Analyse d'un Circuit Mixte - Exercice corrigé

Contexte : L'analyse des circuits électriques mixtes (série et parallèle) est une compétence fondamentale en électrotechnique. Elle permet de comprendre et de prédire le comportement du courantLe débit de charge électrique dans un conducteur. Son unité est l'Ampère (A). et de la tensionLa différence de potentiel électrique entre deux points. Son unité est le Volt (V). à travers différents composants.

Cet exercice a pour but de vous guider dans la résolution systématique de ce type de circuit. Nous allons le décomposer, calculer sa résistance équivalente, puis déterminer les tensions et courants en chaque point en utilisant les lois fondamentales de l'électricité. La maîtrise de cette méthode est essentielle pour aborder des systèmes plus complexes.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra la méthode systématique pour simplifier un circuit complexe en blocs plus simples, une compétence clé pour tout technicien ou ingénieur en électricité.

Objectifs Pédagogiques

Identifier les groupements de résistances en série et en parallèle.
Calculer la résistance équivalente d'un circuit mixte.
Appliquer la loi d'Ohm pour déterminer le courant total et les tensions partielles.
Utiliser le principe du diviseur de courant pour analyser les branches parallèles.

Données de l'étude

On considère le circuit électrique ci-dessous, alimenté par une source de tension continue.

Schéma du Circuit Électrique Mixte

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension d'alimentation	U	24	V
Résistance 1	R1	10	Ω (Ohm)
Résistance 2	R2	20	Ω (Ohm)
Résistance 3	R3	30	Ω (Ohm)
Résistance 4	R4	30	Ω (Ohm)

Questions à traiter

Calculer la résistance équivalente \(R_{34}\) des résistances R3 et R4.
Calculer la résistance équivalente \(R_{234}\) du groupement parallèle.
En déduire la résistance totale équivalente \(R_{\text{eq}}\) du circuit complet.
Déterminer la valeur du courant total \(I_{\text{tot}}\) qui sort du générateur.
Calculer les courants \(I_2\) et \(I_{34}\) dans les branches parallèles, ainsi que la tension aux bornes de chaque résistance (\(U_1, U_2, U_3, U_4\)).

Les bases de l'analyse de circuits

Pour résoudre cet exercice, plusieurs lois et principes fondamentaux de l'électricité sont nécessaires. Ils constituent la boîte à outils de base de l'électrotechnicien.

1. La Loi d'Ohm
C'est la relation la plus fondamentale. Elle lie la tension (U) aux bornes d'un dipôle, le courant (I) qui le traverse et sa résistance (R). \[ U = R \cdot I \]

2. Association de Résistances en Série
Lorsque des résistances sont branchées les unes à la suite des autres, le courant qui les traverse est le même. Leur résistance équivalente est simplement la somme de leurs résistances individuelles. \[ R_{\text{eq, série}} = R_1 + R_2 + \dots + R_n \]

3. Association de Résistances en Parallèle
Lorsque des résistances sont branchées entre les deux mêmes points (nœuds), la tension à leurs bornes est la même. L'inverse de leur résistance équivalente est la somme des inverses de leurs résistances. \[ \frac{1}{R_{\text{eq, parallèle}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n} \]

Correction : Analyse d’un Circuit Électrique Mixte

Question 1 : Calculer la résistance équivalente \(R_{34}\)

Principe (le concept physique)

Pour commencer à simplifier le circuit, nous identifions les groupements les plus simples. Les résistances R3 et R4 sont connectées l'une à la suite de l'autre. Le courant qui traverse R3 est donc forcé de traverser R4. C'est la définition même d'un montage en série.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Dans un circuit en série, les composants sont disposés sur un seul et même chemin. La caractéristique principale est que le courant est identique à travers chaque composant. En revanche, la tension totale du groupe se répartit aux bornes de chaque composant, proportionnellement à sa résistance.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Face à un circuit complexe, la stratégie est toujours de "réduire" le problème. Cherchez les paires ou les groupes de composants les plus évidents (deux résistances en série, deux en parallèle) et remplacez-les par leur équivalent. Répétez le processus jusqu'à obtenir une seule résistance.

