Théorème de Gauss pour une Sphère Chargée
Comprendre le Théorème de Gauss pour une Sphère Chargée
Considérez une sphère de rayon \(R\) qui porte une charge totale \(Q\) répartie uniformément sur sa surface. On vous demande de calculer le champ électrique à une distance \(r\) de son centre dans deux cas distincts :
1. Pour un point situé à l’extérieur de la sphère (\(r > R\)).
2. Pour un point situé à l’intérieur de la sphère (\(r < R\)).
Données:
- \(Q = 8.0 \times 10^{-6}\) coulombs (la charge totale de la sphère)
- \(R = 0.1\) mètres (le rayon de la sphère)
- \(\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\) farad/mètre (la permittivité du vide)
Théorème de Gauss
Le théorème de Gauss stipule que le flux électrique à travers une surface fermée est égal à la charge enfermée divisée par la permittivité du vide:
\[ \Phi_E = \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0} \]
Correction : Théorème de Gauss pour une Sphère Chargée
1. Champ Électrique à l’Extérieur de la Sphère (\(r > R\))
Surface Gaussienne :
Choisir une sphère concentrique de rayon \(r\) où \(r > R\).
Application du Théorème de Gauss :
Le flux électrique $\Phi_E$ à travers cette surface est donné par:
\[ \Phi_E = E \cdot 4\pi r^2 \]
où \(E\) est la magnitude du champ électrique, et la charge totale enfermée est \(Q\).
En appliquant le théorème de Gauss, on obtient :
\[ E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0} \]
Résolution pour \(E\) :
\[ E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2} \]
Substituons les valeurs :
\[ E = \frac{8.0 \times 10^{-6}}{4\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times r^2} \]
Calculons maintenant le champ électrique pour \(r = 0.2\) m :
\[ E = \frac{8.0 \times 10^{-6}}{4\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times (0.2)^2} \] \[ E = \frac{8.0 \times 10^{-6}}{4 \times 3.14159 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.04} \] \[ E = 1798362.46 \, \text{N/C} \]
2. Champ Électrique à l’Intérieur de la Sphère (\(r < R\))
Surface Gaussienne :
Choisir une sphère concentrique de rayon \(r\) où \(r < R\).
Application du Théorème de Gauss :
Dans ce cas, la charge enfermée \(Q_{\text{enc}}\) est zéro car toute la charge est sur la surface de la sphère.
\[ \Phi_E = E \cdot 4\pi r^2 = 0 \]
Résolution pour \(E\) :
\[ E = 0 \, \text{N/C} \]
Conclusion
- Le champ électrique à l’extérieur de la sphère pour \(r = 0.2\) m est environ \( 1798362.46 \, \text{N/C} \).
- Le champ électrique à l’intérieur de la sphère est de \(0 \, \text{N/C}\) pour tout \(r < R\).
Théorème de Gauss pour une Sphère Chargée
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