Système du second ordre et diagramme de Bode
Comprendre le Système du second ordre et diagramme de Bode
Vous êtes ingénieur en systèmes de contrôle et devez analyser le comportement fréquentiel d’un système du second ordre dont la fonction de transfert \(H(s)\) est donnée par :
\[ H(s) = \frac{25}{s^2 + 10s + 25} \]
Objectifs:
1. Déterminer les caractéristiques du système :
- Calculer la fréquence naturelle non amortie (\(\omega_n\)) et le coefficient d’amortissement (\(\zeta\)).
2. Analyser la stabilité du système :
- Déduire la stabilité du système à partir des paramètres obtenus.
3. Tracer le diagramme de Bode :
- Calculer le gain en décibels (dB) et la phase en degrés pour les fréquences \(\omega = 0.1, 1, 10, 100\) rad/s.
- Esquisser le diagramme de Bode (gain et phase) à partir des valeurs calculées.
Correction : Système du second ordre et diagramme de Bode
1. Caractéristiques du système
La fréquence naturelle non amortie (\(\omega_n\)) est calculée comme la racine carrée du coefficient de \(s^0\) dans le dénominateur de la fonction de transfert.
Pour notre cas,
\[ \omega_n = \sqrt{25} = 5\, \text{rad/s} \]
Le coefficient d’amortissement (\(\zeta\)) est obtenu à partir du coefficient de \(s^1\) dans le dénominateur, divisé par \(2\omega_n\).
Donc,
\[ \zeta = \frac{10}{2 \times 5} = 1 \]
2. Analyse de la stabilité
Avec un coefficient d’amortissement \(\zeta = 1\), le système est critique, indiquant que le système est à la limite de la stabilité et n’oscillera pas. Il retournera à sa position d’équilibre sans oscillation.
3. Diagramme de Bode
Le diagramme de Bode représente graphiquement le gain en dB et la phase en degrés en fonction de la fréquence. Il est utilisé pour analyser la réponse fréquentielle d’un système de contrôle.
Calcul le gain en décibels (dB) et la phase en degrés pour les fréquences (\(\omega = 0.1, 1, 10, 100\) rad/s)
Formules de Calcul:
La formule pour calculer le gain en décibels (dB) pour une fréquence spécifique \(\omega\) est donnée par :
\[ \text{Gain(dB)} = 20 \log_{10} |H(j\omega)| \]
où \(H(j\omega)\) est la fonction de transfert du système évaluée à \(j\omega\).
La phase en degrés peut être déterminée par la formule :
\[ = \arg(H(j\omega)) \times \frac{180}{\pi} \]
où \(\arg(H(j\omega))\) est l’argument (ou l’angle de phase) de la fonction de transfert \(H(j\omega)\).
Les résultats finaux pour le calcul du gain en décibels (dB) et de la phase en degrés pour les fréquences données (\(\omega = 0.1, 1, 10, 100\) rad/s) sont présentés dans le tableau suivant :
Tableau des Résultats du Gain et de la Phase
| Fréquence (rad/s) | Gain (dB) | Phase (degrés) |
|---|---|---|
| 0.1 | -0.0035 | -2.29 |
| 1 | -0.341 | -22.62 |
| 10 | -13.98 | -126.87 |
| 100 | -52.06 | -174.28 |
Diagramme de Bode (gain et phase) à partir des valeurs calculées:
Système du second ordre et diagramme de Bode
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