Analyse d’un Circuit avec Condensateurs
Contexte : L'étude des circuits électriques à condensateursComposant électronique qui stocke de l'énergie sous forme de champ électrique. est fondamentale en électronique et en génie électrique.
Cet exercice se concentre sur l'analyse d'un circuit mixte (série et parallèle) de condensateurs alimenté par une source de tension continue. Nous étudierons le circuit en régime permanent, c'est-à-dire une fois que les condensateurs sont complètement chargés et que le courant ne circule plus. L'objectif est de déterminer les caractéristiques clés du circuit : capacité équivalente, charge, tension et énergie stockée pour chaque composant.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de maîtriser les lois d'association des condensateurs et d'appliquer la relation fondamentale liant la charge, la capacité et la tension (\(Q = C \cdot V\)).
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la capacité équivalente d'une association de condensateurs en série et en parallèle.
- Déterminer la charge et la tension aux bornes de chaque condensateur dans un circuit mixte.
- Calculer l'énergie totale stockée par un groupement de condensateurs.
Données de l'étude
Schéma du circuit électrique
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Tension d'alimentation | V | 12 V |
| Capacité 1 | C₁ | 10 µF |
| Capacité 2 | C₂ | 5 µF |
| Capacité 3 | C₃ | 15 µF |
Questions à traiter
- Calculer la capacité équivalente \(C_{\text{eq}}\) du circuit complet.
- Calculer la charge totale \(Q_{\text{tot}}\) fournie par la source de tension.
- Déterminer la tension (\(V_1, V_2, V_3\)) aux bornes de chaque condensateur.
- Déterminer la charge (\(Q_1, Q_2, Q_3\)) accumulée sur chaque condensateur.
- Calculer l'énergie totale \(E_{\text{tot}}\) stockée par l'ensemble des condensateurs.
Les bases sur les Condensateurs
Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de connaître les lois régissant les associations de condensateurs et la relation fondamentale entre charge, capacité et tension.
1. Association de condensateurs en parallèle
Lorsque des condensateurs sont branchés en parallèle, leur capacité équivalente est la somme de leurs capacités individuelles.
\[ C_{\text{eq}} = C_1 + C_2 + \dots + C_n \]
2. Association de condensateurs en série
Pour des condensateurs en série, l'inverse de la capacité équivalente est la somme des inverses de chaque capacité.
\[ \frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_n} \]
3. Relations Fondamentales
La charge \(Q\) (en Coulombs) stockée par un condensateur est proportionnelle à sa capacité \(C\) (en Farads) et à la tension \(V\) (en Volts) à ses bornes : \(Q = C \cdot V\). L'énergie \(E\) (en Joules) stockée est donnée par :
\[ E = \frac{1}{2} C \cdot V^2 = \frac{Q^2}{2C} \]
Correction : Analyse d’un Circuit avec Condensateurs
Question 1 : Calculer la capacité équivalente \(C_{\text{eq}}\) du circuit.
Principe
Pour trouver la capacité totale d'un circuit mixte, on le simplifie par étapes successives. On identifie les groupes de condensateurs en série ou en parallèle, on calcule leur équivalent, et on remplace le groupe par ce condensateur unique. On répète le processus jusqu'à obtenir un seul condensateur équivalent pour tout le circuit.
Mini-Cours
Les condensateurs en parallèle partagent la même tension. La charge totale se répartit entre eux, ce qui fait que leur capacité totale est la somme des capacités individuelles. À l'inverse, les condensateurs en série partagent la même charge. La tension totale se répartit entre eux, ce qui mène à la formule de l'inverse de la somme des inverses.
Remarque Pédagogique
La clé est de procéder méthodiquement. Regardez toujours la partie la plus "interne" du circuit. Ici, le bloc parallèle (\(C_2, C_3\)) est clairement identifiable. Une fois que vous l'avez remplacé par son équivalent \(C_{\text{23}}\), le circuit devient une simple association en série, beaucoup plus facile à résoudre.
