Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Analyse d’un Circuit en Configuration Étoile

Analyse d'un Circuit Triphasé en Configuration Étoile (Y)

Alimentation Équilibrée : Analyse d'un Circuit Triphasé en Étoile (Y)

La Configuration Étoile : Au cœur des systèmes triphasés !

La configuration en étoile (ou Y) est l'une des deux manières fondamentales de connecter des charges ou des sources dans un système triphasé. Dans ce montage, une extrémité de chaque phase est connectée à un point commun appelé le neutre (s'il est distribué). Cette configuration est très répandue, notamment pour la distribution d'électricité aux consommateurs, car elle permet d'avoir accès à deux niveaux de tension (tension simple entre phase et neutre, et tension composée entre phases). Cet exercice se concentre sur l'analyse d'une charge équilibrée connectée en étoile à une source triphasée équilibrée.

L'Usine Alimentée en Étoile

Une petite usine est alimentée par un réseau triphasé. La charge principale de l'usine est un ensemble de machines qui, collectivement, se comportent comme une charge triphasée équilibrée connectée en étoile.

Informations sur le système :

  • Source triphasée équilibrée : Tension de ligne \(V_L = 400 \, \text{Volts (V)}\).
  • Fréquence de la source \(f = 50 \, \text{Hertz (Hz)}\).
  • Charge en étoile équilibrée : Chaque phase de la charge a une impédance \(\underline{Z}_{phY} = (12 + j9) \, \text{Ω}\).
Schéma du circuit triphasé en étoile
Source Triphasée VL = 400V L1 L2 L3 Charge Y N ZphY ZphY ZphY Circuit Triphasé en Étoile

La charge est connectée en étoile aux lignes L1, L2, L3.

Questions à traiter

  1. Calculez la tension de phase (\(V_{ph}\)) aux bornes de chaque impédance de la charge.
  2. Déterminez l'impédance par phase \(\underline{Z}_{phY}\) sous forme polaire (module et argument).
  3. Calculez le courant de phase \(\underline{I}_{phY}\) (module et argument) dans chaque impédance de la charge. (Prenez \(\underline{V}_{phA}\) comme référence de phase \(0^\circ\)).
  4. Quel est le courant de ligne \(I_L\) (module) pour ce montage ?
  5. Calculez la puissance active totale (\(P_{tot}\)) consommée par la charge.
  6. Calculez la puissance réactive totale (\(Q_{tot}\)) consommée par la charge.
  7. Calculez la puissance apparente totale (\(S_{tot}\)) fournie à la charge.
  8. Déterminez le facteur de puissance (PF) de la charge. Est-il en avance ou en retard ?

Correction : Analyse de l'Usine Alimentée en Étoile

Question 1 : Tension de phase (\(V_{ph}\))

Réponse :

Pour une charge équilibrée connectée en étoile, la tension de phase \(V_{ph}\) est la tension de ligne \(V_L\) divisée par \(\sqrt{3}\).

\[ \begin{aligned} V_{ph} &= \frac{V_L}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{400 \, \text{V}}{\sqrt{3}} \\ &\approx 230.94 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La tension de phase \(V_{ph}\) est d'environ \(230.94 \, \text{V}\).

Question 2 : Impédance par phase \(\underline{Z}_{phY}\) en forme polaire

Données :
  • \(\underline{Z}_{phY} = (12 + j9) \, \text{Ω}\)
Calcul du module :
\[ \begin{aligned} |Z_{phY}| &= \sqrt{12^2 + 9^2} \\ &= \sqrt{144 + 81} \\ &= \sqrt{225} \\ &= 15 \, \text{Ω} \end{aligned} \]
Calcul de l'argument (phase) :
\[ \begin{aligned} \phi_Z &= \arctan\left(\frac{9}{12}\right) \\ &= \arctan(0.75) \\ &\approx 36.87^\circ \end{aligned} \]

Donc, \(\underline{Z}_{phY} = 15 \angle 36.87^\circ \, \text{Ω}\).

Résultat Question 2 : L'impédance par phase est \(\underline{Z}_{phY} = 15 \angle 36.87^\circ \, \text{Ω}\).

