Exercices Électricité

Puissance Transportée par un Câble Coaxial

Puissance Transportée par un Câble Coaxial

Puissance Transportée par un Câble Coaxial

Comprendre la Puissance dans un Câble Coaxial

Les câbles coaxiaux sont largement utilisés pour transmettre des signaux de haute fréquence, comme les signaux de télévision, internet, et radio. Ils sont conçus pour guider l'énergie électromagnétique avec des pertes minimales et une bonne immunité aux interférences. La puissance transportée par un câble coaxial peut être calculée en déterminant les champs électrique (\(\vec{E}\)) et magnétique (\(\vec{H}\)) entre le conducteur interne et le conducteur externe, puis en calculant le vecteur de Poynting (\(\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}\)). L'intégration du flux de ce vecteur à travers la section transversale du diélectrique donne la puissance totale transportée. Pour des signaux continus ou des valeurs efficaces de signaux alternatifs, cette puissance est aussi égale au produit de la tension et du courant (\(P=VI\)).

Données de l'étude

On considère un câble coaxial constitué d'un conducteur interne cylindrique de rayon \(a\) et d'un conducteur externe cylindrique creux de rayon interne \(b\). L'espace entre les deux conducteurs est rempli d'un diélectrique parfait (non conducteur) de perméabilité \(\mu\) et de permittivité \(\epsilon\). Un courant continu \(I\) circule dans le conducteur interne et retourne par le conducteur externe. Une différence de potentiel continue \(V_{ab}\) est maintenue entre le conducteur interne (supposé au potentiel \(+V_{ab}/2\)) et le conducteur externe (supposé au potentiel \(-V_{ab}/2\) ou le conducteur interne à \(V_{ab}\) et l'externe à 0).

Caractéristiques du câble et des signaux :

  • Courant continu (\(I\)) : \(2 \, \text{A}\)
  • Différence de potentiel entre les conducteurs (\(V_{ab}\)) : \(50 \, \text{V}\)
  • Rayon du conducteur interne (\(a\)) : \(1 \, \text{mm}\)
  • Rayon interne du conducteur externe (\(b\)) : \(4 \, \text{mm}\)
  • Perméabilité du diélectrique : \(\mu = \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}\)
  • Permittivité du diélectrique : \(\epsilon = \epsilon_r \epsilon_0\) avec \(\epsilon_r = 2.25\) et \(\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
Schéma : Section Transversale d'un Câble Coaxial
Conducteur Externe Diélectrique (ε,μ) I (+z) a b E H S (vers +z) Câble Coaxial (Section)

Section transversale d'un câble coaxial montrant les conducteurs, le diélectrique, et les directions typiques des champs \(\vec{E}\), \(\vec{H}\) et du vecteur de Poynting \(\vec{S}\) (si I est vers +z et Vab > 0).

Questions à traiter

  1. En utilisant le théorème d'Ampère, déterminer l'expression du vecteur champ magnétique \(\vec{H}(\vec{r})\) dans la région \(a < r < b\), où \(r\) est la distance radiale à l'axe du câble. Préciser sa direction.
  2. Le champ électrique \(\vec{E}(\vec{r})\) dans la région \(a < r < b\) est radial et sa magnitude est donnée par \(E(r) = \frac{V_{ab}}{r \ln(b/a)}\). Écrire l'expression vectorielle de \(\vec{E}(\vec{r})\).
  3. Calculer le vecteur de Poynting \(\vec{S}(\vec{r})\) dans la région \(a < r < b\). Quelle est sa direction ?
  4. Calculer la puissance totale \(P\) transportée par le câble coaxial en intégrant le flux du vecteur de Poynting à travers la section transversale du diélectrique (entre \(r=a\) et \(r=b\)).
  5. Vérifier que la puissance calculée à la question 4 est égale au produit \(P_{elec} = V_{ab} I\).
  6. Application numérique : Calculer la puissance \(P\) pour les valeurs données.

