Application du Théorème de Norton

Contexte : Le Théorème de NortonUn principe fondamental en électrocinétique qui permet de simplifier un circuit linéaire complexe en une source de courant équivalente en parallèle avec une résistance équivalente..

Le théorème de Norton est un outil extrêmement puissant pour l'analyse des circuits électriques. Il permet de remplacer n'importe quelle partie d'un circuit linéaire, aussi complexe soit-elle, par un modèle simplifié composé d'une unique source de courant et d'une résistance en parallèle. Cette simplification facilite grandement le calcul du courant et de la tension aux bornes d'un composant spécifique (la charge), sans avoir à résoudre l'ensemble du circuit à chaque fois que la charge change.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera pas à pas dans l'application de la méthode de Norton pour analyser un circuit contenant plusieurs sources. Vous apprendrez à déterminer les deux composantes essentielles de l'équivalent de Norton et à les utiliser pour calculer le courant dans une résistance de charge.

Objectifs Pédagogiques

Calculer le courant de NortonLe courant de court-circuit mesuré aux bornes de sortie du circuit. (\(I_N\)).
Déterminer la résistance de NortonLa résistance équivalente vue depuis les bornes de sortie, après avoir éteint toutes les sources indépendantes. (\(R_N\)).
Dessiner le circuit équivalent de Norton complet.
Calculer le courant traversant une résistance de charge à l'aide du modèle de Norton.

Données de l'étude

On considère le circuit électrique ci-dessous, composé de sources de tension et de courant continues, ainsi que de plusieurs résistances. L'objectif est de déterminer le courant \(I_L\) qui traverse la résistance de charge \(R_L\) en utilisant le théorème de Norton.

Schéma du Circuit Électrique

Composant	Symbole	Valeur
Source de Tension	V₁	28 V
Source de Courant	I₁	4 A
Résistance 1	R₁	4 Ω
Résistance de Charge	\(R_L\)	3 Ω

Questions à traiter

Déterminer le courant de court-circuit \(I_{CC}\) (ou courant de Norton \(I_N\)) circulant entre les bornes A et B.
Calculer la résistance équivalente de Norton \(R_N\) vue depuis les bornes A et B.
Dessiner le circuit équivalent de Norton du montage, en y reconnectant la charge \(R_L\).
À l'aide du modèle de Norton, calculer la valeur du courant \(I_L\) qui traverse la résistance de charge \(R_L\).

Les bases sur le Théorème de Norton

Le théorème de Norton énonce que tout circuit électrique linéaire dipolaire est équivalent à un générateur de courant idéal en parallèle avec une simple résistance.

1. Le Courant de Norton (\(I_N\))
C'est la première composante du modèle. Il est égal au courant de court-circuit (\(I_{CC}\)) qui circulerait entre les deux bornes de sortie (A et B) si on les reliait par un fil de résistance nulle.

2. La Résistance de Norton (\(R_N\))
C'est la seconde composante. Pour la calculer, on "éteint" toutes les sources indépendantes du circuit d'origine :

Les sources de tension sont remplacées par un court-circuit (un fil).
Les sources de courant sont remplacées par un circuit ouvert (une coupure).

On calcule ensuite la résistance équivalente vue depuis les bornes A et B. Il est à noter que \(R_N = R_{Th}\) (Résistance de Thévenin).

Correction : Application du Théorème de Norton

Question 1 : Calcul du courant de Norton (\(I_N\))

Principe (le concept physique)

Pour trouver le courant de Norton (\(I_N\)), on imagine ce qui se passerait si l'on connectait directement les bornes A et B avec un fil parfait (un court-circuit). \(I_N\) est simplement le courant total qui s'écoulerait à travers ce fil. Physiquement, c'est le courant maximum que le circuit peut "pousser" entre ces deux points.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul de \(I_N\) repose sur la Loi des Nœuds de Kirchhoff (KCL). Cette loi stipule que la somme des courants qui entrent dans un nœud (un point de connexion) est égale à la somme des courants qui en sortent. En court-circuitant A et B, le nœud A reçoit du courant de la branche de gauche (avec \(V_1\) et \(R_1\)) et de la branche du milieu (avec \(I_1\)). La somme de ces deux courants constitue le courant de court-circuit \(I_N\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour ne pas vous perdre, abordez le problème en deux temps : calculez d'abord la contribution de chaque source au courant de court-circuit indépendamment, puis additionnez-les. C'est une application implicite du principe de superposition. Identifiez tous les chemins par lesquels le courant peut arriver au nœud A.

