Analyse Circuit par le Théorème de Superposition

Comprendre l'Analyse d’un Circuit par le Théorème de Superposition

Vous êtes l'ingénieur électricien d'un projet passionnant : l'illumination d'une magnifique serre botanique, conçue pour recréer des écosystèmes tropicaux luxuriants. L'éclairage doit être parfait pour la croissance des plantes, mais aussi pour offrir une expérience visuelle époustouflante aux visiteurs, avec des jeux de lumière subtils et des ambiances changeantes.

Dans ce système complexe, plusieurs sources d'énergie alimentent différents groupes de lampes et de capteurs. Pour optimiser la consommation et garantir la stabilité de l'éclairage dans une section particulière de la serre, vous devez analyser précisément comment le courant circule à travers un ensemble spécifique de lampes (représentées ici par des résistances) lorsque deux sources de tension fonctionnent simultanément. Le Théorème de Superposition est l'outil idéal pour démêler cette complexité.

Votre mission, si vous l'acceptez, est d'utiliser ce théorème pour déterminer le courant exact qui traverse la lampe principale de cette section (la résistance \(R_3\)).

Description du Circuit d'Éclairage

Pour les besoins de l'analyse, la section du circuit qui nous intéresse peut être simplifiée comme follows :

Trois "lampes" (résistances) avec les valeurs suivantes : \(R_1 = 100\Omega\), \(R_2 = 200\Omega\), et \(R_3 = 300\Omega\).
Deux "alimentations" (sources de tension) : \(V_1 = 12\text{V}\) (peut-être pour l'éclairage général) et \(V_2 = 24\text{V}\) (pour un éclairage d'appoint ou spécifique).
La lampe \(R_1\) et une partie de la lampe \(R_2\) sont alimentées en série par \(V_1\).
La lampe \(R_3\) est branchée en parallèle avec une autre partie de \(R_2\), et cet ensemble est alimenté par \(V_2\).

Voici une représentation schématique de cette section du circuit :

Schéma du Circuit Électrique

Questions

En utilisant le Théorème de Superposition, répondez aux questions suivantes pour percer les secrets de ce circuit d'éclairage :

Analyse avec \(V_1\) Seule : Imaginez que seule l'alimentation \(V_1\) fonctionne (la source \(V_2\) est momentanément "éteinte", représentée par un simple fil). Calculez la part du courant qui traverse chaque "lampe" (\(I_{1(V1)}\), \(I_{2(V1)}\), \(I_{3(V1)}\)) dans cette configuration simplifiée.
Analyse avec \(V_2\) Seule : Maintenant, inversez la situation. Seule l'alimentation \(V_2\) fonctionne (la source \(V_1\) est "éteinte", remplacée par un fil). Calculez la part du courant qui traverse chaque "lampe" (\(I_{1(V2)}\), \(I_{2(V2)}\), \(I_{3(V2)}\)) dans ce nouveau scénario.
Superposition : En combinant les effets de chaque alimentation séparément, déterminez le courant total \(I_3\) qui traverse la lampe principale \(R_3\) lorsque les deux sources \(V_1\) et \(V_2\) fonctionnent ensemble dans le circuit original. N'oubliez pas de prendre en compte le sens du courant !

Correction : Analyse d’un Circuit par le Théorème de Superposition

Question 1 : Analyse avec \(V_1\) Seule.

Pour appliquer le Théorème de Superposition, on analyse l'effet de chaque source de tension indépendamment. Dans cette première étape, on fait comme si seule la source \(V_1\) était présente dans le circuit. La source \(V_2\) est "éteinte", ce qui signifie qu'on la remplace par un court-circuit (un simple fil, car une source de tension idéale éteinte a une tension nulle entre ses bornes).

Avec \(V_2\) court-circuitée, le circuit change de configuration. La résistance \(R_1\) est maintenant en série avec un bloc composé de \(R_2\) et \(R_3\) qui sont branchées en parallèle l'une à côté de l'autre.

Calcul de la résistance équivalente de \(R_2\) en parallèle avec \(R_3\) (\(R_{23}\)) :

Quand deux résistances sont en parallèle, leur résistance totale (équivalente) est calculée avec la formule suivante :

\[ R_{23} = \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3} \] \[ R_{23} = \frac{200\Omega \times 300\Omega}{200\Omega + 300\Omega} \] \[ R_{23} = \frac{60000\Omega^2}{500\Omega} \] \[ R_{23} = 120\Omega \]

Calcul du courant total fourni par \(V_1\) (\(I_{total(V1)}\)), qui traverse \(R_1\) :

