Analyse d’un circuit RLC série
Comprendre l’Analyse d’un circuit RLC série
Considérez un circuit RLC série composé d’une résistance R, d’un condensateur C et d’une inductance L, tous connectés en série à une source de tension alternative \(V(t) = V_0 \sin(\omega t)\), où \(V_0\) est l’amplitude de la tension et \(\omega\) est la fréquence angulaire de la source.
Données :
- Résistance (R) : 100 Ω
- Capacité (C) : 47 µF (microfarads)
- Inductance (L) : 200 mH (millihenrys)
- Amplitude de la tension (V0) : 10 V
- Fréquence de la source (f) : 50 Hz
Questions :
1. Calcul de la fréquence angulaire : Convertissez la fréquence de la source en fréquence angulaire \(\omega\).
2. Impédance du circuit :
- Calculez l’impédance du condensateur (Z_C).
- Calculez l’impédance de l’inductance (Z_L).
- Déterminez l’impédance totale du circuit (Z_total).
3. Courant dans le circuit : Calculez l’amplitude du courant (I0) qui traverse le circuit en utilisant la tension de la source et l’impédance totale.
4. Déphasage : Déterminez le déphasage entre la tension de la source et le courant dans le circuit.
5. Puissance consommée : Calculez la puissance moyenne consommée par le circuit.
Correction : Analyse d’un circuit RLC série
1. Calcul de la fréquence angulaire
La fréquence angulaire \(\omega\) est liée à la fréquence \(f\) par la relation :
\[ \omega = 2\pi f \]
- Pour une fréquence f = 50 Hz :
\[ \omega = 2\pi \times 50 \] \[ \omega = 314.16 \, \text{rad/s} \]
2. Impédance du circuit
Impédance du condensateur (\(Z_C\)):
\[ Z_C = -\frac{1}{j\omega C} \] \[ = -\frac{1}{j \times 314.16 \times 47 \times 10^{-6}} \] \[ Z_C \approx -0 – 67.73j \, \Omega \]
Impédance de l’inductance (\(Z_L\)):
\[ Z_L = j\omega L \] \[ Z_L = j \times 314.16 \times 200 \times 10^{-3} \] \[ Z_L \approx 62.83j \, \Omega \]
Impédance totale du circuit (\(Z_{\text{total}}\)):
La résistance R, l’impédance du condensateur \(Z_C\), et l’impédance de l’inductance \(Z_L\) sont en série, donc :
\[ Z_{\text{total}} = R + Z_C + Z_L \] \[ Z_{\text{total}} = 100 + (-0 – 67.73j) + 62.83j \, \Omega \] \[ Z_{\text{total}} \approx 100 – 4.89j \, \Omega \]
3. Courant dans le circuit
L’amplitude du courant (\(I_0\)) est obtenue en divisant l’amplitude de la tension par l’impédance totale :
\[ I_0 = \frac{V_0}{|Z_{\text{total}}|} \] \[ I_0 = \frac{10}{\sqrt{100^2 + (-4.89)^2}} \] \[ I_0 \approx 0.0999 \, \text{A} \]
4. Déphasage
Le déphasage \(\phi\) entre la tension et le courant est donné par l’angle de l’impédance totale :
\[ \phi = \arctan\left(\frac{\text{Im}(Z_{\text{total}})}{\text{Re}(Z_{\text{total}})}\right) \] \[ \phi \approx \arctan\left(\frac{-4.89}{100}\right) \] \[ \phi \approx -0.0489 \, \text{rad} \]
Ce déphasage négatif signifie que le courant est légèrement en retard par rapport à la tension appliquée.
5. Puissance consommée
La puissance moyenne consommée (\(P_{\text{avg}}\)) est donnée par :
\[ P_{\text{avg}} = I_0^2 R \] \[ P_{\text{avg}} = (0.0999)^2 \times 100 \] \[ P_{\text{avg}} \approx 0.998 \, \text{W} \]
Analyse d’un circuit RLC série
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