Correction : Puissance Transportée par un Câble Coaxial

Question 1 : Champ magnétique \(\vec{H}(\vec{r})\) pour \(a < r < b\)

Principe :

On utilise le théorème d'Ampère en régime stationnaire : \(\oint_C \vec{H} \cdot d\vec{l} = I_{enlacé}\). En raison de la symétrie cylindrique, on choisit un contour d'Ampère circulaire de rayon \(r\) (avec \(a < r < b\)) centré sur l'axe du câble. Le champ \(\vec{H}\) est azimutal (\(\vec{H} = H_\phi(r) \vec{u}_\phi\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\oint_C \vec{H} \cdot d\vec{l} = H_\phi(r) \cdot (2\pi r) = I\] \[\Rightarrow H_\phi(r) = \frac{I}{2\pi r}\] \[\vec{H}(\vec{r}) = \frac{I}{2\pi r} \vec{u}_\phi\]
Données spécifiques :
  • Courant (\(I\)) : \(2 \, \text{A}\)
Expression :
\[\vec{H}(\vec{r}) = \frac{I}{2\pi r} \vec{u}_\phi\]

La direction est azimutale, selon \(\vec{u}_\phi\) (par la règle de la main droite si \(I\) est selon \(+\vec{u}_z\)).

Résultat Question 1 : Le champ magnétique est \(\vec{H}(\vec{r}) = \frac{I}{2\pi r} \vec{u}_\phi\).

Question 2 : Champ électrique \(\vec{E}(\vec{r})\) pour \(a < r < b\)

Principe :

Le champ électrique entre les conducteurs d'un câble coaxial est radial. Sa magnitude peut être trouvée en utilisant la loi de Gauss ou en intégrant le champ pour obtenir la différence de potentiel \(V_{ab}\). L'expression \(E(r) = \frac{V_{ab}}{r \ln(b/a)}\) est donnée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\vec{E}(\vec{r}) = E(r) \vec{u}_r = \frac{V_{ab}}{r \ln(b/a)} \vec{u}_r\]

\(\vec{u}_r\) est le vecteur unitaire radial dirigé du conducteur interne vers le conducteur externe.

Données spécifiques :
  • Différence de potentiel (\(V_{ab}\)) : \(50 \, \text{V}\)
  • Rayon interne (\(a\)) : \(1 \, \text{mm} = 10^{-3} \, \text{m}\)
  • Rayon externe (\(b\)) : \(4 \, \text{mm} = 4 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
Expression :
\[ \ln(b/a) = \ln(4/1) = \ln(4) \approx 1.386 \] \[\vec{E}(\vec{r}) = \frac{50 \, \text{V}}{r \ln(4)} \vec{u}_r \approx \frac{50}{1.386 r} \vec{u}_r \approx \frac{36.07}{r} \vec{u}_r \, \text{V/m}\]
Résultat Question 2 : Le champ électrique est \(\vec{E}(\vec{r}) = \frac{V_{ab}}{r \ln(b/a)} \vec{u}_r\).

Quiz Intermédiaire 1 : Dans un câble coaxial, les lignes de champ électrique entre les conducteurs sont principalement :

Question 3 : Vecteur de Poynting \(\vec{S}(\vec{r})\)

Principe :

Le vecteur de Poynting est donné par \(\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\vec{S}(\vec{r}) = \vec{E}(\vec{r}) \times \vec{H}(\vec{r})\]
Expressions de \(\vec{E}\) et \(\vec{H}\) :
  • \(\vec{E}(\vec{r}) = \frac{V_{ab}}{r \ln(b/a)} \vec{u}_r\)
  • \(\vec{H}(\vec{r}) = \frac{I}{2\pi r} \vec{u}_\phi\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{S}(\vec{r}) &= \left( \frac{V_{ab}}{r \ln(b/a)} \vec{u}_r \right) \times \left( \frac{I}{2\pi r} \vec{u}_\phi \right) \\ &= \frac{V_{ab} I}{2\pi r^2 \ln(b/a)} (\vec{u}_r \times \vec{u}_\phi) \end{aligned} \]

En coordonnées cylindriques, \(\vec{u}_r \times \vec{u}_\phi = \vec{u}_z\).

\[ \vec{S}(\vec{r}) = \frac{V_{ab} I}{2\pi r^2 \ln(b/a)} \vec{u}_z \]

La direction du vecteur de Poynting est \(\vec{u}_z\), c'est-à-dire le long de l'axe du câble, dans la direction de propagation de l'énergie (qui est aussi la direction du courant \(I\) si \(V_{ab}\) est définie de manière cohérente).