Maintenant que nous avons simplifié la partie parallèle en une seule résistance équivalente (\(R_{23}\)), le circuit vu par \(V_1\) est simplement \(R_1\) en série avec \(R_{23}\). La résistance totale dans ce chemin est la somme de \(R_1\) et \(R_{23}\). On utilise la Loi d'Ohm (\(V = R \times I\), donc \(I = V / R\)) pour trouver le courant total sortant de \(V_1\). Ce courant passe entièrement par \(R_1\).

\[ I_{total(V1)} = I_{1(V1)} = \frac{V_1}{R_1 + R_{23}} \] \[ I_{1(V1)} = \frac{12\text{V}}{100\Omega + 120\Omega} \] \[ I_{1(V1)} = \frac{12\text{V}}{220\Omega} \] \[ I_{1(V1)} \approx 0.0545\text{ A} \]

Utilisation de la loi du diviseur de courant pour trouver \(I_{2(V1)}\) et \(I_{3(V1)}\) :

Le courant total \(I_{total(V1)}\) arrive au point où \(R_2\) et \(R_3\) sont en parallèle. À ce nœud, le courant se divise entre les deux branches. La loi du diviseur de courant nous permet de calculer la part du courant qui passe dans chaque branche parallèle. Pour trouver le courant \(I_{3(V1)}\) qui traverse \(R_3\), on utilise la formule du diviseur de courant qui fait intervenir la résistance de l'AUTRE branche (\(R_2\)).

\[ I_{3(V1)} = I_{total(V1)} \times \frac{R_2}{R_2 + R_3} \] \[ I_{3(V1)} = 0.0545\text{ A} \times \frac{200\Omega}{200\Omega + 300\Omega} \] \[ I_{3(V1)} = 0.0545\text{ A} \times \frac{200\Omega}{500\Omega} \] \[ I_{3(V1)} = 0.0545\text{ A} \times 0.4 \] \[ I_{3(V1)} \approx 0.0218\text{ A} \]

Le courant \(I_{2(V1)}\) qui traverse \(R_2\) est simplement ce qui reste du courant total après que \(I_{3(V1)}\) soit passé par \(R_3\).

\[ I_{2(V1)} = I_{total(V1)} - I_{3(V1)} \] \[ I_{2(V1)} = 0.0545\text{ A} - 0.0218\text{ A} \] \[ I_{2(V1)} \approx 0.0327\text{ A} \]

Résultats pour \(V_1\) seule :

Le courant à travers \(R_1\) est d'environ \(0.0545\text{ A}\).
Le courant à travers \(R_2\) est d'environ \(0.0327\text{ A}\).
Le courant à travers \(R_3\) (dû à \(V_1\) seule) est d'environ \(0.0218\text{ A}\).

Question 2 : Analyse avec \(V_2\) Seule.

Maintenant, on applique le Théorème de Superposition en considérant seule la source \(V_2\). La source \(V_1\) est "éteinte", ce qui signifie qu'on la remplace par un court-circuit (un fil).

Avec \(V_1\) court-circuitée, le circuit change encore de configuration. La source \(V_2\) est maintenant connectée à la résistance \(R_3\). En parallèle avec \(R_3\), on trouve la branche qui contient \(R_1\) et \(R_2\) en série.

Calcul de la résistance équivalente de \(R_1\) en série avec \(R_2\) (\(R_{12}\)) :

Quand deux résistances sont en série, leur résistance totale est simplement la somme de leurs valeurs.

\[ R_{12} = R_1 + R_2 \] \[ R_{12} = 100\Omega + 200\Omega \] \[ R_{12} = 300\Omega \]

Calcul du courant total fourni par \(V_2\) (\(I_{total(V2)}\)) :

La source \(V_2\) est connectée à deux branches en parallèle : la résistance \(R_3\) d'un côté, et la combinaison série \(R_{12}\) de l'autre. La résistance totale vue par \(V_2\) est l'équivalent de \(R_3\) en parallèle avec \(R_{12}\).

\[ I_{total(V2)} = \frac{V_2}{R_3 + \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}} \quad \text{(Non, ce n'est pas la bonne approche ici)} \] \[ \text{La source } V_2 \text{ voit } R_3 \text{ en parallèle avec } R_{12} \] \[ I_{total(V2)} = \frac{V_2}{R_{eq(V2)}} \]

Où \(R_{eq(V2)}\) est la résistance équivalente vue par \(V_2\), c'est-à-dire \(R_3\) en parallèle avec \(R_{12}\) :

\[ R_{eq(V2)} = \frac{R_3 \times R_{12}}{R_3 + R_{12}} \] \[ R_{eq(V2)} = \frac{300\Omega \times 300\Omega}{300\Omega + 300\Omega} \] \[ R_{eq(V2)} = \frac{90000\Omega^2}{600\Omega} \] \[ R_{eq(V2)} = 150\Omega \]

Maintenant, on utilise la Loi d'Ohm pour trouver le courant total sortant de \(V_2\).

\[ I_{total(V2)} = \frac{24\text{V}}{150\Omega} \] \[ I_{total(V2)} = 0.16\text{ A} \]

Ce courant total \(I_{total(V2)}\) se sépare au nœud supérieur de \(R_3\), une partie allant dans \(R_3\) et l'autre dans la branche \(R_1-R_2\).

