Puissance Transportée par un Câble Coaxial
Comprendre la Puissance Transportée par un Câble Coaxial
Dans les systèmes de communication, les câbles coaxiaux sont couramment utilisés pour transporter des signaux électromagnétiques.
La qualité de la transmission dépend en grande partie de la capacité du câble à conserver l’intégrité du signal sur de longues distances sans pertes significatives de puissance.
Pour comprendre le calcul des Fibres Optiques avec les Équations de Maxwell, cliquez sur le lien.
Objectif:
Cet exercice vise à calculer la puissance transportée par un câble coaxial en utilisant des données spécifiques et en considérant les effets des champs électriques et magnétiques.
Données Fournies:
- Rayon du conducteur intérieur, \( r_1 \): 0.5 mm
- Rayon du conducteur extérieur, \( r_2 \): 2.5 mm
- Longueur du câble, \( L \): 100 m
- Fréquence du signal, \( f \): 500 MHz
- Permittivité du diélectrique, \( \epsilon \): \( 2.3 \times \epsilon_0 \) où \( \epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m} \)
- Perméabilité du milieu, \( \mu \): \( \mu_0 \) où \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m} \)
- Tension maximale entre les conducteurs, \( V_0 \): 3 V
Questions:
1. Calculez l’impédance caractéristique \( Z_0 \) du câble.
2. Déterminez la longueur d’onde \( \lambda \) du signal dans le câble.
3. Calculez la puissance transportée \( P \) par le câble coaxial.
Correction : Puissance Transportée par un Câble Coaxial
1. Calcul de l’Impédance Caractéristique \(Z_0\)
Formule :
\[ Z_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right) \]
Substitution des valeurs :
- \(\mu = \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}\)
- \(\epsilon = 2.3 \times \epsilon_0 = 2.3 \times 8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m} = 2.0355 \times 10^{-11} \, \text{F/m}\)
- \(r_1 = 0.0005 \, \text{m}\) (converti de mm à m)
- \(r_2 = 0.0025 \, \text{m}\) (converti de mm à m)
Calculs :
\[ \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} = \sqrt{\frac{4\pi \times 10^{-7}}{2.0355 \times 10^{-11}}} \approx 4.4429 \]
\[ \ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right) = \ln(5) \approx 1.6094 \]
Résultat :
\[ Z_0 = \frac{1}{2\pi} \times 4.4429 \times 1.6094 \] \[ Z_0 \approx 1.1316 \, \Omega \]
2. Détermination de la Longueur d’Onde \(\lambda\)
Formule :
\[ \lambda = \frac{c}{f \sqrt{\epsilon_r}} \]
Substitution des valeurs :
- \(c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\) (vitesse de la lumière dans le vide)
- \(f = 500 \times 10^6 \, \text{Hz}\)
- \(\epsilon_r = \frac{\epsilon}{\epsilon_0} \approx 2.3\)
Calculs :
\[ \sqrt{\epsilon_r} \approx 1.5166 \]
\[ \lambda = \frac{3 \times 10^8}{500 \times 10^6 \times 1.5166} \] \[ \lambda \approx 0.3957 \, \text{m} \]
3. Calcul de la Puissance Transportée \(P\)
Formule :
\[ P = \frac{V_0^2}{2 Z_0} \]
Substitution des valeurs :
- \(V_0 = 3 \, \text{V}\)
- \(Z_0 \approx 1.1316 \, \Omega\)
Calculs :
\[ V_0^2 = 3^2 = 9 \, \text{V}^2 \]
\[ P = \frac{9}{2 \times 1.1316} \] \[ P \approx 3.974 \, \text{W} \]
Conclusion
Les résultats obtenus sont :
- Impédance caractéristique (\(Z_0\)) : \(1.1316 \, \Omega\)
- Longueur d’onde (\(\lambda\)) : \(0.3957 \, \text{m}\)
- Puissance transportée (\(P\)) : \(3.974 \, \text{W}\)
Puissance Transportée par un Câble Coaxial
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