Normes
Il n'y a pas de norme réglementaire (comme les Eurocodes en génie civil) pour ce calcul. Il s'agit de l'application des lois fondamentales de l'électrocinétique et de l'électromagnétisme, universellement reconnues.
Formule(s)
Formule d'association en parallèle
Formule d'association en série (forme inverse)
Formule d'association en série (forme directe pour deux condensateurs)
Hypothèses
Pour ce calcul, nous faisons les hypothèses suivantes :
- Les condensateurs sont parfaits (pas de résistance de fuite).
- Les fils de connexion ont une résistance nulle.
- Le circuit est en régime permanent, ce qui signifie que les condensateurs sont complètement chargés.
Donnée(s)
Les valeurs de capacité utilisées pour ce calcul sont celles fournies dans l'énoncé de l'exercice.
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| \(C_1\) | \(10 \, \text{µF}\) |
| \(C_2\) | \(5 \, \text{µF}\) |
| \(C_3\) | \(15 \, \text{µF}\) |
Astuces
Pour deux condensateurs en série, utilisez la formule "produit sur somme" : \(C_{\text{eq}} = (C_a \cdot C_b) / (C_a + C_b)\). C'est plus rapide que de manipuler les inverses. Aussi, souvenez-vous que la capacité équivalente d'un groupe en série est toujours plus petite que la plus petite des capacités du groupe.
Schéma (Avant les calculs)
Étapes de simplification
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de \(C_{\text{23}}\)
Étape 2 : Calcul de \(C_{\text{eq}}\)
Étape 3 : Inversion du résultat
Schéma (Après les calculs)
Circuit Équivalent Final
Réflexions
Le résultat de \(6.67 \, \text{µF}\) est inférieur à la capacité de \(C_1\) (\(10 \, \text{µF}\)). C'est une excellente vérification : l'ajout d'un composant en série (ici, le bloc \(C_{\text{23}}\)) diminue toujours la capacité globale du circuit.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'inverser les formules série/parallèle des condensateurs avec celles des résistances. Pour les condensateurs, c'est l'inverse : parallèle on somme, série on somme les inverses. Ne tombez pas dans ce piège !
Points à retenir
Pour maîtriser cette question, retenez impérativement :
- Parallèle : \(C_{\text{eq}} = C_1 + C_2\). La capacité augmente.
- Série : \(1/C_{\text{eq}} = 1/C_1 + 1/C_2\). La capacité diminue.
- La méthode consiste à réduire le circuit bloc par bloc.
Le saviez-vous ?
Le Farad est une unité de capacité énorme. Dans la pratique, la plupart des condensateurs que vous rencontrerez sont de l'ordre du microfarad (\(\text{µF}, 10^{-6}\)), du nanofarad (nF, \(10^{-9}\)) ou même du picofarad (pF, \(10^{-12}\)). Un condensateur de 1 Farad serait physiquement très grand !
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(C_1\) valait également \(20 \, \text{µF}\) (comme \(C_{\text{23}}\)), quelle serait la capacité équivalente totale en \(\text{µF}\) ?
Question 2 : Calculer la charge totale \(Q_{\text{tot}}\) fournie par la source.
Principe
La charge totale est la quantité d'électricité que la source de tension "pousse" dans le circuit équivalent. Elle dépend de la capacité totale du circuit à stocker cette charge (\(C_{\text{eq}}\)) et de la "force" qui la pousse (la tension V).
Mini-Cours
La relation \(Q = C \cdot V\) est au cœur du fonctionnement des condensateurs. Elle signifie que pour une tension donnée, un condensateur de plus grande capacité pourra stocker plus de charges. La charge est stockée sur les armatures : une armature accumule une charge \(+Q\) et l'autre une charge \(-Q\).
Remarque Pédagogique
N'essayez pas de calculer la charge de chaque condensateur individuellement pour ensuite les sommer. C'est une erreur. La charge totale se calcule sur le circuit global, en utilisant la capacité équivalente que nous venons de trouver. C'est l'intérêt d'avoir simplifié le circuit.
Normes
Cette relation est une définition issue des lois de l'électrostatique et ne dépend pas d'une norme spécifique.
