20\pi \times 10^{-7}}{2\pi} \] \[ = 10 \times 10^{-7} = 1 \times 10^{-6} \]

Donc :

\[ A_z(0.1) = -1 \times 10^{-6} \ln(0.1) \]

Calcul du Logarithme

Or :

\[ \ln(0.1) = -2.302585093 \]

Alors :

\[ A_z(0.1) = -1 \times 10^{-6} \times (-2.302585093) \] \[ A_z(0.1) = 2.302585093 \times 10^{-6} \]

6. Conclusion et Résultat Final

Le potentiel vecteur au point \( P \) est :

\[ \vec{A}(0.1) = 2.30 \times 10^{-6}\ \vec{e}_z \quad \text{(en unités SI, en T·m)}. \]

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Récapitulatif de la Correction

Étapes :

1. Champ Magnétique : \( B_\phi(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \).
2. Relation \( \vec{A} \) et \( \vec{B} \) : \( B_\phi = -\frac{dA_z}{dr} \).
3. Intégration : \( A_z(r) = -\frac{\mu_0 I}{2\pi} \ln r + C \) avec \( C = 0 \) pour \( r = 1\,\text{m} \).
4. Substitution : En remplaçant par \( I = 5\,\text{A} \), \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \) et \( r = 0.1\,\text{m} \), on obtient le résultat final.