Transformée de Fourier d’un Signal Rectangulaire
Comprendre la Transformée de Fourier d’un Signal Rectangulaire
Considérons un signal rectangulaire x(t) défini par:
\[ x(t) = \begin{cases} A & \text{pour } |t| \leq \frac{T}{2} \\ 0 & \text{autrement}
\end{cases} \]
où A est l’amplitude du signal et \(T\) est la largeur du pulse.
Questions :
1. Représentation du Signal : Esquissez le signal dans le domaine temporel.
2. Expression de la Transformée de Fourier
3. Calcul de : Utilisez l’expression de la Transformée de Fourier pour calculer pour le signal donné.
4. Interprétation du Résultat : Une fois calculée, discutez de la forme de la TF et de ce que cela implique pour le contenu fréquentiel du signal .
Correction : Transformée de Fourier d’un Signal Rectangulaire
1. Représentation du Signal dans le Domaine Temporel
2. Expression de la Transformée de Fourier
La transformée de Fourier d’un signal \( \texttt{x(t)}\) est définie par :
\[X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\, e^{-j2\pi ft}\, dt.\]
Pour notre signal rectangulaire, puisque \( \texttt{x(t)}\) = 0 pour \(\|t| > \frac{T}{2}\) , l’intégrale se réduit à :
\[X(f) = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} A_0\, e^{-j2\pi ft}\, dt.\]
3. Calcul de \(\texttt{X(f)}\)
On a :
\[X(f) = A_0 \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{-j2\pi ft}\, dt.\]
- Pour intégrer \(e^{-j2\pi ft}\), on utilise la primitive :
\[\int e^{-j2\pi ft}\, dt = \frac{e^{-j2\pi ft}}{-j2\pi f}.\]
- On évalue ensuite l’intégrale aux bornes \(t = -\frac{T}{2}\) et \(t = \frac{T}{2}\) :
\[X(f) = A_0 \left[ \frac{e^{-j2\pi ft}}{-j2\pi f} \right]_{t=-\frac{T}{2}}^{t=\frac{T}{2}}\]
\[= A_0 \left(\frac{e^{-j2\pi f \frac{T}{2}} – e^{j2\pi f \frac{T}{2}}}{-j2\pi f}\right).\]
On reconnaît que :
\[e^{-j\theta} – e^{j\theta} = -2j\,\sin \theta,\]
avec \(\theta = \pi f T\) (puisque \(2\pi f \frac{T}{2} = \pi f T\)).
- Ainsi, on obtient :
\[X(f) = A_0 \left(\frac{-2j\, \sin(\pi f T)}{-j2\pi f}\right).\]
Les termes \(-2j\) au numérateur et \(-j2\pi f\) au dénominateur se simplifient :
\[X(f) = A_0 \cdot \frac{2j\,\sin(\pi f T)}{2j\pi f}\]
\[ A_0 = \cdot \frac{\sin(\pi f T)}{\pi f}.\]
La transformée de Fourier du signal rectangulaire est donc :
\[X(f) = A_0\, \frac{\sin(\pi f T)}{\pi f}.\]
4. Interprétation du Résultat
a) La Forme de la Transformée
La fonction \(\texttt{X(f)}\) obtenue est de la forme d’une fonction sinc (sinus cardinal) :
- Maximum central : Pour \(f=0\), en prenant la limite \(\displaystyle \lim_{f\to 0} \frac{\sin(\pi f T)}{\pi f} = T\), on trouve \(X(0)= A_0\,T\).
- Nuls successifs : \(\texttt{X(f)}\) s’annule pour \(\pi f T = n\pi\) avec \(n\) entier non nul, c’est-à-dire lorsque \(f = \frac{n}{T}\), \(n \neq 0\).
- Lobes secondaires : La fonction présente un lobe principal autour de \(f=0\) et plusieurs lobes secondaires dont l’amplitude décroît en s’éloignant du centre.
b) Implications pour le Contenu Fréquentiel
- Largeur de bande : Le signal rectangulaire en temps correspond à une distribution en fréquence qui s’étend théoriquement sur tout l’axe fréquentiel, avec un lobe principal de largeur proportionnelle à \(1/T\).
- Concentration d’énergie : La majeure partie de l’énergie du signal se trouve dans le lobe principal autour de \(f=0\). Les lobes secondaires indiquent que le signal contient également des composantes à des fréquences plus élevées, mais leur amplitude décroît.
- Effet de la largeur temporelle : Une impulsion de durée \(T\) (plus \(T\) est grand) aura un spectre plus étroit (plus concentré autour de \(f=0\)) car \(1/T\) diminue. À l’inverse, un signal de courte durée présente un spectre plus étendu.
Cette relation est un exemple classique du compromis temps-fréquence, illustrant que la localisation dans le domaine temporel a pour conséquence une dispersion dans le domaine fréquentiel.
Transformée de Fourier d’un Signal Rectangulaire
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