Normes (la référence réglementaire)

Les calculs de circuits et les symboles utilisés (comme le rectangle pour une résistance) sont standardisés au niveau international, notamment par la Commission électrotechnique internationale (CEI) dans des normes comme la CEI 60617, pour que les schémas soient compris par tous les ingénieurs dans le monde.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour des résistances en série, la résistance équivalente (\(R_{\text{eq}}\)) est la somme des résistances individuelles.

R_{\text{eq, série}} = R_1 + R_2 + \dots + R_n

Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour cet exercice académique, nous posons des hypothèses simplificatrices :

Les fils de connexion ont une résistance nulle (conducteurs parfaits).
La source de tension est idéale (pas de résistance interne).
Les valeurs des résistances sont constantes et précises.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance 3	R3	30	Ω
Résistance 4	R4	30	Ω

Astuces (Pour aller plus vite)

Une vérification rapide pour un montage en série : la résistance équivalente est toujours plus grande que la plus grande des résistances du groupe. Ici, le résultat doit être supérieur à 30 Ω.

Schéma (Avant les calculs)

Branche avec R3 et R4 en série

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la résistance équivalente en série R34 :

\begin{aligned} R_{34} &= R_3 + R_4 \\ &= 30 \, \text{Ω} + 30 \, \text{Ω} \\ &= 60 \, \text{Ω} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Branche simplifiée

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat de 60 Ω est cohérent avec notre astuce de vérification (60 > 30). Comme R3 et R4 sont identiques, la résistance équivalente est simplement le double de leur valeur, ce qui est logique : on a doublé la longueur du chemin résistif pour le courant.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de confondre les formules série et parallèle. Pour un montage en série, on additionne simplement. N'utilisez jamais la formule avec les inverses ici.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Concept Clé : En série, le courant est le même partout.
Formule Essentielle : \(R_{\text{eq}} = R_1 + R_2\).
Point de Vigilance Majeur : La résistance équivalente augmente.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de résistance a été formalisé par le physicien allemand Georg Ohm. Au début, ses travaux furent mal accueillis par la communauté scientifique de son époque. Aujourd'hui, la loi d'Ohm est la pierre angulaire de toute l'électricité.

FAQ (pour lever les doutes)

Et s'il y avait une troisième résistance R5 en série ?

Le principe reste le même, on continue simplement l'addition : \(R_{\text{eq}} = R_3 + R_4 + R_5\). La formule est extensible à un nombre infini de résistances en série.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La résistance équivalente de la branche inférieure est \(R_{34} = 60 \, \text{Ω}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si R4 avait une valeur de 50 Ω au lieu de 30 Ω, quelle serait la nouvelle valeur de \(R_{34}\) ?

Question 2 : Calculer la résistance équivalente \(R_{234}\) du groupement parallèle

Principe (le concept physique)

Le circuit simplifié montre maintenant que la résistance R2 est connectée aux mêmes deux points que notre résistance équivalente \(R_{34}\). Le courant total \(I_{\text{tot}}\), en arrivant au premier nœud, se divise pour passer soit par R2, soit par le groupe R34. C'est la définition d'un montage en parallèle.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Dans un circuit en parallèle, les composants sont branchés sur des chemins différents (des "branches") entre deux mêmes points. La caractéristique principale est que la tension est identique aux bornes de chaque branche. Le courant total, lui, se divise entre les différentes branches.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Considérez le bloc \(R_{34}\) que vous venez de calculer comme un composant unique. Le problème se résume maintenant à un cas simple : "une résistance R2 en parallèle avec une autre résistance \(R_{34}\)". La simplification par étapes rend le problème beaucoup plus facile à visualiser.