Formule(s)
Formule de la charge
Hypothèses
Nous supposons que la source de tension est idéale, c'est-à-dire qu'elle peut fournir n'importe quelle quantité de charge nécessaire pour maintenir une tension de 12 V constante à ses bornes.
Donnée(s)
Les données proviennent de l'énoncé (pour V) et du résultat de la Question 1 (pour \(C_{\text{eq}}\)).
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| \(C_{\text{eq}}\) | \(20/3 \, \text{µF}\) |
| V | 12 V |
Astuces
Gardez l'habitude de vérifier la cohérence des unités. Un Farad [F] multiplié par un Volt [V] donne un Coulomb [C]. Donc, un microfarad [µF] fois un Volt [V] donnera un microcoulomb [µC]. Cela évite beaucoup d'erreurs de conversion avec les puissances de 10.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul sur le circuit équivalent
Calcul(s)
Calcul de la charge totale
Schéma (Après les calculs)
Charge Totale sur le Circuit Équivalent
Réflexions
Une charge de 80 microcoulombs signifie que \(80 \times 10^{-6}\) coulombs ont été déplacés de la borne positive de la source vers l'armature positive du circuit équivalent. Un Coulomb représente une très grande quantité de charge (environ \(6.24 \times 10^{18}\) électrons).
Points de vigilance
Faites attention à ne pas utiliser la tension de la source avec une capacité individuelle (par exemple, calculer \(C_1 \cdot V\)). La tension de 12V s'applique à l'ensemble du circuit, pas à un seul composant, car ils ne sont pas seuls en parallèle avec la source.
Points à retenir
La charge totale d'un circuit de condensateurs est toujours égale au produit de la capacité équivalente par la tension totale appliquée au circuit. C'est une étape indispensable avant de pouvoir analyser les tensions et charges individuelles.
Le saviez-vous ?
Le Coulomb a été nommé en l'honneur de Charles-Augustin de Coulomb, un physicien français qui a formulé la loi décrivant la force électrostatique entre deux charges électriques. Il a utilisé une "balance de torsion" de son invention pour réaliser des mesures d'une précision remarquable pour son époque (fin du 18e siècle).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la tension de la source était de 9V au lieu de 12V, quelle serait la charge totale \(Q_{\text{tot}}\) en \(\text{µC}\) ?
Question 3 : Déterminer la tension (\(V_1, V_2, V_3\)) aux bornes de chaque condensateur.
Principe
Le principe est de "démonter" le circuit équivalent. On sait que les composants en série se partagent la tension totale, tandis que les composants en parallèle ont la même tension. En appliquant ces deux règles, on peut trouver la tension aux bornes de chaque élément.
Mini-Cours
La Loi des mailles de Kirchhoff stipule que la somme des tensions le long d'une boucle fermée dans un circuit est nulle. Ici, \(V - V_1 - V_{\text{23}} = 0\), ce qui signifie que la tension de la source se répartit entre le condensateur \(C_1\) et le bloc parallèle \(C_{\text{23}}\). Pour des condensateurs en série, la tension se répartit inversement à leur capacité (le plus petit C prend le plus grand V).
Remarque Pédagogique
La charge est la clé pour les éléments en série. Comme \(C_1\) et le bloc \(C_{\text{23}}\) sont en série, ils portent tous les deux la même charge : \(Q_1 = Q_{\text{23}} = Q_{\text{tot}}\). Une fois que vous savez cela, vous pouvez trouver la tension sur chaque bloc avec \(V=Q/C\). C'est souvent plus simple que d'utiliser les formules de diviseur de tension.
Normes
Ce calcul est une application directe des lois de Kirchhoff, qui sont des piliers de l'analyse des circuits électriques.
Formule(s)
Tension sur un condensateur
Loi des mailles
Hypothèses
On continue de supposer que les composants sont idéaux et que les connexions n'entraînent aucune chute de tension.
Donnée(s)
Les données proviennent de l'énoncé et des résultats des questions précédentes.