Question 3 : Courant de phase \(\underline{I}_{phY}\)

Données :
  • \(V_{ph} \approx 230.94 \, \text{V}\)
  • \(\underline{Z}_{phY} = 15 \angle 36.87^\circ \, \text{Ω}\)

On prend la tension de la phase A, \(\underline{V}_{AN}\), comme référence, donc \(\underline{V}_{AN} = 230.94 \angle 0^\circ \, \text{V}\).

Calcul du module du courant de phase :
\[ \begin{aligned} |I_{phY}| &= \frac{V_{ph}}{|Z_{phY}|} \\ &= \frac{230.94 \, \text{V}}{15 \, \text{Ω}} \\ &\approx 15.396 \, \text{A} \end{aligned} \]
Calcul de l'argument du courant de phase :

L'angle du courant \(\phi_I\) est l'angle de la tension moins l'angle de l'impédance.

\[ \begin{aligned} \phi_I &= \phi_V - \phi_Z \\ &= 0^\circ - 36.87^\circ \\ &= -36.87^\circ \end{aligned} \]

Donc, \(\underline{I}_{phY} \approx 15.396 \angle -36.87^\circ \, \text{A}\).

Résultat Question 3 : Le courant de phase est \(\underline{I}_{phY} \approx 15.396 \angle -36.87^\circ \, \text{A}\).

Question 4 : Courant de ligne \(I_L\)

Réponse :

Pour une charge équilibrée connectée en étoile, le courant de ligne \(I_L\) est égal au module du courant de phase \(|I_{phY}|\).

\[ I_L = |I_{phY}| \approx 15.396 \, \text{A} \]
Résultat Question 4 : Le courant de ligne \(I_L\) est d'environ \(15.396 \, \text{A}\).

Question 5 : Puissance active totale (\(P_{tot}\))

Données :
  • \(V_L = 400 \, \text{V}\)
  • \(I_L \approx 15.396 \, \text{A}\)
  • \(\cos(\phi_Z) = \cos(36.87^\circ) \approx 0.8\) (facteur de puissance de la charge)
\[ \begin{aligned} P_{tot} &= \sqrt{3} \cdot V_L \cdot I_L \cdot \cos(\phi_Z) \\ &= \sqrt{3} \cdot 400 \, \text{V} \cdot 15.396 \, \text{A} \cdot 0.8 \\ &\approx 1.732 \cdot 400 \cdot 15.396 \cdot 0.8 \, \text{W} \\ &\approx 8533.33 \, \text{W} \quad (\text{ou } 8.53 \, \text{kW}) \end{aligned} \]

Alternativement, par phase : \(P_{ph} = V_{ph} \cdot I_{ph} \cdot \cos(\phi_Z) = R_{ph} \cdot I_{ph}^2\). \(P_{ph} = 12 \, \text{Ω} \cdot (15.396 \, \text{A})^2 \approx 12 \cdot 237.04 \approx 2844.48 \, \text{W}\). \(P_{tot} = 3 \cdot P_{ph} \approx 3 \cdot 2844.48 \, \text{W} \approx 8533.44 \, \text{W}\).

Résultat Question 5 : La puissance active totale \(P_{tot}\) est d'environ \(8533 \, \text{W}\).

Question 6 : Puissance réactive totale (\(Q_{tot}\))

\[ \begin{aligned} Q_{tot} &= \sqrt{3} \cdot V_L \cdot I_L \cdot \sin(\phi_Z) \\ &= \sqrt{3} \cdot 400 \, \text{V} \cdot 15.396 \, \text{A} \cdot \sin(36.87^\circ) \\ &\approx 1.732 \cdot 400 \cdot 15.396 \cdot 0.6 \, \text{VAR} \\ &\approx 6400 \, \text{VAR} \quad (\text{ou } 6.40 \, \text{kVAR}) \end{aligned} \]

Alternativement, par phase : \(Q_{ph} = V_{ph} \cdot I_{ph} \cdot \sin(\phi_Z) = X_{L,ph} \cdot I_{ph}^2\). \(Q_{ph} = 9 \, \text{Ω} \cdot (15.396 \, \text{A})^2 \approx 9 \cdot 237.04 \approx 2133.36 \, \text{VAR}\). \(Q_{tot} = 3 \cdot Q_{ph} \approx 3 \cdot 2133.36 \, \text{VAR} \approx 6400.08 \, \text{VAR}\).

