Superposition dans les Réseaux Mixtes DC et AC

Superposition dans les Réseaux Mixtes DC et AC

Comprendre la Superposition dans les Réseaux Mixtes DC et AC

Dans un réseau électrique industriel, un technicien cherche à analyser les effets de différentes sources de tension sur un circuit complexe qui inclut à la fois des sources en courant continu et des sources en courant alternatif sinusoïdal.

Pour cela, il utilise le théorème de superposition pour simplifier le problème et mieux comprendre comment chaque source influence le circuit globalement.

Pour comprendre le Dimensionnement de Câbles pour un Réseau, cliquez sur le lien.

Données:

Le circuit considéré comprend les éléments suivants:

  • Une source de tension continue \( V_{dc} = 12 \, \text{V} \)
  • Une source de tension alternative sinusoïdale \( V_{ac} = 10\sin(120\pi t) \, \text{V} \) (où \( t \) est le temps en secondes)
  • Trois résistances: \( R_1 = 100 \, \Omega \), \( R_2 = 200 \, \Omega \), \( R_3 = 150 \, \Omega \)
  • Les résistances \( R_1 \) et \( R_2 \) sont en série avec la source de tension continue
  • La résistance \( R_3 \) est en série avec la source de tension alternative

Questions:

1. Analyse avec Source de Tension Continue Seule:

  • Calculez le courant circulant dans \( R_1 \) et \( R_2 \) lorsque seule la source de tension continue \( V_{dc} \) est active.

2. Analyse avec Source de Tension Alternative Seule:

  • Déterminez l’amplitude du courant alternatif sinusoïdal passant par \( R_3 \) lorsque seule la source de tension alternative \( V_{ac} \) est active.

3. Superposition des Effets:

  • En utilisant le théorème de superposition, combinez les effets des deux sources pour déterminer le courant total dans chaque résistance à un instant \( t \) quelconque.
  • Quel est l’impact de la superposition sur le courant total dans le circuit à \( t = 0 \, s \) et \( t = \frac{1}{240} \, s \) (un quart de période plus tard)?

Correction : Superposition dans les Réseaux Mixtes DC et AC

1. Analyse avec Source de Tension Continue Seule:

Quand seule la source de tension continue \( V_{dc} = 12 \, \text{V} \) est active, les résistances \( R_1 \) et \( R_2 \) sont les seules concernées. Elles sont en série, donc leur résistance totale est la somme de leurs résistances individuelles :

\[ R_{total} = R_1 + R_2 \] \[ R_{total} = 100 \, \Omega + 200 \, \Omega \] \[ R_{total} = 300 \, \Omega \]

En utilisant la loi d’Ohm \( I = \frac{V}{R} \), le courant dans le circuit peut être calculé comme suit :

\[ I_{dc} = \frac{V_{dc}}{R_{total}} \] \[ I_{dc} = \frac{12 \, \text{V}}{300 \, \Omega} \] \[ I_{dc} = 0.04 \, \text{A} \]

Ce courant est constant et traverse les résistances \( R_1 \) et \( R_2 \). Aucun courant alternatif n’est présent car la source alternative est désactivée.

2. Analyse avec Source de Tension Alternative Seule:

En désactivant la source continue et en activant uniquement la source de tension alternative \( V_{ac} = 10\sin(120\pi t) \, \text{V} \), seule \( R_3 \) est concernée. Le courant alternatif \( I_{ac} \) à travers \( R_3 \) est donné par :

\[ I_{ac} = \frac{V_{ac}}{R_3} = \frac{10\sin(120\pi t) \, \text{V}}{150 \, \Omega} \] \[ I_{ac} = \frac{10}{150} \sin(120\pi t) \, \text{A} \] \[ I_{ac} = 0.067 \sin(120\pi t) \, \text{A} \]

L’amplitude du courant alternatif est donc de \( 0.067 \, \text{A} \).

3. Superposition des Effets:

Pour combiner les effets des deux sources grâce au théorème de superposition, nous considérons le courant total à travers chaque composant pour un instant \( t \) donné.

  • Pour \( R_1 \) et \( R_2 \): Le courant est exclusivement dû à la source continue :

\[ I_{total, R1/R2} = I_{dc} = 0.04 \, \text{A} \]

  • Pour \( R_3 \): Le courant est uniquement alternatif :

\[ I_{total, R3} = I_{ac} = 0.067 \sin(120\pi t) \, \text{A} \]

Pour \( t = 0 \, s \), où \( \sin(120\pi \cdot 0) = 0 \) :

\[ I_{total, R3} = 0.067 \cdot 0 = 0 \, \text{A} \]

À \( t = \frac{1}{240} \, s \) (un quart de période de la source de tension alternative, donc \( \sin(120\pi \cdot \frac{1}{240}) = 1 \)) :

\[ I_{total, R3} = 0.067 \cdot 1 = 0.067 \, \text{A} \]

Ainsi, le courant dans \( R_3 \) atteint son amplitude maximale de \( 0.067 \, \text{A} \) à \( t = \frac{1}{240} \, s \).

Cette analyse montre clairement comment le théorème de superposition nous permet de traiter séparément les effets de sources de tension différentes dans un même circuit, en simplifiant considérablement l’analyse de circuits complexes comportant plusieurs types de sources.

Superposition dans les Réseaux Mixtes DC et AC

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