Puissance et Facteur de Puissance dans un régime Triphasé
Contexte : L'optimisation énergétique d'une installation industrielle.
Un moteur asynchrone triphasé, élément central de nombreuses chaînes de production, est alimenté par un réseau électrique. Sa consommation d'énergie ne se limite pas à la puissance utile qu'il fournit sur son arbre. Il consomme également une puissance réactiveÉnergie échangée entre la source et le récepteur, nécessaire à la magnétisation des circuits des machines électriques, mais ne produisant pas de travail utile., indispensable à son fonctionnement mais pénalisante pour le réseau. Cet exercice a pour but d'analyser le bilan de puissance complet de ce moteur et de déterminer comment améliorer son efficacité énergétique en corrigeant son facteur de puissanceRapport entre la puissance active (utile) et la puissance apparente (totale). Un facteur de puissance proche de 1 indique une utilisation efficace de l'énergie..
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à jongler avec les trois puissances (Active, Réactive, Apparente) et à comprendre l'intérêt technique et économique du relèvement du facteur de puissance, une problématique courante en électrotechnique industrielle.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la puissance active absorbée par un récepteur triphasé à partir de sa puissance utile et son rendement.
- Déterminer les puissances apparente et réactive en utilisant le facteur de puissance.
- Calculer le courant de ligne absorbé par le moteur.
- Comprendre le principe de la compensation de l'énergie réactive.
- Dimensionner une batterie de condensateurs pour relever le facteur de puissance à une valeur cible.
Données de l'étude
Fiche Technique du Moteur
Schéma de l'installation
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Tension composée du réseau | \(U\) | 400 V |
| Fréquence du réseau | \(f\) | 50 Hz |
| Puissance utile | \(P_{\text{u}}\) | 15 kW |
| Rendement | \(\eta\) | 0,90 |
| Facteur de puissance | \(\cos \varphi\) | 0,82 |
Questions à traiter
- Calculer la puissance active absorbée par le moteur.
- Calculer la puissance apparente du moteur.
- Calculer la puissance réactive consommée par le moteur.
- Déterminer l'intensité du courant en ligne.
- On souhaite relever le facteur de puissance à \(\cos \varphi' = 0,93\). Calculer la capacité \(C\) de chacun des trois condensateurs à coupler en triangle pour réaliser cette compensation.
Les bases sur les Puissances en Triphasé
Pour un récepteur triphasé équilibré, les relations entre les puissances et les caractéristiques du réseau sont fondamentales.
1. Le Triangle des Puissances
Les trois puissances sont liées par une relation de Pythagore :
\[ S^2 = P^2 + Q^2 \]
Où :
- S est la puissance apparente en Voltampères (VA), représentant la puissance totale appelée sur le réseau.
- P est la puissance active en Watts (W), la seule qui produit un travail utile (puissance mécanique, chaleur).
- Q est la puissance réactive en Voltampères Réactifs (VAR), utilisée pour créer les champs magnétiques des machines.
2. Formules des Puissances
Pour un système triphasé équilibré alimenté par une tension composée \(U\) et parcouru par un courant de ligne \(I\) :
\[ P = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos \varphi \]
\[ Q = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \sin \varphi \]
\[ S = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \]
On en déduit également les relations utiles : \(P = S \cdot \cos \varphi\) et \(Q = S \cdot \sin \varphi = P \cdot \tan \varphi\).
Correction : Puissance et Facteur de Puissance dans un régime Triphasé
Question 1 : Calculer la puissance active absorbée par le moteur.
Principe (le concept physique)
Le moteur convertit la puissance électrique qu'il absorbe en puissance mécanique (utile) sur son arbre. Cependant, cette conversion n'est pas parfaite à cause des pertes (chaleur par effet Joule, frottements mécaniques). Le rendement \(\eta\) quantifie cette efficacité. La puissance active absorbée est donc toujours supérieure à la puissance utile fournie.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le rendement (\(\eta\)) d'un système est le rapport entre l'énergie (ou la puissance) utile en sortie et l'énergie (ou la puissance) absorbée en entrée. Les pertes d'énergie dans un moteur électrique sont principalement de deux types : les pertes électriques (dans les enroulements, appelées pertes Joule) et les pertes mécaniques (dues aux frottements). Un rendement de 0,90 signifie que 90% de la puissance électrique absorbée est convertie en puissance mécanique utile, tandis que les 10% restants sont dissipés en chaleur.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Dans tout exercice impliquant un rendement, la première étape est souvent de calculer la puissance d'entrée à partir de la puissance de sortie, ou inversement. C'est un réflexe à acquérir car la puissance absorbée est celle qui sera utilisée dans les calculs électriques en amont (calcul de courant, de puissances apparente et réactive).
