Analyse d’un Circuit RL avec Solénoïde

Analyse d’un Circuit RL avec Solénoïde

Comprendre l’Analyse d’un Circuit RL avec Solénoïde

Vous êtes un ingénieur en électronique travaillant sur la conception d’un circuit de commande pour un moteur électrique. Le circuit inclut un solénoïde utilisé pour activer un relais.

Pour assurer le bon fonctionnement du relais et éviter des pics de tension qui pourraient endommager d’autres composants, vous devez analyser le comportement de l’inductance du solénoïde lorsqu’il est alimenté par une source de tension continue.

Données fournies:

  • Longueur du solénoïde, \( L \): 30 cm (0.3 m)
  • Diamètre du solénoïde, \( d \): 2 cm (0.02 m)
  • Nombre total de spires, \( N \): 1000 spires
  • Perméabilité du vide, \( \mu_0 \): \( 4\pi \times 10^{-7} \) Henry/mètre (H/m)
  • Résistance du solénoïde, \( R \): 12 ohms
  • Tension de la source, \( V \): 12 volts

Questions:

1. Calculer l’inductance du solénoïde:

  • Utilisez la formule de l’inductance d’un solénoïde pour calculer son inductance.

2. Analyser le comportement du circuit RL:

  • Déterminez la constante de temps \( \tau \) du circuit, qui est le produit de la résistance \( R \) et de l’inductance \( L \).

3. Simuler la réponse du circuit:

  • Calculez la tension aux bornes de l’inductance et le courant dans le circuit à \( t = 0, \tau, 3\tau, \) et \( 5\tau \) après la fermeture de l’interrupteur.

Correction : Analyse d’un Circuit RL avec Solénoïde

1. Calcul de l’inductance du solénoïde

Pour déterminer l’inductance \(L\) du solénoïde, nous utilisons la formule:

\[ L = \frac{\mu_0 \times N^2 \times A}{l} \]

Calculons chaque composante de la formule:

  • Perméabilité du vide (\(\mu_0\)) = \(4\pi \times 10^{-7}\) H/m
  • Nombre de spires (\(N\)) = 1000
  • Longueur du solénoïde (\(l\)) = 0.3 m

Aire de la section transversale (\(A\)):

  • Diamètre (\(d\)) = 0.02 m
  • Rayon (\(r\)) = \(d/2\) = 0.01 m

\[ A = \pi \times r^2 \] \[ A = \pi \times (0.01)^2\, \text{m}^2 \] \[ A = 3.14159 \times 0.0001\, \text{m}^2 \] \[ A = 0.000314159\, \text{m}^2 \]

Substituons ces valeurs dans la formule:

\[ L = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 1000^2 \times 0.000314159}{0.3} \] \[
L \approx 0.001318 \text{ Henrys} \]

2. Analyse du comportement du circuit RL

La constante de temps \(\tau\) du circuit est donnée par la formule:

\[ \tau = L \times R \]

où \(R\) est la résistance du solénoïde.

Substituons les valeurs:

  • \(L \approx 0.001318\) H
  • \(R = 12\) ohms

\[ \tau = 0.001318 \times 12 \] \[ \tau = 0.015816\, \text{secondes} \]

3. Simulation de la réponse du circuit

La tension à travers l’inductance et le courant dans le circuit se calculent à partir de:

\[ I(t) = \frac{V}{R} \left(1 – e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \]

Calculons le courant à différents moments après la fermeture de l’interrupteur:

  • \(t = 0\) s:

\[ I(0) = \frac{12}{12} \left(1 – e^{-\frac{0}{0.015816}}\right) \] \[ I(0) = 0 \text{ A} \]

  • \(t = \tau\) (0.015816 s):

\[ I(\tau) = \frac{12}{12} \left(1 – e^{-1}\right) \] \[ I(\tau) \approx 1 – 0.3679 \] \[ I(\tau) = 0.6321 \text{ A} \]

  • \(t = 3\tau\) (0.047448 s):

\[ I(3\tau) = \frac{12}{12} \left(1 – e^{-3}\right) \] \[ I(3\tau) \approx 1 – 0.0498 \] \[ I(3\tau) = 0.9502 \text{ A} \]

  • \(t = 5\tau\) (0.07908 s):

\[ I(5\tau) = \frac{12}{12} \left(1 – e^{-5}\right) \] \[ I(5\tau) \approx 1 – 0.0067 \] \[ I(5\tau) = 0.9933 \text{ A} \]

Analyse d’un Circuit RL avec Solénoïde

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