Normes (la référence réglementaire)

Les lois régissant les circuits parallèles (Loi des nœuds de Kirchhoff) sont, tout comme la loi d'Ohm, des fondements reconnus et utilisés universellement en électrotechnique, validés par des organismes comme le CEI.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour deux résistances en parallèle, on peut utiliser la formule "produit sur somme", plus directe :

R_{\text{eq}} = \frac{R_A \cdot R_B}{R_A + R_B}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses d'idéalité des composants (fils, source) sont maintenues. On suppose que la division du courant au niveau du nœud se fait sans perte.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance 2	R2	20	Ω
Résistance équivalente 3-4	\(R_{34}\)	60	Ω

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour un montage parallèle, la résistance équivalente est toujours plus petite que la plus petite des résistances du groupe. Ici, le résultat doit être inférieur à 20 Ω. C'est un excellent moyen de repérer une erreur de calcul grossière.

Schéma (Avant les calculs)

Bloc parallèle R2 || R34

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la résistance équivalente en parallèle R234 :

\begin{aligned} R_{234} &= \frac{R_2 \cdot R_{34}}{R_2 + R_{34}} \\ &= \frac{20 \cdot 60}{20 + 60} \\ &= \frac{1200}{80} \\ &= 15 \, \text{Ω} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Bloc parallèle simplifié

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat de 15 Ω est bien inférieur à la plus petite résistance du groupe (20 Ω), ce qui valide notre calcul. En offrant un chemin supplémentaire au courant, un montage parallèle diminue toujours la résistance globale du circuit, facilitant ainsi le passage du courant.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

En utilisant la formule des inverses (\(1/R_{\text{eq}} = ...\)), une erreur très fréquente est d'oublier d'inverser le résultat final pour obtenir \(R_{\text{eq}}\) (et non \(1/R_{\text{eq}}\)). La formule "produit sur somme" est plus sûre pour deux résistances.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Concept Clé : En parallèle, la tension est la même aux bornes de chaque branche.
Formule Essentielle : \(R_{\text{eq}} = (R_A \cdot R_B) / (R_A + R_B)\).
Point de Vigilance Majeur : La résistance équivalente diminue.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le principe du montage en parallèle est utilisé partout dans nos maisons. Chaque appareil que vous branchez sur une prise est ajouté en parallèle sur le circuit de la pièce. Cela garantit que chaque appareil reçoit la même tension (230V), quel que soit le nombre d'appareils branchés.

FAQ (pour lever les doutes)

Et si R2 était identique à R34 (60 Ω) ?

Lorsque deux résistances identiques sont en parallèle, la résistance équivalente est simplement la moitié de leur valeur. Dans ce cas, elle serait de \(60 \, \text{Ω} / 2 = 30 \, \text{Ω}\). C'est une astuce très utile.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La résistance équivalente du bloc parallèle est \(R_{234} = 15 \, \text{Ω}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si R2 valait 30 Ω au lieu de 20 Ω, quelle serait la nouvelle valeur de \(R_{234}\) ?

Question 3 : En déduire la résistance totale équivalente \(R_{\text{eq}}\)

Principe (le concept physique)

Le circuit est maintenant simplifié à sa forme la plus élémentaire : la résistance R1 suivie du bloc parallèle que nous venons de calculer (\(R_{234}\)). Le courant total qui quitte la source doit d'abord traverser R1, puis le bloc \(R_{234}\). Il s'agit donc d'un montage en série.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Nous revenons à la définition du circuit série : les composants (ici, R1 et le bloc \(R_{234}\)) sont sur le même chemin. Le courant total (\(I_{\text{tot}}\)) les traverse l'un après l'autre. La résistance totale est donc la somme de la résistance de chaque élément.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Vous voyez la puissance de la méthode : un circuit qui paraissait complexe est maintenant réduit à une simple addition de deux résistances. C'est le but final de la simplification de circuit.

Normes (la référence réglementaire)

Ce calcul final obéit aux mêmes lois fondamentales (Loi d'Ohm, Lois de Kirchhoff) qui sont la base de toute l'électrotechnique et sont standardisées par le CEI.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On utilise à nouveau la formule de l'addition pour des résistances en série.

