Théorème de Norton dans un Circuit d’Éclairage

Comprendre le Théorème de Norton dans un Circuit d’Éclairage

Vous êtes en train de concevoir un système d’éclairage pour un petit jardin. Vous avez décidé d’utiliser une configuration spécifique de résistances et d’une source de tension pour alimenter une LED.

Avant de finaliser le design, vous souhaitez déterminer le courant qui traversera cette LED en utilisant l’équivalent de Norton du circuit qui l’alimente.

Données du Circuit:

Le circuit en question se compose d’une source de tension de \(V_s = 12\,V\), une résistance \(R_1 = 600\,\Omega\), une résistance \(R_2 = 300\,\Omega\), et une résistance \(R_3 = 200\,\Omega\).

Les résistances \(R_1\) et \(R_2\) sont en parallèle entre elles, et cette combinaison est en série avec \(R_3\). La LED, considérée comme une résistance \(R_{LED} = 150\,\Omega\), est connectée en parallèle avec \(R_3\).

L’objectif est de trouver le courant traversant \(R_{LED}\) en utilisant l’équivalent de Norton du circuit excluant \(R_{LED}\).

Questions:

1. Calculer la résistance équivalente Norton (\(R_N\)) de tout le circuit sauf \(R_{LED}\). Cela implique de combiner \(R_1\) et \(R_2\) en parallèle, puis d’ajouter \(R_3\) en série.

2. Déterminer le courant de court-circuit Norton (\(I_N\)), qui est le courant traversant \(R_{LED}\) lorsque \(R_{LED}\) est remplacée par un court-circuit. Cela équivaut au courant traversant \(R_3\) dans la configuration originale du circuit.

3. Calculer le courant traversant \(R_{LED}\) en utilisant l’équivalent de Norton trouvé. Cela nécessite d’ajouter \(R_{LED}\) en parallèle avec \(R_N\) et d’appliquer la loi des mailles pour trouver le courant final.

Correction : Théorème de Norton dans un Circuit d’Éclairage

1. Calcul de la résistance équivalente Norton (\(R_N\))

Calculer la résistance équivalente de \(R_1\) et \(R_2\) en parallèle :

\[ R_{\text{parallel}} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} \] \[ R_{\text{parallel}} = \frac{600 \times 300}{600 + 300} \] \[ R_{\text{parallel}} = 200 \, \Omega \]

Ajouter \(R_3\) en série pour obtenir \(R_N\) :

\[ R_N = R_{\text{parallel}} + R_3 \] \[ R_N = 200 + 200 \] \[ R_N = 400 \, \Omega \]

2. Calcul du courant de court-circuit Norton (\(I_N\))

Le courant de court-circuit \(I_N\) est le courant traversant \(R_3\) (ou ce qui serait le courant à travers \(R_{\text{LED}}\) si elle était en court-circuit), calculé en considérant \(R_N\) en série avec la source :

\[ I_N = \frac{V_s}{R_N} \] \[ I_N = \frac{12}{400} \] \[ I_N = 0.03 \, A = 30 \, mA \]

3. Calcul du courant traversant \(R_{\text{LED}}\) avec l’équivalent de Norton

Pour trouver \(I_{\text{LED}}\), nous devons d’abord trouver la résistance totale du circuit incluant \(R_{\text{LED}}\) en parallèle avec \(R_N\) :

La résistance totale (\(R_{\text{total}}\)) est calculée en utilisant \(R_N\) et \(R_{\text{LED}}\) en parallèle :

\[ R_{\text{total}} = \frac{R_N \times R_{\text{LED}}}{R_N + R_{\text{LED}}} \] \[ R_{\text{total}} = \frac{400 \times 150}{400 + 150} \] \[ R_{\text{total}} = 109.09 \, \Omega \]

Ensuite, calculons \(I_{\text{LED}}\) en utilisant \(R_{\text{total}}\) et \(V_s\) :

\[ I_{\text{LED}} = \frac{V_s}{R_{\text{total}}} \] \[ I_{\text{LED}} = \frac{12}{109.09} \] \[ I_{\text{LED}} = 0.11 \, A = 110 \, mA \]

Résultat Final

Le courant traversant la LED (\(I_{\text{LED}}\)) est de 0.11 A, ou 110 mA. Ceci est le résultat de l’application de l’équivalent de Norton pour simplifier l’analyse du circuit et calculer le courant à travers un composant spécifique du circuit.

Théorème de Norton dans un Circuit d’Éclairage

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