Analyse d’un Circuit en Configuration Étoile
Comprendre l’Analyse d’un Circuit en Configuration Étoile
Un système triphasé équilibré est configuré en étoile avec une tension de phase de 230 V (valeur efficace entre chaque ligne et le neutre).
Chaque branche de l’étoile est constituée d’une impédance \(Z = 10 + j5 \, \Omega\).
Objectifs:
1. Calculer les tensions de ligne à ligne.
2. Calculer les courants de ligne.
3. Déterminer la puissance totale consommée par le circuit.
4. Convertir les impédances en configuration étoile à une configuration triangle équivalente et recalculer les courants de ligne.
Correction : Analyse d’un Circuit en Configuration Étoile
1. Calcul des tensions de ligne à ligne
Données:
- Tension de phase, \( V_{PH} = 230 \, \text{V} \)
Calcul:
La tension de ligne à ligne dans une configuration étoile est donnée par:
\[ V_{LL} = \sqrt{3} \times V_{PH} \] \[ V_{LL} = \sqrt{3} \times 230 \] \[ V_{LL} \approx 398.2 \, \text{V} \]
Ce calcul donne la valeur efficace de la tension entre deux lignes.
2. Calcul des courants de ligne
Données:
- Impédance de chaque branche, \( Z = 10 + j5 \, \Omega \)
Calcul:
Le courant de ligne, qui est le même que le courant de phase dans un système équilibré, est calculé par:
\[ I_{L} = \frac{V_{PH}}{Z} \] \[ I_{L} = \frac{230}{10 + j5} \]
Pour résoudre cette division complexe, utilisons la forme polaire de l’impédance:
- Magnitude de \( Z \), \( |Z| = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} \approx 11.18 \, \Omega \)
- Angle de \( Z \), \( \theta_Z = \tan^{-1}\left(\frac{5}{10}\right) \approx 26.57^\circ \)
Donc,
\[ I_{L} = \frac{230}{11.18 \angle 26.57^\circ} \] \[ I_{L} \approx 20.56 \angle -26.57^\circ \, \text{A} \]
Ce résultat représente la magnitude et l’angle du courant de ligne.
3. Calcul de la puissance totale
Calcul:
La puissance totale dans un système triphasé équilibré est calculée par:
\[ P_{total} = \sqrt{3} \times V_{LL} \times I_{L} \times \cos(\theta) \]
Le facteur de puissance, \( \cos(\theta) \), est:
\[ \cos(\theta) = \frac{10}{\sqrt{125}} \approx 0.894 \]
Donc,
\[ P_{total} = \sqrt{3} \times 398.2 \times 20.56 \times 0.894 \] \[ P_{total} \approx 12,529.55 \, \text{W} \]
4. Conversion en configuration triangle et calcul des courants
Calcul:
Pour convertir l’impédance en configuration étoile à une configuration triangle:
\[ Z_{\Delta} = 3 \times Z_{Y} \] \[ Z_{\Delta} = 3 \times (10 + j5) \] \[ Z_{\Delta} = 30 + j15 \, \Omega \]
Le courant dans chaque phase, maintenant avec \( Z_{\Delta} \):
\[ I_{L_{\Delta}} = \frac{V_{LL}}{Z_{\Delta}} \] \[ I_{L_{\Delta}} = \frac{398.2}{30 + j15} \] \[ I_{L_{\Delta}} \approx 11.91 \angle -26.57^\circ \, \text{A} \]
Conclusion
Ce calcul détaillé montre comment les tensions de ligne, les courants de ligne et la puissance totale sont affectés par les impédances dans une configuration étoile et comment ces valeurs changent lors de la conversion en configuration triangle.
Ces étapes de calcul permettent d’explorer les principes fondamentaux des systèmes triphasés et des impédances complexes.
Analyse d’un Circuit en Configuration Étoile
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