R_{\text{eq}} = R_1 + R_{234}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses d'idéalité des composants sont toujours valables pour ce calcul final.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance 1	R1	10	Ω
Résistance équivalente 2-3-4	\(R_{234}\)	15	Ω

Astuces (Pour aller plus vite)

Comme c'est un montage série, le résultat final (\(R_{\text{eq}}\)) doit être supérieur à la plus grande des deux résistances (15 Ω). De plus, \(R_{\text{eq}}\) représente la "difficulté" totale que le générateur rencontre pour faire circuler le courant.

Schéma (Avant les calculs)

Circuit avant simplification finale

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la résistance équivalente totale Req :

\begin{aligned} R_{\text{eq}} &= R_1 + R_{234} \\ &= 10 \, \text{Ω} + 15 \, \text{Ω} \\ &= 25 \, \text{Ω} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Circuit Équivalent Final

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La valeur de 25 Ω représente la résistance totale que "voit" la source de tension. C'est cette valeur qui va déterminer le courant total débité par le générateur. Le circuit entier, aussi complexe soit-il au départ, se comporte exactement comme une simple résistance de 25 Ω.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne vous arrêtez pas en cours de route ! Une erreur serait de calculer le courant total avec une résistance équivalente partielle (comme \(R_{234}\) seulement). Il faut bien aller jusqu'à la résistance équivalente vue depuis les bornes du générateur.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Concept Clé : La simplification série/parallèle est itérative.
Formule Essentielle : On combine les formules série et parallèle en fonction du montage.
Point de Vigilance Majeur : Bien identifier quel bloc est en série/parallèle avec quel autre.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La simplification de circuits par résistances équivalentes est une application du théorème de Thévenin, qui stipule que n'importe quel circuit linéaire complexe peut être remplacé par une unique source de tension et une unique résistance en série.

FAQ (pour lever les doutes)

Cette méthode fonctionne-t-elle avec des sources de tension alternatives (AC) ?

Oui, le principe reste le même. Cependant, avec des sources alternatives, on ne parle plus de résistances mais d'impédances (qui incluent l'effet des bobines et condensateurs), et les calculs utilisent des nombres complexes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La résistance totale équivalente du circuit est \(R_{\text{eq}} = 25 \, \text{Ω}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

En gardant \(R_{234}=15\,\text{Ω}\), si R1 valait 5 Ω, quelle serait la nouvelle résistance totale \(R_{\text{eq}}\) ?

Question 4 : Déterminer le courant total \(I_{\text{tot}}\)

Principe (le concept physique)

Maintenant que le circuit est réduit à sa plus simple expression (une source de tension U alimentant une seule résistance \(R_{\text{eq}}\)), nous pouvons directement appliquer la loi la plus fondamentale de l'électricité, la loi d'Ohm, pour trouver le courant total qui circule.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La loi d'Ohm (\(U=R \cdot I\)) est une loi physique qui décrit la proportionnalité entre la tension aux bornes d'un dipôle et le courant qui le traverse. Le courant total \(I_{\text{tot}}\) est le courant qui sort (et qui rentre) à la source d'alimentation. C'est le débit d'électrons global dans le circuit.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Toute la phase de simplification n'avait qu'un but : arriver à cette étape. En trouvant la résistance équivalente, on se place dans le cas le plus simple possible pour appliquer la loi d'Ohm sans se tromper.

Normes (la référence réglementaire)

L'Ampère (A), unité du courant, est l'une des sept unités de base du Système International d'unités (SI). Sa définition formelle est basée sur les forces électromagnétiques entre conducteurs.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La loi d'Ohm est réarrangée pour isoler le courant (I).