Résultat Question 6 : La puissance réactive totale \(Q_{tot}\) est d'environ \(6400 \, \text{VAR}\).

Question 7 : Puissance apparente totale (\(S_{tot}\))

\[ \begin{aligned} S_{tot} &= \sqrt{P_{tot}^2 + Q_{tot}^2} \\ &= \sqrt{(8533.33)^2 + (6400)^2} \\ &= \sqrt{72817777.89 + 40960000} \\ &= \sqrt{113777777.89} \\ &\approx 10666.67 \, \text{VA} \quad (\text{ou } 10.67 \, \text{kVA}) \end{aligned} \]

Alternativement : \(S_{tot} = \sqrt{3} \cdot V_L \cdot I_L = \sqrt{3} \cdot 400 \text{V} \cdot 15.396 \text{A} \approx 10666.67 \, \text{VA}\).

Résultat Question 7 : La puissance apparente totale \(S_{tot}\) est d'environ \(10667 \, \text{VA}\).

Question 8 : Facteur de puissance (PF)

\[ \begin{aligned} \text{PF} &= \frac{P_{tot}}{S_{tot}} \\ &= \frac{8533.33 \, \text{W}}{10666.67 \, \text{VA}} \\ &\approx 0.8 \end{aligned} \]

Ceci est égal à \(\cos(\phi_Z) = \cos(36.87^\circ) \approx 0.8\). Comme la charge est inductive (\(Q_{tot} > 0\), \(\phi_Z > 0\)), le facteur de puissance est en retard.

Résultat Question 8 : Le facteur de puissance global est d'environ \(0.8\) en retard.

Quiz Intermédiaire : Pour une charge triphasée équilibrée en étoile, si la tension de ligne est \(V_L\), la tension aux bornes de chaque phase de la charge est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans une connexion en étoile équilibrée, le courant de ligne est :

2. Une charge inductive dans un circuit AC provoque un déphasage du courant par rapport à la tension qui est :

3. La puissance réactive est mesurée en :

Glossaire

Système Triphasé Équilibré
Système de trois tensions (ou courants) alternatives de même amplitude et fréquence, déphasées de 120° électriques les unes par rapport aux autres.
Configuration en Étoile (Y)
Type de connexion triphasée où une extrémité de chaque enroulement (ou impédance de phase) est connectée à un point commun appelé neutre. L'autre extrémité de chaque enroulement est connectée à une ligne.
Tension de Ligne (\(V_L\))
Tension mesurée entre deux conducteurs de ligne (par exemple, entre L1 et L2).
Tension de Phase (\(V_{ph}\))
Tension mesurée aux bornes d'un seul enroulement ou d'une seule impédance de phase (par exemple, entre une ligne et le neutre dans une connexion étoile).
Courant de Ligne (\(I_L\))
Courant circulant dans un conducteur de ligne.
Courant de Phase (\(I_{ph}\))
Courant circulant à travers un seul enroulement ou une seule impédance de phase.
Impédance (\(\underline{Z}\))
Opposition totale au passage d'un courant alternatif, combinant résistance et réactance. C'est une grandeur complexe. Unité : \(\text{Ω}\).
Puissance Active (\(P\))
Puissance moyenne réellement consommée ou fournie par un circuit. Unité : \(\text{Watt (W)}\).
Puissance Réactive (\(Q\))
Puissance oscillant entre la source et les éléments réactifs (inductances, capacités) du circuit. Unité : \(\text{Volt-Ampère Réactif (VAR)}\).
Puissance Apparente (\(S\))
Produit de la tension efficace et du courant efficace. \(S = \sqrt{P^2 + Q^2}\) pour les systèmes linéaires. Unité : \(\text{Volt-Ampère (VA)}\).
Facteur de Puissance (PF)
Rapport de la puissance active à la puissance apparente (\(P/S\)). Il est égal au cosinus de l'angle de déphasage entre la tension et le courant (\(\cos \phi\)).
Analyse d'un Circuit Triphasé en Étoile

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