Puissance en régime sinusoïdal permanent
Comprendre la Puissance en régime sinusoïdal permanent
Un circuit en régime sinusoïdal permanent est alimenté par une source de tension alternative (AC) avec une tension \(V(t) = V_{\text{max}} \cos(\omega t)\), où \(V_{\text{max}} = 240\,V\) est la valeur maximale de la tension et \(\omega\) est la pulsation de la source.
Le circuit contient une résistance \(R = 30\,\Omega\), un condensateur de capacité \(C = 100\,\mu F\) et une bobine d’inductance \(L = 0.2\,H\) connectés en série.
La fréquence de la source de tension est de \(50\,Hz\).
Questions
1. Calculer l’impédance totale du circuit.
2. Déterminer l’amplitude du courant \(I_{\text{max}}\) dans le circuit.
3. Calculer la puissance active \(P\), la puissance réactive \(Q\), la puissance apparente \(S\) et le facteur de puissance \(\cos(\varphi)\).
Correction : Puissance en régime sinusoïdal permanent
Données initiales:
- Tension maximale: \(V_{max} = 240\,V\)
- Résistance: \(R = 30\,\Omega\)
- Capacité: \(C = 100\,\mu F = 100 \times 10^{-6}\,F\)
- Inductance: \(L = 0.2\,H\)
- Fréquence: \(f = 50\,Hz\)
1. Calcul de l’impédance totale \( Z \)
Calcul de la pulsation \( \omega \) :
\[ \omega = 2\pi f \] \[ \omega = 2\pi \times 50 \] \[ \omega = 100\pi \text{ rad/s} \]
Impédances individuelles :
- Résistance : \( Z_R = R = 30 \Omega \)
- Condensateur:
\[ Z_C = -j \frac{1}{\omega C} \] \[ Z_C = -j \frac{1}{100\pi \times 100 \times 10^{-6}} \] \[ Z_C = -j \frac{1}{\pi} \Omega \]
- Inductance:
\[ Z_L = j\omega L \] \[ Z_L = j100\pi \times 0.2 \] \[ Z_L = 20j\pi \Omega \]
Impédance totale :
\[ Z = Z_R + Z_C + Z_L \] \[ Z = 30 – j \frac{1}{\pi} + 20j\pi \] \[ Z = 30 + 19j\pi \Omega \]
\[ |Z| = \sqrt{30^2 + (19\pi)^2} \] \[ |Z| \approx 102.59 \Omega \]
2. Calcul de l’amplitude du courant \( I_{\text{max}} \)
\[ I_{\text{max}} = \frac{V_{\text{max}}}{|Z|} \] \[ I_{\text{max}} = \frac{240}{102.59} \] \[ I_{\text{max}} \approx 2.34 \text{ A} \]
3. Calcul des puissances et du facteur de puissance
Valeur efficace de la tension \( V_{\text{rms}} \) :
\[ V_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{max}}}{\sqrt{2}} \] \[ V_{\text{rms}} = \frac{240}{\sqrt{2}} \] \[ V_{\text{rms}} \approx 169.71 \text{ V} \]
Valeur efficace du courant \( I_{\text{rms}} \) :
\[ I_{\text{rms}} = \frac{I_{\text{max}}}{\sqrt{2}} \] \[ I_{\text{rms}} \approx \frac{2.34}{\sqrt{2}} \] \[ I_{\text{rms}} \approx 1.65 \text{ A} \]
Puissance active \( P \) :
\[ \cos(\phi) = \frac{\text{Re}(Z)}{|Z|} \] \[ \cos(\phi) = \frac{30}{102.59} \] \[ \cos(\phi) \approx 0.292 \]
\[ P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos(\phi) \] \[ P = 169.71 \times 1.65 \times 0.292 \] \[ P \approx 81.60 \text{ W} \]
Puissance réactive \( Q \) :
\[ \sin(\phi) = \frac{\text{Im}(Z)}{|Z|} \] \[ \sin(\phi) = \frac{19\pi}{102.59} \] \[ \sin(\phi) \approx 0.586 \]
\[ Q = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \sin(\phi) \] \[ Q = 169.71 \times 1.65 \times 0.586 \] \[ Q \approx 163.95 \text{ var} \]
Puissance apparente \( S \) :
\[ S = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \] \[ S = 169.71 \times 1.65 \] \[ S \approx 280.02 \text{ VA} \]
Facteur de puissance \( \cos(\phi) \) :
\[ \cos(\phi) \approx 0.292 \]
Conclusion
La consommation de puissance active est relativement faible comparée à la puissance apparente, ce qui souligne un faible facteur de puissance, caractéristique d’une charge principalement inductive.
Puissance en régime sinusoïdal permanent
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