Réponse Temporelle d’un Circuit RC
Comprendre la Réponse Temporelle d’un Circuit RC
Considérons un circuit RC (résistance R en série avec un condensateur C) alimenté par une source de tension continue \(V_{in}\) qui est appliquée à l’instant t=0.
Le système peut être décrit par une équation différentielle du premier ordre. L’objectif est de déterminer la réponse en tension à travers le condensateur \(V_c(t)\) en fonction du temps.
Données:
- Résistance R = 1 kΩ
- Capacité C = 1 \(\mu\)F
- Tension d’entrée V_in = 5 V
Questions:
1. Modéliser le circuit:
Écrire l’équation différentielle qui décrit la tension \(V_c(t)\) à travers le condensateur.
2. Trouver la constante de temps \(\tau\) du système}
3. Déterminer la réponse temporelle:
Calculer \(V_c(t)\) pour \(t \geq 0\).
4. Analyser la réponse:
Déterminer la valeur de \(V_c(t)\) à \(t=\tau\), \(3\tau\), et \(5\tau\).
5. Interprétation:
Discuter comment \(V_c(t)\) évolue vers \(V_{in}\) avec le temps.
Correction : Réponse Temporelle d’un Circuit RC
1. Modélisation du Circuit
Le circuit est constitué d’une résistance R et d’un condensateur \(C\) en série. La loi de Kirchhoff des tensions pour le circuit donne :
\[ V_{in} = V_R + V_C \]
où \(V_R\) est la tension à travers la résistance, et \(V_C\) est la tension à travers le condensateur.
Sachant que \(V_R = iR\) et \(i = C\frac{dV_C}{dt}\)
on peut réécrire l’équation comme :
\[ V_{in} = RC\frac{dV_C}{dt} + V_C \]
Réarrangeant pour obtenir une équation différentielle standard :
\[ \frac{dV_C}{dt} + \frac{1}{RC}V_C = \frac{V_{in}}{RC} \]
2. Trouver la Constante de Temps
La constante de temps \(\tau\) est le produit de \(R\) et \(C\).
\[ \tau = RC = 1\,k\Omega \times 1\,\mu F \] \[ \tau = 0.001\,s = 1\,ms \]
3. Déterminer la Réponse Temporelle
L’équation différentielle du premier ordre a une solution générale pour une entrée échelon de tension \(V_{in}\) :
\[ V_C(t) = V_{in}(1 – e^{-\frac{t}{\tau}}) \]
Déterminer la valeur de \(V_C(t)\) à \(t = \tau\), \(3\tau\), et \(5\tau\).
- À \(t = \tau\) (1 ms)
\[ V_C(t) = 5(1 – e^{-1}) \] \[ V_C(t) \approx 3.16\,V \]
- À \(t = 3\tau\) (3 ms)
\[ V_C(t) = 5(1 – e^{-3}) \] \[ V_C(t) \approx 4.75\,V \]
- À \(t = 5\tau\) (5 ms)
\[ V_C(t) = 5(1 – e^{-5}) \] \[ V_C(t) \approx 4.97\,V \]
5. Interprétation
Les calculs montrent comment la tension à travers le condensateur \(V_C(t)\) évolue avec le temps après l’application d’une tension d’entrée \(V_{in}\). Initialement, \(V_C(t)\) augmente rapidement, atteignant environ 63% de \(V_{in}\) à \(t = \tau\).
Cette montée rapide continue, mais avec une vitesse décroissante, jusqu’à ce que \(V_C(t)\) se stabilise près de la valeur de \(V_{in}\). À \(t = 5\tau\), la tension a atteint environ 99% de \(V_{in}\), indiquant que le système est pratiquement à son état stable.
Réponse Temporelle d’un Circuit RC
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