Transformée de Fourier d’un Signal Rectangulaire

Comprendre la Transformée de Fourier d’un Signal Rectangulaire

Considérons un signal rectangulaire x(t) défini par:

\[ x(t) = \begin{cases} A & \text{pour } |t| \leq \frac{T}{2} \\ 0 & \text{autrement}
\end{cases} \]

où A est l’amplitude du signal et \(T\) est la largeur du pulse.

Questions :

1. Représentation du Signal : Esquissez le signal $x(t)$ dans le domaine temporel.

2. Expression de la Transformée de Fourier

3. Calcul de $X(f)$ : Utilisez l’expression de la Transformée de Fourier pour calculer $X(f)$ pour le signal x(t) donné.

4. Interprétation du Résultat : Une fois X(f) calculée, discutez de la forme de la TF et de ce que cela implique pour le contenu fréquentiel du signal $x(t)$.

Correction : Transformée de Fourier d’un Signal Rectangulaire

1. Représentation du Signal dans le Domaine Temporel

2. Expression de la Transformée de Fourier

La Transformée de Fourier d’un signal \(x(t)\) est donnée par l’intégrale :

\[ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} \, dt \]

3. Calcul de \(X(f)\) pour le Signal Donné

Pour le signal rectangulaire, l’intégrale se simplifie car \(x(t)=0\) en dehors de \(-\frac{T}{2} \leq t \leq \frac{T}{2}\). Ainsi, l’intégrale devient :

\[ X(f) = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} A e^{-j2\pi ft} \, dt \]

Calculons cette intégrale :

\[ X(f) = A \left[ \frac{e^{-j2\pi ft}}{-j2\pi f} \right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \] \[ X(f) = A \left( \frac{e^{-j\pi fT} – e^{j\pi fT}}{-j2\pi f} \right) \]

Utilisant l’identité \(e^{-j\theta} – e^{j\theta} = -2j \sin(\theta)\), on obtient :

\[ X(f) = A \left( \frac{2\sin(\pi fT)}{2\pi f} \right) \] \[ X(f) = \frac{A T \sin(\pi fT)}{\pi fT} \]

Sachant que \(\text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}\), on a :

\[ X(f) = A T \text{sinc}(fT) \]

4. Interprétation du Résultat

La Transformée de Fourier du signal rectangulaire est une fonction sinus cardinal (\textit{sinc}), qui est centrée à f = 0 et dont les zéros se situent à des multiples entiers de 1/T.

Ce résultat montre que le signal rectangulaire contient des composantes fréquentielles s’étendant au-delà de la fréquence nulle, mais avec une amplitude qui décroît avec la fréquence.

La largeur de la fonction \(\textit{sinc}\) est inversement proportionnelle à la largeur T du signal dans le temps, illustrant le principe d’incertitude temps-fréquence : un signal temporellement court a une large bande de fréquences, et vice versa.

Transformée de Fourier d’un Signal Rectangulaire

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