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| \(Q_{\text{tot}}\) | \(80 \, \text{µC}\) |
| \(C_1, C_2, C_3\) | \(10, 5, 15 \, \text{µF}\) |
| V | 12 V |
Astuces
Pour des condensateurs en série, la tension se divise de manière inversement proportionnelle à la capacité. \(C_1=10 \, \text{µF}\) et \(C_{\text{23}}=20 \, \text{µF}\). \(C_{\text{23}}\) est deux fois plus grand que \(C_1\), donc \(V_1\) sera deux fois plus grand que \(V_{\text{23}}\). La tension totale de 12V se divise en 8V et 4V. C'est un bon moyen de vérifier l'ordre de grandeur.
Schéma (Avant les calculs)
Tensions dans le circuit
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de \(V_1\)
Étape 2 : Calcul de \(V_{\text{23}}\)
Étape 3 : Déduction de \(V_2\) et \(V_3\)
Schéma (Après les calculs)
Tensions Calculées
Réflexions
On vérifie bien que la somme des tensions en série est égale à la tension de la source : \(V_1 + V_{\text{23}} = 8 \, \text{V} + 4 \, \text{V} = 12 \, \text{V}\). Le résultat est cohérent. La tension n'est pas répartie équitablement, ce qui est normal car les capacités \(C_1\) et \(C_{\text{23}}\) sont différentes.
Points de vigilance
Ne jamais supposer que la tension se divise par le nombre de composants en série. La division dépend de la valeur des capacités. Une erreur commune serait de dire que \(V_1 = 6V\) et \(V_{\text{23}} = 6V\).
Points à retenir
La tension est la même aux bornes de branches en parallèle. La somme des tensions aux bornes d'éléments en série est égale à la tension totale aux bornes de la série. La charge est la même pour tous les éléments en série.
Le saviez-vous ?
Les lois des mailles et des nœuds de Kirchhoff ont été formulées en 1845 par Gustav Kirchhoff alors qu'il n'était encore qu'un étudiant. Ces deux lois, d'une simplicité et d'une puissance remarquables, sont suffisantes pour analyser la quasi-totalité des circuits électriques linéaires.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la tension \(V_1\) était de 6V, quelle serait la tension \(V_2\) (et \(V_3\)) en Volts ?
Question 4 : Déterminer la charge (\(Q_1, Q_2, Q_3\)) sur chaque condensateur.
Principe
Une fois la tension aux bornes de chaque condensateur connue, le calcul de la charge est direct. On applique la relation fondamentale \(Q=C \cdot V\) à chaque composant individuellement.
Mini-Cours
La Loi des nœuds de Kirchhoff, appliquée aux charges, stipule que la somme des charges qui arrivent à un nœud est égale à la somme des charges qui en repartent. Ici, la charge \(Q_1\) qui arrive au nœud entre \(C_1\) et le bloc parallèle se divise en \(Q_2\) et \(Q_3\). On doit donc avoir \(Q_1 = Q_2 + Q_3\). C'est une excellente façon de vérifier les calculs.
Remarque Pédagogique
C'est l'étape où l'on voit concrètement comment les choses se répartissent. Pour la branche parallèle, le condensateur ayant la plus grande capacité (\(C_3 > C_2\)) va "attirer" et stocker une plus grande partie de la charge totale qui arrive à ce nœud.
Normes
Ce calcul est aussi une application directe des lois de Kirchhoff et de la définition de la capacité.
Formule(s)
Formule de la charge pour C₁
Formule de la charge pour C₂
Formule de la charge pour C₃
Hypothèses
Aucune hypothèse supplémentaire n'est nécessaire ; nous nous basons sur les résultats précédents.
Donnée(s)
Les données proviennent de l'énoncé (capacités) et des résultats de la Question 3 (tensions).
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| \(V_1, V_2, V_3\) | \(8 \, \text{V}, 4 \, \text{V}, 4 \, \text{V}\) |
| \(C_1, C_2, C_3\) | \(10, 5, 15 \, \text{µF}\) |
Astuces
La vérification \(Q_1 = Q_2 + Q_3\) est un réflexe à avoir. Si la somme ne correspond pas, c'est qu'il y a une erreur dans le calcul des tensions (Question 3) ou des charges elles-mêmes. C'est un filet de sécurité très efficace.