Normes (la référence réglementaire)
Les classes de rendement des moteurs électriques (IE1, IE2, IE3, IE4) sont définies par la norme internationale IEC 60034-30-1. Ces normes imposent des niveaux de rendement minimaux pour les moteurs vendus sur le marché afin de promouvoir les économies d'énergie. Un moteur avec un rendement de 0,90 est probablement un moteur de classe IE2 ou IE3.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Définition du rendement
Formule de la puissance absorbée
Hypothèses (le cadre du calcul)
- Le moteur fonctionne à son régime nominal, c'est-à-dire les conditions pour lesquelles le constructeur a spécifié le rendement de 0,90.
- Le réseau d'alimentation est stable et fournit bien la tension nominale de 400V.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance utile | \(P_{\text{u}}\) | 15 | kW |
| Rendement | \(\eta\) | 0,90 | (sans unité) |
Astuces (Pour aller plus vite)
Pour vérifier rapidement la cohérence de votre calcul, souvenez-vous que le rendement est toujours inférieur à 1. Par conséquent, la puissance absorbée \(P_{\text{a}}\) doit obligatoirement être supérieure à la puissance utile \(P_{\text{u}}\). Si vous trouvez l'inverse, vous avez probablement inversé la division.
Schéma (Avant les calculs)
Bilan de puissance du moteur
Calcul(s) (l'application numérique)
Conversion de la puissance utile
Calcul de la puissance absorbée
Schéma (Après les calculs)
Bilan de puissance du moteur avec valeurs
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le moteur absorbe 16667 W de puissance électrique pour en restituer 15000 W sous forme mécanique. La différence, soit 1667 W (ou 1,67 kW), est l'ensemble des pertes de la machine, transformées en chaleur. Cette valeur n'est pas négligeable et doit être prise en compte pour la ventilation des locaux où le moteur est installé.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La principale erreur est d'inverser la formule et de multiplier \(P_{\text{u}}\) par \(\eta\), ce qui donnerait une puissance absorbée inférieure à la puissance utile, ce qui est physiquement impossible (cela violerait le principe de conservation de l'énergie). Soyez aussi attentif aux unités : réalisez les calculs en Watts pour éviter les erreurs avec les préfixes "kilo".
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La puissance absorbée est la puissance d'entrée électrique.
- La puissance utile est la puissance de sortie mécanique.
- La formule de liaison est \(P_{\text{a}} = P_{\text{u}} / \eta\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Nikola Tesla est l'inventeur du moteur asynchrone triphasé à la fin du 19ème siècle. Cette invention a été cruciale dans la "guerre des courants" qui l'opposait à Thomas Edison, car elle a démontré la supériorité du courant alternatif pour le transport de l'électricité et l'alimentation des machines industrielles.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le rendement du moteur n'était que de 85% (0,85), quelle serait la nouvelle puissance active absorbée ?
Question 2 : Calculer la puissance apparente du moteur.
Principe (le concept physique)
La puissance apparente \(S\) représente la "charge" totale que le moteur impose au réseau électrique. Elle est la résultante vectorielle de la puissance active \(P_{\text{a}}\) qui produit un travail, et la puissance réactive \(Q\) qui magnétise les circuits. Le facteur de puissance \(\cos \varphi\) est le rapport entre ces deux, indiquant l'efficacité de l'utilisation de la puissance apparente.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le facteur de puissance (\(\cos \varphi\)) est le cosinus de l'angle de déphasage \(\varphi\) entre la tension et le courant. Dans un circuit purement résistif, \(\varphi = 0\), donc \(\cos \varphi = 1\) et P = S. Dans un circuit inductif comme un moteur, le courant est en retard sur la tension (\(\varphi > 0\)), donc \(\cos \varphi < 1\) et S > P. La puissance apparente est la puissance que le fournisseur doit être capable de fournir, et c'est elle qui dimensionne les câbles et les transformateurs en amont.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Voyez la puissance apparente \(S\) comme le "coût total" pour le réseau, tandis que la puissance active \(P_{\text{a}}\) est le "bénéfice" (le travail utile). Le facteur de puissance est donc un indicateur de "rentabilité" énergétique. Les fournisseurs d'électricité pénalisent les installations ayant un mauvais facteur de puissance car elles "tirent" plus de puissance apparente (et donc de courant) pour un même travail utile.