Calcul du courant à travers \(R_3\) dû à \(V_2\) (\(I_{3(V2)}\)) :

Comme \(R_3\) est directement connectée en parallèle avec la source de tension \(V_2\) dans cette configuration simplifiée, la tension aux bornes de \(R_3\) est simplement \(V_2\). On peut donc utiliser la Loi d'Ohm directement sur \(R_3\) pour trouver le courant qui la traverse.

\[ I_{3(V2)} = \frac{V_2}{R_3} \] \[ I_{3(V2)} = \frac{24\text{V}}{300\Omega} \] \[ I_{3(V2)} = 0.08\text{ A} \]

Calcul du courant à travers \(R_1\) et \(R_2\) dû à \(V_2\) (\(I_{1(V2)}\) et \(I_{2(V2)}\)) :

Le courant qui traverse la branche série \(R_1-R_2\) est le reste du courant total \(I_{total(V2)}\) après que \(I_{3(V2)}\) soit passé par \(R_3\). Puisque \(R_1\) et \(R_2\) sont en série dans cette branche, le même courant les traverse. On peut aussi le calculer en utilisant la Loi d'Ohm pour la branche \(R_{12}\) avec la tension \(V_2\) (car la branche \(R_{12}\) est en parallèle avec \(V_2\)).

\[ I_{1(V2)} = I_{2(V2)} = \frac{V_2}{R_1 + R_2} \] \[ I_{1(V2)} = I_{2(V2)} = \frac{24\text{V}}{100\Omega + 200\Omega} \] \[ I_{1(V2)} = I_{2(V2)} = \frac{24\text{V}}{300\Omega} \] \[ I_{1(V2)} = I_{2(V2)} = 0.08\text{ A} \]

On peut vérifier que le courant total sortant de \(V_2\) (\(0.16\text{ A}\)) se divise correctement : \(I_{3(V2)}\) (\(0.08\text{ A}\)) plus le courant dans la branche \(R_1-R_2\) (\(0.08\text{ A}\)) est bien égal à \(0.16\text{ A}\).

Notez que le sens du courant \(I_{1(V2)}\) et \(I_{2(V2)}\) est descendant (du haut vers le bas) dans la branche R1-R2, tandis que le sens du courant \(I_{3(V1)}\) était également descendant dans R3. Le sens du courant \(I_{3(V2)}\) est également descendant dans R3.

Résultats pour \(V_2\) seule :

Le courant à travers \(R_1\) (dû à \(V_2\) seule) est de \(0.08\text{ A}\).
Le courant à travers \(R_2\) (dû à \(V_2\) seule) est de \(0.08\text{ A}\).
Le courant à travers \(R_3\) (dû à \(V_2\) seule) est de \(0.08\text{ A}\).

Question 3 : Superposition.

Le Théorème de Superposition est comme si chaque source de tension "poussait" le courant dans le circuit indépendamment. Le courant total qui traverse une résistance quand toutes les sources sont actives est simplement la somme des courants que chaque source créerait si elle était la seule à fonctionner.

Ici, on veut trouver le courant total \(I_3\) qui traverse \(R_3\) dans le circuit original. On a calculé la partie du courant dans \(R_3\) due à \(V_1\) seule (\(I_{3(V1)}\)) et la partie du courant dans \(R_3\) due à \(V_2\) seule (\(I_{3(V2)}\)). Pour trouver le courant total \(I_3\), on additionne ces deux contributions. Il est important de faire attention au sens des courants : si les courants partiels vont dans le même sens à travers la résistance, on les additionne ; s'ils vont en sens opposé, on soustrait la plus petite valeur de la plus grande. Dans notre cas, nous avons déterminé que les deux contributions de courant dans \(R_3\) vont dans le même sens (vers le bas dans notre schéma implicite), donc on les additionne directement.
Calcul du courant total \(I_3\) à travers \(R_3\) :: On additionne les magnitudes des courants partiels calculés dans les Questions 1 et 2.; \[ I_3 = I_{3(V1)} + I_{3(V2)} \] \[ I_3 \approx 0.0218\text{ A} + 0.08\text{ A} \] \[ I_3 \approx 0.1018\text{ A} \]
Résultat :: Le courant total \(I_3\) traversant la résistance \(R_3\) dans le circuit complet est d'environ \(0.1018\text{ A}\).