I_{\text{tot}} = \frac{U}{R_{\text{eq}}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la source de 24V est capable de fournir le courant calculé sans que sa tension ne chute, ce qui est la définition d'une source de tension idéale.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension d'alimentation	U	24	V
Résistance équivalente totale	\(R_{\text{eq}}\)	25	Ω

Astuces (Pour aller plus vite)

Avant de calculer, on peut faire une estimation. 24V divisé par 25Ω, c'est presque 25/25, donc le résultat doit être un peu inférieur à 1 Ampère. Cela permet de vérifier l'ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)

Calcul du courant sur le circuit équivalent

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du courant total I_tot par la loi d'Ohm :

\begin{aligned} I_{\text{tot}} &= \frac{U}{R_{\text{eq}}} \\ &= \frac{24 \, \text{V}}{25 \, \text{Ω}} \\ &= 0.96 \, \text{A} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Courant total dans le circuit équivalent

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un courant de 0.96 A (soit 960 milliampères) circulera dans le circuit. C'est une information cruciale en pratique pour choisir des fils de section appropriée et des protections (fusibles, disjoncteurs) capables de supporter ce courant sans surchauffe.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous que les unités sont cohérentes avant le calcul : la tension en Volts (V) et la résistance en Ohms (Ω). Le résultat sera alors directement en Ampères (A). Une erreur de conversion (kΩ, mV, etc.) est une source fréquente d'échec.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Concept Clé : La loi d'Ohm s'applique au circuit entier en utilisant ses grandeurs totales (\(U_{\text{tot}}, R_{\text{eq}}, I_{\text{tot}}\)).
Formule Essentielle : \(I = U / R\).
Point de Vigilance Majeur : Utiliser la résistance équivalente TOTALE.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Il existe une analogie hydraulique pour comprendre les circuits : la tension est comme la pression de l'eau (la hauteur d'un château d'eau), la résistance comme le diamètre d'un tuyau (un petit tuyau résiste plus à l'écoulement), et le courant comme le débit d'eau (litres par seconde).

FAQ (pour lever les doutes)

Que se passerait-il si on doublait la résistance équivalente ?

D'après la formule \(I = U/R\), si R double et U reste constant, le courant I sera divisé par deux. La résistance totale s'oppose au passage du courant.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le courant total fourni par le générateur est \(I_{\text{tot}} = 0.96 \, \text{A} \text{ (ou 960 mA)}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la tension d'alimentation était de 12V au lieu de 24V (avec \(R_{\text{eq}}=25\,\text{Ω}\)), quel serait le courant total ?

Question 5 : Calculer toutes les tensions et tous les courants

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous connaissons le courant total, nous allons "démonter" notre simplification, étape par étape, pour trouver les valeurs pour chaque composant. On part du plus général (courant total) pour aller au plus détaillé (courants et tensions de branche). C'est le chemin inverse de la simplification.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Deux nouvelles lois sont utiles ici :

Loi des mailles (Kirchhoff) : La somme des tensions dans une boucle fermée est nulle. Concrètement : \(U_{\text{source}} = U_{R1} + U_{R2} + \dots\). La tension fournie est entièrement "consommée" par les composants.
Diviseur de courant : Pour deux branches parallèles A et B, le courant dans la branche A (\(I_A\)) est : \(I_A = I_{\text{total}} \cdot \frac{R_B}{R_A + R_B}\). Notez que l'on utilise la résistance de l'autre branche au numérateur.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Soyez méthodique. Calculez d'abord les grandeurs relatives aux composants en série avec la source (comme R1), puis déduisez-en les grandeurs pour les blocs en parallèle. Ne sautez pas d'étapes.

Normes (la référence réglementaire)

Les lois de Kirchhoff (loi des nœuds et loi des mailles) sont, avec la loi d'Ohm, les fondations mathématiques de l'analyse de tous les circuits électriques linéaires.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Nous utiliserons une combinaison de formules déjà vues.

