Calcul du potentiel électrique au centre d’un carré
Comprendre le Calcul du potentiel électrique au centre d’un carré
Vous êtes physicien dans un laboratoire qui étudie les champs électriques produits par différentes configurations de charges.
Une configuration particulière consiste à placer quatre charges de signe alterné aux coins d’un carré pour étudier la superposition des champs électriques.
Objectif:
Calculer le potentiel électrique au centre d’un carré formé par quatre charges ponctuelles.
Pour comprendre le Champ et Potentiel Électriques pour une Charge, cliquez sur le lien.
Données:
- Quatre charges ponctuelles _(q_1, q_2, q_3, q_4\) sont placées aux coins d’un carré de côté \(a\).
- \(q_1 = +Q\) et \(q_3 = +Q\)
- \(q_2 = -Q\) et \(q_4 = -Q\)
- Charges \(q_1\) et \(q_3\) (positives) sont aux coins opposés, idem pour \(q_2\) et \(q_4\) (négatives).
- Constante de Coulomb \(k = 8.987 \times 10^9 \, \mathrm{N\cdot m^2/C^2}\)
- Valeur de \(Q = 1.5 \times 10^{-6} \, \mathrm{C}\)
- Longueur du côté du carré \(a = 0.5 \, \mathrm{m}\).
Questions :
1. Calculez la distance entre chaque charge et le centre du carré.
2. Déterminez le potentiel électrique au centre du carré dû à chaque charge.
3. Calculez le potentiel électrique total au centre du carré.
Correction : Calcul du potentiel électrique au centre d’un carré
1. Calcul de la distance entre les charges et le centre du carré
Pour trouver la distance du centre du carré à chacun de ses coins, nous appliquons le théorème de Pythagore dans un triangle isocèle dont les côtés adjacents sont égaux à la moitié de la longueur du côté du carré, soit \(\frac{a}{2}\).
La distance \(r\) est donnée par :
\[ r = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \] \[ r = \sqrt{2 \left(\frac{a}{2}\right)^2} \] \[ r = \frac{a}{\sqrt{2}} \]
En substituant\(a = 0.5 \, \text{m}\) :
\[ r = \frac{0.5 \, \text{m}}{\sqrt{2}} \] \[ r \approx 0.354 \, \text{m} \]
2. Calcul du potentiel électrique au centre du carré dû à chaque charge
Le potentiel électrique \(V\) dû à une charge \(q\) est :
\[ V = \frac{k \cdot q}{r} \]
En substituant les valeurs données :
- \(k = 8.987 \times 10^9 \, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2\)
- \(Q = 1.5 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
- \(r \approx 0.354 \, \text{m}\)
Pour les charges \(+Q\) :
\[ V_+ = \frac{8.987 \times 10^9 \times 1.5 \times 10^{-6}}{0.354} \] \[ V_+ \approx 38,118 \, \text{V} \]
Pour les charges \(-Q\) :
\[ V_- = \frac{8.987 \times 10^9 \times (-1.5 \times 10^{-6})}{0.354} \] \[ V_- \approx -38,118 \, \text{V} \]
3. Calcul du potentiel électrique total au centre du carré
Le potentiel total \(V_{\text{total}}\) au centre du carré est la somme algébrique des potentiels dus à chaque charge, compte tenu de leurs signes respectifs :
\[ V_{\text{total}} = V_+ + V_- + V_+ + V_- \] \[ V_{\text{total}} = 38,118 \, \text{V} – 38,118 \, \text{V} + 38,118 \, \text{V} – 38,118 \, \text{V} \] \[ V_{\text{total}} = 0 \, \text{V} \]
Conclusion :
Le potentiel électrique au centre du carré est de \(0 \, \text{V}\), ce qui signifie que les effets des charges positives et négatives s’annulent précisément à ce point en raison de leur symétrie et de leur égalité en magnitude mais en signe opposé.
Calcul du potentiel électrique au centre d’un carré
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