Normes (la référence réglementaire)
En France, la réglementation (via le tarif d'Utilisation des Réseaux Publics d'Électricité, TURPE) incite les industriels à maintenir un bon facteur de puissance. Typiquement, il est demandé d'avoir un \(\tan \varphi \leq 0,4\), ce qui correspond à un \(\cos \varphi \geq 0,93\), pendant les heures de pointe. En cas de dépassement, des pénalités financières sont appliquées sur la facture d'électricité.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Définition du facteur de puissance
Formule de la puissance apparente
Hypothèses (le cadre du calcul)
- Le facteur de puissance de 0,82 est celui correspondant au point de fonctionnement nominal du moteur.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance active absorbée | \(P_{\text{a}}\) | 16667 | W |
| Facteur de puissance | \(\cos \varphi\) | 0,82 | (sans unité) |
Astuces (Pour aller plus vite)
Le facteur de puissance est toujours entre 0 et 1. La puissance apparente \(S\) est donc obligatoirement supérieure ou égale à la puissance active \(P_{\text{a}}\). C'est la même logique que pour le rendement : c'est un bon moyen de vérifier la plausibilité de votre résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Triangle des puissances (vue initiale)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la puissance apparente
Schéma (Après les calculs)
Triangle des puissances avec S calculé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La puissance apparente (20,3 kVA) est significativement plus élevée que la puissance active (16,7 kW). Cet écart de près de 4 kVA représente le "surcoût" sur le réseau dû au besoin en puissance réactive du moteur. Le réseau doit être dimensionné pour 20,3 kVA, même si seulement 16,7 kW sont réellement transformés en travail.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur classique est de multiplier au lieu de diviser : \(P_{\text{a}} \times \cos \varphi\). Cela donnerait un \(S < P_{\text{a}}\), ce qui est impossible. Assurez-vous d'utiliser la puissance active absorbée \(P_{\text{a}}\) et non la puissance utile \(P_{\text{u}}\) pour ce calcul.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le facteur de puissance lie Puissance Active et Puissance Apparente.
- La formule à retenir est \(S = P_{\text{a}} / \cos \varphi\).
- La puissance apparente \(S\) dimensionne l'installation électrique (câbles, transformateurs, protections).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
L'unité de la puissance apparente est le Voltampère (VA) et non le Watt (W), justement pour la différencier de la puissance active. Cela permet aux électriciens et ingénieurs de savoir immédiatement de quel type de puissance on parle et d'éviter des confusions potentiellement dangereuses pour le dimensionnement des équipements.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le facteur de puissance du moteur était très mauvais, à 0,70, quelle serait la nouvelle puissance apparente (pour la même puissance active) ?
Question 3 : Calculer la puissance réactive consommée par le moteur.
Principe (le concept physique)
La puissance réactive \(Q\) est l'énergie échangée à chaque période entre le réseau et le moteur pour créer et entretenir le champ magnétique tournant, nécessaire à son fonctionnement. Cette puissance ne participe pas directement au travail mécanique de l'arbre mais est fondamentale. Elle peut être vue comme le troisième côté du triangle rectangle formé par \(P_{\text{a}}\) et \(S\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Dans le triangle des puissances, la puissance réactive Q est le côté opposé à l'angle \(\varphi\). C'est pourquoi elle est liée au \(\sin \varphi\) ou à la \(\tan \varphi = \sin \varphi / \cos \varphi\). Les charges inductives (moteurs, transformateurs) sont des "consommatrices" de puissance réactive, tandis que les charges capacitives (condensateurs) en sont des "fournisseuses".
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Il y a souvent plusieurs chemins pour arriver au résultat. Ici, Pythagore ou la trigonométrie. La méthode avec la tangente (\(Q = P_{\text{a}} \cdot \tan \varphi\)) est souvent plus directe si vous avez déjà P et cos φ, car elle évite de calculer S. Entraînez-vous avec les deux méthodes pour être à l'aise et choisir la plus rapide selon les données disponibles.