U_x = R_x \cdot I_x \quad \text{(Loi d'Ohm)}

U_{\text{tot}} = U_1 + U_{\text{bloc}} \quad \text{(Loi des mailles)}

I_2 = I_{\text{tot}} \cdot \frac{R_{34}}{R_2 + R_{34}} \quad \text{(Diviseur de courant)}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses d'idéalité du circuit sont conservées. Chaque composant se comporte exactement comme sa modélisation mathématique.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension d'alimentation	U	24	V
Courant Total	\(I_{\text{tot}}\)	0.96	A
Toutes les résistances	\(R_1, R_2, R_3, R_4, R_{34}\)	10, 20, 30, 30, 60	Ω

Astuces (Pour aller plus vite)

Une fois un des courants de branche calculé (ex: \(I_2\)), on peut trouver l'autre très rapidement avec la loi des nœuds : \(I_{34} = I_{\text{tot}} - I_2\). C'est souvent plus rapide que de refaire un calcul de diviseur de courant ou de tension.

Schéma (Avant les calculs)

Schéma du Circuit Électrique Mixte

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la tension U1 aux bornes de R1 :

\begin{aligned} U_1 &= R_1 \cdot I_{\text{tot}} \\ &= 10 \, \text{Ω} \cdot 0.96 \, \text{A} \\ &= 9.6 \, \text{V} \end{aligned}

Calcul de la tension U234 aux bornes du bloc parallèle :

\begin{aligned} U_{234} &= U - U_1 \\ &= 24 \, \text{V} - 9.6 \, \text{V} \\ &= 14.4 \, \text{V} \end{aligned}

Calcul du courant I2 dans la branche de R2 :

\begin{aligned} I_2 &= \frac{U_{234}}{R_2} \\ &= \frac{14.4 \, \text{V}}{20 \, \text{Ω}} \\ &= 0.72 \, \text{A} \end{aligned}

Calcul du courant I34 dans la branche de R3 et R4 :

\begin{aligned} I_{34} &= \frac{U_{234}}{R_{34}} \\ &= \frac{14.4 \, \text{V}}{60 \, \text{Ω}} \\ &= 0.24 \, \text{A} \end{aligned}

Tension U2 aux bornes de R2 :

U_2 = U_{234} = 14.4 \, \text{V}

Calcul de la tension U3 aux bornes de R3 :

\begin{aligned} U_3 &= R_3 \cdot I_{34} \\ &= 30 \, \text{Ω} \cdot 0.24 \, \text{A} \\ &= 7.2 \, \text{V} \end{aligned}

Calcul de la tension U4 aux bornes de R4 :

\begin{aligned} U_4 &= R_4 \cdot I_{34} \\ &= 30 \, \text{Ω} \cdot 0.24 \, \text{A} \\ &= 7.2 \, \text{V} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Circuit complet avec toutes les valeurs

Réflexions (l'interprétation du résultat)

On vérifie la cohérence :

Loi des nœuds : \(I_2 + I_{34} = 0.72 \, \text{A} + 0.24 \, \text{A} = 0.96 \, \text{A} = I_{\text{tot}}\). C'est correct.
Loi des mailles (branche du bas) : \(U_3 + U_4 = 7.2 \, \text{V} + 7.2 \, \text{V} = 14.4 \, \text{V} = U_{234}\). C'est correct.
Loi des mailles (circuit) : \(U_1 + U_2 = 9.6 \, \text{V} + 14.4 \, \text{V} = 24 \, \text{V} = U_{\text{source}}\). C'est correct.

Toutes les lois de la physique sont respectées, nos calculs sont cohérents.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur principale est d'appliquer un mauvais courant à une mauvaise résistance. Par exemple, utiliser \(I_{\text{tot}}\) pour calculer \(U_2\) est incorrect, car tout le courant ne passe pas dans R2. Il faut toujours se demander "Quel courant traverse précisément ce composant ?".