Résultat Question 3 : Le vecteur de Poynting est \(\vec{S}(\vec{r}) = \frac{V_{ab} I}{2\pi r^2 \ln(b/a)} \vec{u}_z\). Sa direction est le long de l'axe du câble.

Question 4 : Puissance totale \(P\) transportée

Principe :

La puissance totale \(P\) est le flux du vecteur de Poynting \(\vec{S}\) à travers la section transversale \(A\) du diélectrique entre les conducteurs (de \(r=a\) à \(r=b\)). L'élément de surface en coordonnées cylindriques est \(d\vec{A} = r dr d\phi \vec{u}_z\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P = \iint_A \vec{S}(\vec{r}) \cdot d\vec{A}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} P &= \int_0^{2\pi} \int_a^b \left( \frac{V_{ab} I}{2\pi r^2 \ln(b/a)} \vec{u}_z \right) \cdot (r dr d\phi \vec{u}_z) \\ &= \int_0^{2\pi} \int_a^b \frac{V_{ab} I}{2\pi r^2 \ln(b/a)} r dr d\phi \\ &= \frac{V_{ab} I}{2\pi \ln(b/a)} \int_0^{2\pi} d\phi \int_a^b \frac{1}{r} dr \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \int_0^{2\pi} d\phi &= [\phi]_0^{2\pi} = 2\pi \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \int_a^b \frac{1}{r} dr &= [\ln(r)]_a^b = \ln(b) - \ln(a) = \ln(b/a) \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P &= \frac{V_{ab} I}{2\pi \ln(b/a)} \times (2\pi) \times \ln(b/a) \\ &= V_{ab} I \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La puissance totale transportée par le câble coaxial est \(P = V_{ab} I\).

Quiz Intermédiaire 2 : Le vecteur de Poynting dans un câble coaxial idéal transportant un courant continu est dirigé :

Question 5 : Vérification \(P = V_{ab} I\)

Principe :

Le calcul de la question 4 a directement abouti à \(P = V_{ab} I\). C'est une vérification de la cohérence entre la définition du vecteur de Poynting et la définition de la puissance électrique en courant continu.

Résultat Question 5 : La puissance calculée en intégrant le vecteur de Poynting est bien \(P = V_{ab} I\), ce qui correspond à la puissance électrique fournie au câble.

Question 6 : Application numérique de la puissance \(P\)

Principe :

On utilise les valeurs numériques données pour \(V_{ab}\) et \(I\).

Données spécifiques :
  • \(V_{ab} = 50 \, \text{V}\)
  • \(I = 2 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P &= V_{ab} I \\ &= (50 \, \text{V}) \times (2 \, \text{A}) \\ &= 100 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La puissance transportée par le câble coaxial est \(P = 100 \, \text{W}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans un câble coaxial, le champ magnétique \(\vec{H}\) entre les conducteurs est principalement :

