Analyse d’un Circuit Mixte
Comprendre l’Analyse d’un Circuit Mixte
Vous avez un circuit qui combine une configuration en série et en parallèle. Le circuit comprend une source de tension , trois résistances (, , ) où est en série avec le parallèle de et .
Questions:
1. Calculer la résistance équivalente du circuit complet.
2. Déterminer le courant total fourni par la source.
3. Calculer la tension à travers et le courant à travers chaque résistance.
4. Calculer la puissance dissipée dans chaque résistance.
Correction : Analyse d’un Circuit Mixte
1. Calcul de la Résistance Équivalente du Circuit Complet
1.1. Calcul de la Résistance Équivalente du Parallèle (\( R_{23} \))
Pour deux résistances en parallèle, la résistance équivalente se calcule à l’aide de la formule
\[ R_{eq(parallèle)} = \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3} \]
Données :
- \( R_2 = 20\,\Omega \)
- \( R_3 = 300\,\Omega \)
Calcul :
\[ R_{23} = \frac{20 \times 300}{20 + 300} = \frac{6000}{320} \] \[ R_{23} = 18,75\,\Omega \]
1.2. Calcul de la Résistance Équivalente Totale (\( R_{eq} \))
Le circuit se comporte comme une résistance en série entre \( R_1 \) et la branche parallèle \( R_{23} \). Pour des résistances en série, la résistance équivalente est la somme des résistances.
Formule :
\[ R_{eq} = R_1 + R_{23} \]
Données :
- \( R_1 = 100\,\Omega \)
- \( R_{23} = 18,75\,\Omega \)
Calcul :
\[ R_{eq} = 100 + 18,75 \] \[ R_{eq} = 118,75\,\Omega \]
2. Détermination du Courant Total Fournis par la Source
La loi d’Ohm permet de calculer le courant total dans un circuit lorsque la tension et la résistance équivalente sont connues.
Formule :
\[ I_{total} = \frac{V}{R_{eq}} \]
Données :
- \( V = 12\,V \)
- \( R_{eq} = 118,75\,\Omega \)
Calcul :
\[ I_{total} = \frac{12}{118,75} \approx 0,101\,A \]
3. Calcul de la Tension et du Courant pour Chaque Résistance
3.1. Tension et Courant à travers \( R_1 \)
La résistance \( R_1 \) est en série avec le reste du circuit, donc le courant qui la traverse est égal au courant total.
Formule (Loi d’Ohm) :
\[ V_{R_1} = I_{total} \times R_1 \]
Données :
- \( I_{total} \approx 0,101\,A \)
- \( R_1 = 100\,\Omega \)
Calcul :
\[ V_{R_1} = 0,101 \times 100 \] \[ V_{R_1} \approx 10,1\,V \]
Le courant à travers \( R_1 \) est donc \( I_{R_1} = 0,101\,A \).
3.2. Tension et Courant à travers la branche parallèle (\( R_2 \) et \( R_3 \))
La tension aux bornes d’un groupe de résistances en parallèle est identique pour chacune d’elles. La tension aux bornes de la branche parallèle se calcule en soustrayant la chute de tension sur \( R_1 \) de la tension totale de la source.
Formule :
\[ V_{parallèle} = V – V_{R_1} \]
Données :
- \( V = 12\,V \)
- \( V_{R_1} \approx 10,1\,V \)
Calcul :
\[ V_{parallèle} = 12 – 10,1 \] \[ V_{parallèle} = 1,9\,V \]
Pour \( R_2 \) :
Formule (Loi d’Ohm) :
\[ I_{R_2} = \frac{V_{parallèle}}{R_2} \]
Données :
- \( V_{parallèle} = 1,9\,V \)
- \( R_2 = 20\,\Omega \)
Calcul :
\[ I_{R_2} = \frac{1,9}{20} = 0,095\,A \]
Pour \( R_3 \) :
Formule (Loi d’Ohm) :
\[ I_{R_3} = \frac{V_{parallèle}}{R_3} \]
Données :
- \( V_{parallèle} = 1,9\,V \)
- \( R_3 = 300\,\Omega \)
Calcul :
\[ I_{R_3} = \frac{1,9}{300} \approx 0,00633\,A \]
Vérification : La somme des courants dans la branche parallèle doit être égale au courant total sortant de \( R_1 \) :
\[ I_{R_2} + I_{R_3} \approx 0,095 + 0,00633 \] \[ \approx 0,10133\,A \quad (\text{cohérent avec } I_{total} \approx 0,101\,A) \]
4. Calcul de la Puissance Dissipée dans Chaque Résistance
La puissance dissipée dans une résistance se calcule à l’aide de la formule :
\[ P = I^2 \times R \]
4.1. Puissance dans \( R_1 \)
Données :
- \( I_{R_1} \approx 0,101\,A \)
- \( R_1 = 100\,\Omega \)
Calcul :
\[ P_{R_1} = (0,101)^2 \times 100 \] \[ P_{R_1} \approx 0,010201 \times 100 \] \[ P_{R_1} \approx 1,0201\,W \]
4.2. Puissance dans \( R_2 \)
Données :
- \( I_{R_2} = 0,095\,A \)
- \( R_2 = 20\,\Omega \)
Calcul :
\[ P_{R_2} = (0,095)^2 \times 20 \approx 0,009025 \times 20 \] \[ P_{R_2} \approx 0,1805\,W \]
4.3. Puissance dans \( R_3 \)
Données :
- \( I_{R_3} \approx 0,00633\,A \)
- \( R_3 = 300\,\Omega \)
Calcul :
\[ P_{R_3} = (0,00633)^2 \times 300 \] \[ P_{R_3} \approx 0,00004007 \times 300 \] \[ P_{R_3} \approx 0,01202\,W \]
Analyse d’un Circuit Mixte
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