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Concept Clé : Le processus de "remontée" des calculs est l'inverse de la simplification.
Formule Essentielle : Combinaison de la loi d'Ohm, des mailles et des nœuds.
Point de Vigilance Majeur : Bien associer chaque courant à sa branche respective.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les simulateurs de circuits professionnels (comme SPICE) n'effectuent pas de simplifications comme nous. Ils posent un grand système d'équations basé sur les lois de Kirchhoff pour tous les nœuds et toutes les mailles, puis le résolvent mathématiquement à l'aide de matrices. Notre méthode manuelle est une façon intuitive de résoudre ce même système.

FAQ (pour lever les doutes)

Aurait-on pu utiliser le diviseur de courant de l'étape "Mini-Cours" ?

Oui, absolument. Pour \(I_2\) par exemple : \[ \begin{aligned} I_2 &= I_{\text{tot}} \cdot \frac{R_{34}}{R_2 + R_{34}} \\ &= 0.96 \cdot \frac{60}{20 + 60} \\ &= 0.96 \cdot \frac{60}{80} \\ &= 0.72 \, \text{A} \end{aligned} \] On retrouve le même résultat. C'est souvent plus rapide.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Synthèse des résultats :

\(U_1 = 9.6 \, \text{V}\)
\(U_2 = 14.4 \, \text{V}\)
\(U_3 = 7.2 \, \text{V}\)
\(U_4 = 7.2 \, \text{V}\)
\(I_{\text{tot}} = 0.96 \, \text{A}\)
\(I_2 = 0.72 \, \text{A}\)
\(I_{34} = 0.24 \, \text{A}\)

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec les valeurs de base, si R1 était un court-circuit (0 Ω), quelle serait la nouvelle tension \(U_2\) ?

Outil Interactif : Simulateur d'Influence

Utilisez les curseurs pour modifier la tension d'alimentation et la valeur de la résistance R2. Observez comment le courant total et la résistance équivalente du circuit réagissent en temps réel.

Paramètres d'Entrée

Tension d'alimentation (U) 24 V

Valeur de la résistance R2 20 Ω

Résultats Clés

Résistance Totale (R_eq) - Ω

Courant Total (I_tot) - A

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si deux résistances sont en série, quelle grandeur est obligatoirement la même pour les deux ?

La tension
Le courant
La puissance dissipée

2. Selon la loi d'Ohm, si on double la tension aux bornes d'une résistance sans changer sa valeur, le courant :

Double
Est divisé par deux
Reste identique

3. On ajoute une troisième résistance en parallèle à un groupe de deux résistances déjà en parallèle. La résistance équivalente totale va :

Augmenter
Rester la même
Diminuer

Tension (U): Aussi appelée différence de potentiel, elle représente la "force" qui pousse les charges électriques dans un circuit. Son unité est le Volt (V).
Courant (I): Le débit des charges électriques à travers un conducteur. C'est la quantité de charge qui passe en un point par unité de temps. Son unité est l'Ampère (A).
Résistance (R): La propriété d'un matériau à s'opposer au passage du courant électrique. Son unité est l'Ohm (Ω).
Circuit Série: Un montage où les composants sont connectés les uns à la suite des autres, formant un seul chemin pour le courant.
Circuit Parallèle: Un montage où les composants sont connectés aux mêmes deux points (nœuds), offrant plusieurs chemins pour le courant.

Analyse d’un Circuit Mixte

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma du Circuit Électrique Mixte

Questions à traiter

Les bases de l'analyse de circuits

Correction : Analyse d’un Circuit Électrique Mixte

Question 1 : Calculer la résistance équivalente \(R_{34}\)

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces (Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)

Branche avec R3 et R4 en série

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Branche simplifiée

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Question 2 : Calculer la résistance équivalente \(R_{234}\) du groupement parallèle

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces (Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)

Bloc parallèle R2 || R34

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Bloc parallèle simplifié

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Question 3 : En déduire la résistance totale équivalente \(R_{\text{eq}}\)

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces (Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)

Circuit avant simplification finale

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Circuit Équivalent Final

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Question 4 : Déterminer le courant total \(I_{\text{tot}}\)

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces (Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)