Normes (la référence réglementaire)
Les compteurs électriques industriels modernes (comme le Linky en France pour les professionnels) mesurent les quatre quadrants d'énergie, c'est-à-dire qu'ils comptabilisent séparément l'énergie active et réactive, qu'elle soit consommée (inductive) ou fournie (capacitive). Cela permet au fournisseur d'énergie d'établir une facturation précise basée sur la consommation réelle de puissance réactive.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Méthode 1 : Formule de Pythagore
Méthode 2 : Formule avec la tangente
Hypothèses (le cadre du calcul)
- On considère que le récepteur est purement inductif, ce qui est une bonne approximation pour un moteur asynchrone.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance active absorbée | \(P_{\text{a}}\) | 16667 | W |
| Puissance apparente | \(S\) | 20325 | VA |
| Facteur de puissance | \(\cos \varphi\) | 0,82 |
Astuces (Pour aller plus vite)
Avant de vous lancer dans le calcul de \(\arccos\), vérifiez si votre calculatrice peut calculer directement \(\tan(\arccos(x))\). C'est plus précis que de calculer l'angle, l'arrondir, puis en prendre la tangente. La formule exacte est \(\tan(\arccos(x)) = \sqrt{1-x^2}/x\).
Schéma (Avant les calculs)
Triangle des puissances à compléter
Calcul(s) (l'application numérique)
Application de la Méthode 1 (Pythagore)
Application de la Méthode 2 (Trigonométrie)
Calcul de l'angle \(\varphi\)
Calcul de la puissance réactive
Schéma (Après les calculs)
Triangle des puissances
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La puissance réactive (11,6 kVAR) est loin d'être négligeable, elle représente environ 70% de la puissance active. C'est cette valeur élevée qui "tire" la puissance apparente vers le haut et dégrade le facteur de puissance. C'est cette puissance que nous chercherons à compenser dans la dernière question.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Assurez-vous que votre calculatrice est en mode "degrés" lorsque vous calculez \(\arccos\). Une erreur fréquente est de travailler en radians ou en grades. De plus, ne confondez pas sin(\(\varphi\)) et tan(\(\varphi\)), les deux peuvent être utilisés mais pas avec la même formule (\(Q = S \cdot \sin \varphi\) ou \(Q = P \cdot \tan \varphi\)).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La puissance réactive Q est la puissance "magnétisante".
- Elle se calcule avec Pythagore (\(\sqrt{S^2-P^2}\)) ou la trigonométrie (\(P \cdot \tan \varphi\)).
- C'est la cible de la compensation d'énergie réactive.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Charles Proteus Steinmetz, un mathématicien et ingénieur électricien de génie, a grandement contribué à la compréhension des phénomènes en courant alternatif. C'est lui qui a popularisé l'usage des nombres complexes et des diagrammes de phase (diagrammes de Fresnel), qui sont la base mathématique du triangle des puissances.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si, pour la même puissance active de 16667 W, la puissance apparente était de 25000 VA (à cause d'un très mauvais cos φ), quelle serait la puissance réactive ?
Question 4 : Déterminer l'intensité du courant en ligne.
Principe (le concept physique)
Le courant qui circule dans les lignes d'alimentation est directement proportionnel à la puissance apparente \(S\) et inversement proportionnel à la tension du réseau \(U\). C'est ce courant qui est responsable de l'échauffement des câbles (pertes Joule) et qui doit être maîtrisé pour assurer la sécurité de l'installation.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
En triphasé, la présence du facteur \(\sqrt{3}\) est due au fait que les puissances des trois phases ne s'ajoutent pas arithmétiquement à chaque instant, à cause de leur déphasage de 120°. La formule \(S = \sqrt{3} \cdot U \cdot I\) est valable pour un récepteur équilibré (couplé en étoile ou en triangle), où U est la tension entre phases (composée) et I le courant dans une ligne.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le calcul du courant est une étape cruciale en conception d'installations électriques. C'est à partir de cette valeur que l'on va choisir la section des câbles d'alimentation et le calibre des disjoncteurs ou des fusibles qui protègent le moteur. Un courant sous-estimé peut mener à des échauffements dangereux, voire à des incendies.