2. Le vecteur de Poynting \(\vec{S}\) représente :

3. La puissance totale transportée par une onde électromagnétique à travers une surface est obtenue en calculant :

Glossaire

Câble Coaxial
Ligne de transmission constituée d'un conducteur central entouré d'un diélectrique, lui-même entouré d'un conducteur externe (blindage). Utilisé pour transmettre des signaux haute fréquence.
Champ Électrique (\(\vec{E}\))
Champ vectoriel décrivant la force électrostatique par unité de charge. Unité SI : Volt par mètre (V/m).
Champ Magnétique (\(\vec{H}\))
Champ d'excitation magnétique, lié au champ d'induction magnétique \(\vec{B}\) par \(\vec{B} = \mu \vec{H}\). Unité SI : Ampère par mètre (A/m).
Vecteur de Poynting (\(\vec{S}\))
Vecteur représentant la densité de flux de puissance (puissance par unité de surface) et la direction de propagation de l'énergie d'une onde électromagnétique. \(\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}\).
Puissance Transportée (\(P\))
Quantité d'énergie transférée par unité de temps. Pour les ondes EM, elle est obtenue par l'intégration du flux du vecteur de Poynting.
Théorème d'Ampère
Loi reliant la circulation du champ magnétique \(\vec{H}\) le long d'un contour fermé au courant total enlacé par ce contour.
Diélectrique
Matériau isolant qui peut être polarisé par un champ électrique externe. Caractérisé par sa permittivité \(\epsilon\).
Permittivité (\(\epsilon\))
Mesure de la capacité d'un matériau à stocker de l'énergie électrique dans un champ électrique. \(\epsilon = \epsilon_r \epsilon_0\).
Perméabilité (\(\mu\))
Mesure de la capacité d'un matériau à supporter la formation d'un champ magnétique. \(\mu = \mu_r \mu_0\).
Puissance Transportée par un Câble Coaxial

D’autres exercices d’electromagnetique:

Calcul de la portée d’un radar
Calcul de la portée d’un radar

Calcul de la Portée d'un Radar Calcul de la Portée Maximale d'un Radar de Surveillance Comprendre l'Équation du Radar L'équation du radar est la pierre angulaire de l'ingénierie électromagnétique appliquée à la détection. Elle relie la portée maximale d'un radar aux...

Rayonnement d’un Dipôle Oscillant
Rayonnement d’un Dipôle Oscillant

Calcul du Rayonnement d'un Dipôle Oscillant Rayonnement d’un Dipôle Oscillant Comprendre le Rayonnement Électromagnétique Le dipôle oscillant est la source la plus fondamentale d'ondes électromagnétiques. Il modélise une petite antenne filaire dans laquelle des...

Force électromotrice induite dans un circuit
Force électromotrice induite dans un circuit

Calcul de la Force Électromotrice Induite Force Électromotrice (f.é.m.) Induite dans un Circuit Comprendre l'Induction Électromagnétique L'induction électromagnétique, décrite par la loi de Faraday-Lenz, est l'un des piliers de l'électromagnétisme. Elle stipule qu'une...

Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur
Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur

Exercice : Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur Comprendre le Théorème d'Ampère Le théorème d'Ampère est une loi fondamentale de la magnétostatique qui relie le champ magnétique à la source de courant qui le crée. De...

Fréquences de Résonance d’une Cavité
Fréquences de Résonance d’une Cavité

Exercice : Fréquences de Résonance d’une Cavité Fréquences de Résonance d’une Cavité Comprendre les Cavités Résonnantes Une cavité résonnante est une structure conductrice fermée qui peut confiner des ondes électromagnétiques. De la même manière qu'une corde de...

Orientation Satellite via Dipôle Magnétique
Orientation Satellite via Dipôle Magnétique

Exercice : Orientation d’un Satellite via Dipôle Magnétique Orientation d’un Satellite via Dipôle Magnétique Comprendre le Contrôle d'Attitude Magnétique Le contrôle d'attitude, c'est-à-dire la capacité à orienter un satellite dans une direction précise, est une...

L’Angle de Réfraction d’une Onde Lumineuse
L’Angle de Réfraction d’une Onde Lumineuse

Exercice : Calcul de l’Angle de Réfraction d’une Onde Lumineuse Calcul de l’Angle de Réfraction d’une Onde Lumineuse Comprendre la Réfraction et la Loi de Snell La réfraction est le phénomène de déviation d'une onde, comme la lumière, lorsqu'elle passe d'un milieu à...

Propagation d’une onde électromagnétique plane
Propagation d’une onde électromagnétique plane

Exercice : Propagation d’une onde électromagnétique plane Propagation d’une onde électromagnétique plane Comprendre l'Onde Électromagnétique Plane L'onde plane est le modèle le plus fondamental pour décrire la propagation de la lumière, des ondes radio, ou de tout...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *