Propagation des Ondes Sphériques

Comprendre la Propagation des Ondes Sphériques

Dans une expérience de laboratoire en électromagnétisme, un générateur d’ondes sphériques est utilisé pour étudier la propagation des ondes électromagnétiques dans différents milieux.

Le générateur crée une onde qui se propage à partir d’un point source dans toutes les directions de l’espace.

Pour comprendre les Interactions Magnétiques avec le Césium-137, cliquez sur le lien.

Données:

• Fréquence de l’onde générée, \( f \): 300 MHz
• Vitesse de la lumière dans le vide, \( c \): \( 3 \times 10^8 \) m/s
• Distance depuis la source, \( r \): 100 m
• Permittivité du vide, \( \epsilon_0 \): \( 8.85 \times 10^{-12} \) F/m
• Perméabilité du vide, \( \mu_0 \): \( 4\pi \times 10^{-7} \) H/m

Questions:

1. Calcul de la longueur d’onde (\(\lambda\)) dans le vide:

• Calculez la longueur d’onde de l’onde électromagnétique dans le vide.

2. Expression du champ électrique (\(E\)):

• Exprimez le champ électrique d’une onde sphérique à une distance \( r \) de la source.

3. Intensité de l’onde à la distance \( r \):

• L’intensité d’une onde sphérique diminue avec la distance selon la loi de l’inverse du carré de la distance. Calculez l’intensité de l’onde à la distance \( r \).

4. Déphasage de l’onde à la distance \( r \):

• Calculez le déphasage de l’onde à la distance \( r \), sachant que le déphasage \( \phi \) est donné par \( \phi = kr \).

Correction : Propagation des Ondes Sphériques

1. Calcul de la longueur d’onde (\(\lambda\)) dans le vide

Données:

• Fréquence de l’onde, \( f = 300 \, \text{MHz} = 300 \times 10^6 \, \text{Hz} \)
• Vitesse de la lumière, \( c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \)

Formule:

\[ \lambda = \frac{c}{f} \]

Calcul:

\[ \lambda = \frac{3 \times 10^8 \, \text{m/s}}{300 \times 10^6 \, \text{Hz}} \] \[ \lambda = 1 \, \text{m} \]

La longueur d’onde de l’onde électromagnétique dans le vide est de \(1\) mètre.

2. Expression du champ électrique (\(E\))

Données:

• \( E_0 \) (non spécifié, symboliquement \( E_0 \))
• Distance depuis la source, \( r = 100 \, \text{m} \)
• Fréquence de l’onde, \( f = 300 \, \text{MHz} \)
• Longueur d’onde, \( \lambda = 1 \, \text{m} \)
• Nombre d’onde, \( k = \frac{2\pi}{\lambda} \)
• Fréquence angulaire, \( \omega = 2\pi f \)

Formules:

\[ E(r, t) = \frac{E_0}{r} e^{i(kr – \omega t)} \]

\[ k = \frac{2\pi}{\lambda} \]

\[ \omega = 2\pi f \]

Calcul de \(k\) et \(\omega\):

\[ k = \frac{2\pi}{1 \, \text{m}} = 2\pi \, \text{rad/m} \]

\[ \omega = 2\pi \times 300 \times 10^6 \, \text{Hz} \] \[ \omega = 600\pi \times 10^6 \, \text{rad/s} \]

Expression simplifiée:

\[ E(r, t) = \frac{E_0}{100} e^{i(200\pi – 600\pi \times 10^6 t)} \]

Résultat: L’expression du champ électrique est \( \frac{E_0}{100} e^{i(200\pi – 600\pi \times 10^6 t)} \).

3. Intensité de l’onde à la distance \(r\)

Données:

• Puissance rayonnée par la source, \( P \) (non spécifiée, symboliquement \( P \))
• Distance depuis la source, \( r = 100 \, \text{m} \)

Formule:

\[ I(r) = \frac{P}{4\pi r^2} \]

Calcul:

\[ I(r) = \frac{P}{4\pi \times 100^2} = \frac{P}{40000\pi} \, \text{W/m}^2 \]

Résultat: L’intensité de l’onde à une distance de 100 mètres de la source est \( \frac{P}{40000\pi} \) watts par mètre carré.

4. Déphasage de l’onde à la distance \(r\)

Données:

• Nombre d’onde, \( k = 2\pi \) rad/m
• Distance depuis la source, \( r = 100 \, \text{m} \)

Formule:

\[ \phi = kr \]

Calcul:

\[ \phi = 2\pi \times 100 \] \[ \phi = 200\pi \, \text{rad} \]

Le déphasage de l’onde à une distance de 100 mètres est de \(200\pi\) radians.

Propagation des Ondes Sphériques

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