Normes (la référence réglementaire)
En France, la norme NFC 15-100 fixe les règles de conception et de réalisation des installations électriques à basse tension. Elle définit notamment les sections de câble minimales à utiliser en fonction du courant d'emploi et du mode de pose, afin de limiter l'échauffement et les chutes de tension.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de la puissance apparente triphasée
Formule du courant de ligne
Hypothèses (le cadre du calcul)
- Le réseau triphasé est parfaitement équilibré, le courant est donc le même dans les trois phases.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance apparente | \(S\) | 20325 | VA |
| Tension composée | \(U\) | 400 | V |
Astuces (Pour aller plus vite)
Une règle de pouce approximative pour un réseau 400V est de compter 1,5 A par kW de puissance active. Ici, pour 16,7 kW, on aurait \(16,7 \times 1,5 \approx 25 \text{ A}\). Notre résultat de 29,34 A est plus élevé : c'est l'effet direct du mauvais facteur de puissance. Cette astuce est donc surtout valable pour un \(\cos \varphi\) proche de 1 mais permet de détecter une erreur de calcul grossière.
Schéma (Avant les calculs)
Courant dans les lignes d'alimentation
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul du courant de ligne
Schéma (Après les calculs)
Courant dans les lignes d'alimentation
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le moteur appelle un courant de près de 30 A sur chaque phase. Si on améliorait le facteur de puissance à 1, la puissance apparente serait égale à la puissance active (16,67 kVA), et le courant serait de \(16667 / (\sqrt{3} \cdot 400) \approx 24 \text{ A}\). Le mauvais facteur de puissance nous oblige donc à surdimensionner les câbles et protections pour supporter plus de 5 A supplémentaires "inutiles".
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est d'oublier le facteur \(\sqrt{3}\) dans la formule. Une autre erreur est d'utiliser la tension simple (230V) au lieu de la tension composée (400V). La formule avec \(\sqrt{3}\) s'utilise TOUJOURS avec la tension composée U.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La formule du courant de ligne en triphasé est \(I = S / (\sqrt{3} \cdot U)\).
- Le courant dépend de la puissance apparente S, pas seulement de la puissance active P.
- Améliorer le facteur de puissance permet de réduire le courant en ligne.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le courant supplémentaire dû à la puissance réactive est parfois appelé "courant déwatté". Bien qu'il ne produise pas de travail utile dans le moteur, il provoque des pertes par effet Joule (\(P = R \cdot I^2\)) bien réelles dans toute la ligne d'alimentation, depuis le transformateur jusqu'au moteur. C'est un pur gaspillage d'énergie.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Avec la puissance apparente de 20325 VA, si le réseau était en 230V triphasé (ancienne norme), quel serait le courant de ligne ?
Question 5 : Calculer la capacité des condensateurs pour \(\cos \varphi' = 0,93\).
Principe (le concept physique)
Relever le facteur de puissance consiste à fournir localement la puissance réactive demandée par le moteur. Pour cela, on utilise des condensateurs, qui se comportent comme des "générateurs" de puissance réactive. En les plaçant en parallèle du moteur, ils vont alimenter son besoin en énergie magnétisante. Le réseau n'aura alors plus à fournir que la puissance active et une petite partie de la puissance réactive.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La compensation d'énergie réactive ne modifie pas la puissance active \(P_{\text{a}}\) consommée par le moteur (il a toujours besoin de la même puissance pour fonctionner). Elle agit en fournissant une puissance réactive \(Q_{\text{c}}\) qui vient en "soustraction" de la puissance réactive \(Q\) demandée par le moteur. La nouvelle puissance réactive appelée sur le réseau, \(Q'\), est donc plus faible. Par conséquent, la puissance apparente \(S' = \sqrt{P_{\text{a}}^2 + Q'^2}\) diminue, et le courant de ligne aussi.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Cette question est l'aboutissement de l'exercice. Elle synthétise toutes les notions précédentes et débouche sur une action de dimensionnement concrète et très courante en milieu industriel. Visualisez bien le triangle des puissances avant et après compensation : la base \(P_{\text{a}}\) ne change pas, seule la hauteur \(Q\) diminue, ce qui fait "rentrer" l'hypoténuse \(S\).
Normes (la référence réglementaire)
Les batteries de condensateurs de compensation doivent être conformes à des normes de sécurité et de performance, comme la norme IEC 60831. Elles incluent souvent des résistances de décharge pour garantir que les condensateurs ne restent pas chargés après la mise hors tension, ce qui serait dangereux.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Puissance réactive à compenser
Capacité C pour un couplage triangle
Hypothèses (le cadre du calcul)
- Les condensateurs sont parfaits (pas de résistance interne).