Normes (la référence réglementaire)

Les calculs s'appuient sur des lois fondamentales de l'électrocinétique validées internationalement : la Loi d'Ohm et les Lois de Kirchhoff. Ces principes sont la base de toute analyse de circuit linéaire et sont standardisés dans tous les cursus d'ingénierie électrique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Loi d'Ohm

I = \frac{V}{R}

Loi des Nœuds

\sum I_{\text{entrant au nœud}} = \sum I_{\text{sortant du nœud}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :

Les composants sont idéaux : les sources de tension et de courant maintiennent leur valeur quelle que soit la charge.
Les fils de connexion ont une résistance nulle.
Le court-circuit entre A et B est parfait (résistance de 0 Ω).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Voici les valeurs de l'énoncé nécessaires pour cette question :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Source de Tension 1	\(V_1\)	28	V
Résistance 1	\(R_1\)	4	Ω
Source de Courant 1	\(I_1\)	4	A

Astuces (Pour aller plus vite)

Lorsqu'on court-circuite deux points, toute résistance qui se trouve en parallèle de ce court-circuit est "ignorée" par le courant, qui préférera toujours le chemin de moindre résistance (ici, 0 Ω). Dans notre cas, \(R_L\) est ainsi court-circuitée et n'intervient pas dans le calcul de \(I_N\).

Schéma (Avant les calculs)

Circuit avec court-circuit entre A et B

Calcul(s) (l'application numérique)

Courant issu de la branche V₁ (\(I_{V1}\))

\begin{aligned} I_{V1} &= \frac{V_1}{R_1} \\ &= \frac{28 \text{ V}}{4 \text{ Ω}} \\ &= 7 \text{ A} \end{aligned}

Courant issu de la branche I₁ (\(I_{I1}\))

I_{I1} = 4 \text{ A}

Courant de Norton (\(I_N\)) par la loi des nœuds en A

\begin{aligned} I_N &= I_{CC} \\ &= I_{V1} + I_{I1} \\ &= 7 \text{ A} + 4 \text{ A} \\ &= 11 \text{ A} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Convergence des courants pour \(I_N\)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat de 11 A représente le courant maximal que le circuit peut fournir entre les points A et B. C'est une caractéristique intrinsèque du circuit "vu" depuis ces bornes. Quelle que soit la charge que l'on branchera, le courant ne pourra jamais dépasser cette valeur.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier la contribution d'une des sources. Une autre erreur est de se tromper dans le sens des courants. Ici, \(V_1\) pousse un courant vers A et \(I_1\) pousse aussi un courant vers A, donc leurs effets s'additionnent. Si une source avait été inversée, il aurait fallu soustraire sa contribution.

Points à retenir (pour maîtriser la question)

Concept Clé : \(I_N\) est le courant de court-circuit entre les bornes d'intérêt.
Méthode : Remplacer la charge par un fil, puis appliquer la loi des nœuds au point de connexion.
Outils : Loi d'Ohm et Loi des Nœuds de Kirchhoff.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le théorème de Norton a été publié en 1926 par Edward Lawry Norton, un ingénieur chez Bell Labs. Il est le "dual" du théorème de Thévenin, publié bien avant, en 1883. La dualité tension/courant est un concept puissant en électricité, où chaque théorème basé sur la tension a un équivalent basé sur le courant.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le courant de Norton est \(I_N = 11 \text{ A}\).

A vous de jouer (pour vérifier la compréhension)

Supposez que la source de tension \(V_1\) vaille maintenant 40 V. Quel serait le nouveau courant de Norton \(I_N\) ?

Question 2 : Calcul de la résistance de Norton (\(R_N\))

Principe (le concept physique)

La résistance de Norton \(R_N\) représente la résistance "interne" du circuit, vue depuis les bornes A et B. C'est l'opposition globale que le circuit présente au passage du courant entre ces deux points, une fois que ses propres "moteurs" (les sources) sont mis à l'arrêt.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour mesurer une résistance, il faut qu'aucun courant ne soit généré par le circuit lui-même. C'est pourquoi on "éteint" les sources indépendantes :

Une source de tension idéale a une résistance interne nulle. L'éteindre revient à la remplacer par sa résistance interne, soit un fil (court-circuit).
Une source de courant idéale a une résistance interne infinie. L'éteindre revient à la remplacer par sa résistance interne, soit une coupure (circuit ouvert).

Une fois les sources éteintes, le circuit devient passif et on peut calculer sa résistance équivalente entre A et B.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'étape la plus importante est de redessiner le circuit après avoir éteint les sources. Cela simplifie considérablement la topologie du circuit et permet de voir immédiatement quelles résistances sont en série ou en parallèle. Ne faites pas le calcul de tête, un schéma vaut mille mots !

Normes (la référence réglementaire)

La méthode pour "éteindre" les sources et calculer la résistance équivalente est une procédure standard de l'analyse de circuits linéaires, découlant directement de la définition des sources idéales.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Résistances en parallèle (formule générale)

R_{\text{eq}} = \left( \sum_i \frac{1}{R_i} \right)^{-1}

Résistances en parallèle (deux résistances)

R_{\text{eq}} = \frac{R_a \cdot R_b}{R_a + R_b}

Résistances en série

R_{\text{eq}} = \sum_i R_i

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les sources sont indépendantes et idéales, ce qui nous permet de les remplacer par un court-circuit (pour la tension) ou un circuit ouvert (pour le courant).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

La seule résistance pertinente du circuit original pour ce calcul est \(R_1\).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance 1	\(R_1\)	4	Ω

Astuces (Pour aller plus vite)

Rappelez-vous que la Résistance de Norton (\(R_N\)) est toujours identique à la Résistance de Thévenin (\(R_{Th}\)). Si vous avez calculé l'une, vous connaissez l'autre. C'est un excellent moyen de vérifier vos calculs si vous résolvez un problème avec les deux méthodes.