Schéma (Avant les calculs)
Répartition des charges
Calcul(s)
Calcul de \(Q_1\)
Calcul de \(Q_2\)
Calcul de \(Q_3\)
Schéma (Après les calculs)
Charges Calculées sur chaque Condensateur
Réflexions
On observe que la charge se répartit proportionnellement à la capacité dans la branche parallèle. \(C_3\) est trois fois plus grand que \(C_2\) (\(15 \, \text{µF}\) vs \(5 \, \text{µF}\)), et il stocke bien trois fois plus de charge (\(60 \, \text{µC}\) vs \(20 \, \text{µC}\)). C'est logique : à tension égale, un plus grand "réservoir" (capacité) contient plus de "liquide" (charge).
Points de vigilance
Attention à bien utiliser la tension correspondante pour chaque condensateur ! N'utilisez pas la tension totale V=12V pour calculer \(Q_2\) ou \(Q_3\). Chaque condensateur a sa propre tension (sauf s'il est directement branché à la source).
Points à retenir
La relation \(Q = C \cdot V\) est universelle et s'applique à chaque composant individuellement, ainsi qu'au circuit équivalent. La loi des nœuds pour la charge (\(Q_{\text{entrante}} = \Sigma Q_{\text{sortantes}}\)) est un outil de vérification puissant.
Le saviez-vous ?
Les premiers condensateurs, inventés au 18ème siècle, étaient appelés "bouteilles de Leyde". Il s'agissait de bouteilles en verre remplies d'eau, avec une feuille métallique à l'intérieur et à l'extérieur. Elles pouvaient stocker des quantités de charge impressionnantes pour l'époque et étaient utilisées dans des expériences publiques spectaculaires sur l'électricité.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(C_2\) et \(C_3\) étaient tous les deux égaux à \(10 \, \text{µF}\), quelle serait la charge \(Q_2\) en \(\text{µC}\) ? (Rappelez-vous que \(Q_1\) vaut toujours 80\(\text{µC}\) dans ce scénario).
Question 5 : Calculer l'énergie totale \(E_{\text{tot}}\) stockée.
Principe
L'énergie stockée dans un condensateur est l'énergie potentielle conservée dans le champ électrique créé entre ses armatures. L'énergie totale du circuit est simplement l'énergie stockée par son condensateur équivalent, ou la somme des énergies de chaque condensateur individuel.
Mini-Cours
L'énergie n'est pas stockée dans les charges elles-mêmes, mais dans le champ électrique qui existe dans le diélectrique entre les plaques. Le facteur \(\frac{1}{2}\) dans la formule \(E = \frac{1}{2} C V^2\) vient du fait que la tension augmente de 0 à V pendant la charge. L'énergie est l'intégrale de la puissance (\(P=VI\)) pendant ce temps, ce qui mène à ce résultat.
Remarque Pédagogique
Il est toujours bon de calculer l'énergie de deux manières pour vérifier. La première, plus rapide, utilise \(C_{\text{eq}}\). La seconde, plus longue mais excellente pour confirmer, consiste à calculer \(E_1\), \(E_2\), \(E_3\) séparément et à les additionner. Si les deux résultats finaux correspondent, vous pouvez être très confiant dans vos calculs.
Normes
Il s'agit d'une formule fondamentale de la physique, issue des principes de l'électrostatique.
Formule(s)
Il existe trois formules équivalentes pour l'énergie stockée :
Hypothèses
On suppose qu'il n'y a aucune dissipation d'énergie dans le circuit (composants idéaux), donc toute l'énergie fournie par la source (moins les pertes par effet Joule pendant la charge) est stockée dans les condensateurs.
Donnée(s)
Les données utilisées sont la tension de la source (énoncé) et la capacité équivalente calculée à la Question 1.
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| \(C_{\text{eq}}\) | \(20/3 \, \text{µF}\) |
| V | 12 V |
Astuces
Soyez très prudent avec le carré de la tension (\(V^2\)). C'est une source d'erreur fréquente. Assurez-vous également que vos unités sont cohérentes. Si vous utilisez des Farads et des Volts, l'énergie sera en Joules. Si vous utilisez des microfarads et des Volts, l'énergie sera en microjoules.