- La tension et la fréquence du réseau sont stables et nominales.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Puissance active absorbée | \(P_{\text{a}}\) | 16667 W |
| Puissance réactive avant | \(Q\) | 11633 VAR |
| Facteur de puissance cible | \(\cos \varphi'\) | 0,93 |
| Tension composée | \(U\) | 400 V |
| Fréquence | \(f\) | 50 Hz |
Astuces (Pour aller plus vite)
La formule \(Q_{\text{c}} = P_{\text{a}} \cdot (\tan \varphi - \tan \varphi')\) est la plus rapide car elle ne nécessite pas de calculer les puissances apparentes et réactives intermédiaires. C'est celle que les professionnels utilisent le plus souvent avec des tables ou des calculateurs.
Schéma (Avant les calculs)
Schéma de la compensation
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul du nouvel angle \(\varphi'\)
Calcul de \(\tan \varphi'\)
Calcul de la nouvelle puissance réactive \(Q'\)
Calcul de la puissance des condensateurs \(Q_{\text{c}}\)
Calcul de la pulsation \(\omega\)
Calcul de la capacité C
Schéma (Après les calculs)
Triangles des puissances avant et après compensation
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'installation de ces condensateurs permet de réduire le courant de ligne de 29,3 A à 25,9 A, soit une baisse de près de 12%. Cela permet de soulager les câbles et le transformateur d'alimentation, et surtout de ne plus payer de pénalités pour mauvais facteur de puissance. L'investissement dans la batterie de condensateurs est donc rapidement rentabilisé.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La formule pour la capacité \(C\) dépend du couplage (triangle ou étoile). La formule ici est pour un couplage triangle. Pour un couplage étoile, la formule est \(C = Q_{\text{c}} / (3 \cdot V^2 \cdot \omega)\), où V est la tension simple (\(V = U/\sqrt{3}\)), ce qui donne \(C = Q_{\text{c}} / (U^2 \cdot \omega)\). Attention également aux unités : le résultat de la formule est en Farads (F), il faut le convertir en microfarads (µF) pour obtenir une valeur usuelle.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La compensation se fait en ajoutant des condensateurs en parallèle.
- La puissance active P ne change pas.
- La puissance réactive à compenser est \(Q_{\text{c}} = Q_{\text{avant}} - Q_{\text{après}}\).
- La capacité dépend du carré de la tension, attention au couplage.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans les grandes industries, on utilise des bancs de compensation automatiques. Un appareil mesure en temps réel le facteur de puissance du site et active ou désactive des gradins de condensateurs pour s'adapter à la charge et maintenir un facteur de puissance optimal en permanence, quelles que soient les machines en fonctionnement.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle serait la puissance réactive \(Q_{\text{c}}\) à compenser si l'on voulait atteindre un facteur de puissance parfait de 1,0 ?
Outil Interactif : Simulateur de Puissance
Utilisez les curseurs pour faire varier la puissance active absorbée et le facteur de puissance. Observez l'impact sur les puissances apparente et réactive, ainsi que sur le graphique.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est l'unité de la puissance active ?
2. Un facteur de puissance faible (ex: 0,7) signifie que...
3. Pour relever le facteur de puissance d'un moteur, on installe en parallèle...
4. Dans la formule de puissance active triphasée \(P = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos \varphi\), que représente U ?
5. Que se passe-t-il lorsque l'on améliore le facteur de puissance d'une installation (sans changer la puissance active) ?
- Puissance Active (P)
- Mesurée en Watts (W), c'est la puissance qui est réellement convertie en travail (mécanique, thermique, etc.). C'est la puissance "utile".
- Puissance Réactive (Q)
- Mesurée en Voltampères Réactifs (VAR), elle est nécessaire à la création des champs magnétiques dans les bobinages des moteurs et transformateurs. Elle ne produit pas de travail mais est indispensable à leur fonctionnement.
- Puissance Apparente (S)
- Mesurée en Voltampères (VA), c'est la somme vectorielle des puissances active et réactive. Elle représente la puissance totale que la source doit fournir.
- Facteur de Puissance (\(\cos \varphi\))
- Nombre sans dimension entre 0 et 1 qui indique l'efficacité avec laquelle la puissance apparente est convertie en puissance active. Un facteur proche de 1 est idéal.
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