Schéma (Avant les calculs)
Circuit pour le calcul de l'énergie totale
Calcul(s)
Calcul de l'énergie totale
Schéma (Après les calculs)
Répartition de l'Énergie Stockée
Réflexions
Le condensateur \(C_1\) stocke la majorité de l'énergie (\(320 \, \text{µJ}\) sur \(480 \, \text{µJ}\)). Cela s'explique par le fait que l'énergie est proportionnelle au carré de la tension (\(E = \frac{1}{2}CV^2\)). Comme \(V_1 = 8V\) est bien plus élevé que \(V_2=V_3=4V\), l'impact sur l'énergie est très important, malgré une capacité inférieure à celle du bloc parallèle.
Points de vigilance
N'oubliez pas les conversions d'unités ! Si l'on vous demande le résultat en Joules, il faut impérativement convertir les µF en F (\(10^{-6}\)). Oublier ce facteur est l'erreur la plus commune dans les calculs d'énergie.
Points à retenir
L'énergie stockée dépend à la fois de la capacité et du carré de la tension. L'énergie totale est conservative : l'énergie du condensateur équivalent est égale à la somme des énergies de chaque composant.
Le saviez-vous ?
Les supercondensateurs sont des dispositifs capables de stocker des milliers de fois plus d'énergie que les condensateurs classiques. Ils sont utilisés dans des applications nécessitant une libération rapide d'énergie, comme dans les systèmes de récupération d'énergie au freinage des bus ou tramways, ou pour fournir une puissance de pointe dans les voitures électriques.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez l'énergie stockée dans chaque condensateur (\(E_1, E_2, E_3\)) et vérifiez que leur somme est bien égale à \(E_{\text{tot}}\). Quelle est la valeur de \(E_1\) en \(\text{µJ}\) ?
Indice : \(E_1 = \frac{1}{2}C_1V_1^2 = \frac{1}{2}(10)(8^2)=320 \, \text{µJ}\). De même, \(E_2=40 \, \text{µJ}\) et \(E_3=120 \, \text{µJ}\). Somme : \(320+40+120 = 480 \, \text{µJ}\).
Outil Interactif : Simulateur de Circuit
Utilisez les curseurs pour modifier les valeurs des capacités \(C_1\) et \(C_2\) (en gardant \(V=12V\) et \(C_3=15\mu F\) constants) et observez en temps réel l'impact sur la capacité équivalente et l'énergie totale stockée.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on ajoute un condensateur en parallèle à un circuit existant, que devient la capacité équivalente ?
2. Quelle est la grandeur physique qui est obligatoirement la même pour tous les condensateurs branchés en série ?
3. Si la tension aux bornes d'un condensateur double, par quel facteur son énergie stockée est-elle multipliée ?
4. Deux condensateurs de \(20 \, \text{µF}\) chacun sont placés en série. Quelle est leur capacité équivalente ?
5. L'unité de la capacité électrique est le Farad (F). À quoi correspond un Farad ?
Glossaire
- Condensateur
- Composant électronique passif capable de stocker une charge électrique et donc de l'énergie électrostatique. Il est constitué de deux armatures conductrices séparées par un matériau diélectrique.
- Capacité
- Grandeur physique caractérisant la capacité d'un condensateur à stocker des charges électriques pour une tension donnée. Son unité est le Farad (F).
- Charge Électrique (Q)
- Quantité d'électricité portée par les armatures d'un condensateur. Son unité est le Coulomb (C).
- Tension (V)
- Différence de potentiel électrique entre deux points d'un circuit. À travers un condensateur, c'est la "pression" électrique qui permet de stocker la charge. Son unité est le Volt (V).
- Régime Permanent
- État d'un circuit en courant continu atteint après une période transitoire, où les tensions et courants ne varient plus. Pour un circuit RC, cela signifie que le condensateur est entièrement chargé et se comporte comme un interrupteur ouvert.
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