Schéma (Avant les calculs)

Circuit pour le calcul de \(R_N\)

Calcul(s) (l'application numérique)

En regardant depuis les bornes A et B, la branche de la source de courant est ouverte et donc ignorée. La seule résistance visible est \(R_1\), connectée entre le noeud A (fil du haut) et le noeud B (fil du bas, la masse), car la source \(V_1\) est maintenant un court-circuit.

Résistance équivalente vue depuis A-B

R_N = R_1 = 4 \text{ Ω}

Schéma (Après les calculs)

Résistance Équivalente

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette valeur de 4 Ω signifie que tout le circuit complexe à gauche des bornes A et B se comporte, du point de vue de la charge, exactement comme une simple résistance de 4 Ω. C'est la "résistance interne" de notre générateur de Norton.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est d'inverser la manière de traiter les sources : mettre une source de tension en circuit ouvert ou une source de courant en court-circuit. Retenez : Tension = 0V = fil (court-circuit), Courant = 0A = coupure (circuit ouvert).

Points à retenir (pour maîtriser la question)

Concept Clé : \(R_N\) est la résistance équivalente du circuit "passif" (sources éteintes).
Méthode : Remplacer les sources de tension par des fils et les sources de courant par des coupures.
Principe : \(R_N\) est identique à \(R_{Th}\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de "regarder en arrière" dans un circuit pour trouver une résistance équivalente est la base de l'adaptation d'impédance. Pour transférer la puissance maximale d'une source vers une charge, l'impédance de la charge doit être le complexe conjugué de l'impédance de la source (ou égale, en courant continu). Connaître \(R_N\) est donc essentiel pour optimiser le transfert de puissance.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La résistance de Norton est \(R_N = 4 \text{ Ω}\).

A vous de jouer (pour vérifier la compréhension)

Imaginez qu'on ajoute une résistance \(R_2 = 4 \text{ Ω}\) en série avec la source de courant \(I_1\). Quelle serait la nouvelle valeur de \(R_N\) ? (Attention : la résistance \(R_2\) serait alors dans une branche ouverte...)

Question 3 : Dessin du circuit équivalent de Norton

Principe

Le circuit équivalent de Norton représente la simplification ultime du circuit original vu des bornes A et B. Il est constitué de la source de courant \(I_N\) (calculée en Q1) placée en parallèle avec la résistance \(R_N\) (calculée en Q2). La résistance de charge \(R_L\), qui avait été temporairement retirée, est ensuite reconnectée aux bornes A et B de ce modèle simplifié.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le modèle de Norton est un générateur de courant réel. Il est composé d'une source de courant idéale (\(I_N\)) qui débite un courant constant, et d'une résistance interne (\(R_N\)) en parallèle qui représente les imperfections et les limitations du circuit original. La tension aux bornes A et B dépendra du courant qui circule effectivement dans \(R_N\).

Schéma (Circuit Équivalent)

Circuit Équivalent de Norton avec Charge

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ce schéma est la clé pour simplifier le calcul final. Peu importe la complexité du circuit original, l'analyse se résume maintenant à un simple circuit parallèle avec une source de courant et deux résistances. C'est toute la puissance du théorème de Norton.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous de connecter \(R_N\) en parallèle avec \(I_N\). Une connexion en série correspondrait au modèle de Thévenin (avec une source de tension). Vérifiez aussi que le sens de la flèche de \(I_N\) est correct (généralement dirigé de B vers A si on calcule le courant sortant par A, ou de A vers B si on calcule le courant entrant en A comme ici).

Points à retenir

Le modèle équivalent de Norton consiste TOUJOURS en une source de courant \(I_N\) en PARALLÈLE avec une résistance \(R_N\).

Question 4 : Calcul du courant de charge \(I_L\)

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous avons notre circuit simplifié (le générateur de Norton), le courant total \(I_N\) qu'il génère arrive à un carrefour (le nœud A). Il a alors le choix entre deux chemins : passer par la résistance interne \(R_N\) ou par la résistance de charge \(R_L\). Le courant va se diviser entre ces deux branches, de manière inversement proportionnelle à leur résistance.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce partage de courant est régi par la loi du diviseur de courant. Dans un circuit avec deux résistances en parallèle (\(R_N\) et \(R_L\)), le courant \(I_L\) traversant \(R_L\) est une fraction du courant total \(I_N\). Cette fraction est déterminée par le rapport de la résistance de l'autre branche (\(R_N\)) sur la somme des résistances (\(R_N + R_L\)).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Faites attention à la formule du diviseur de courant : pour calculer le courant dans une branche, on met la résistance de l'autre branche au numérateur. C'est l'inverse du diviseur de tension, où l'on met la même résistance au numérateur. C'est une source d'erreur fréquente.

Normes (la référence réglementaire)

La formule du diviseur de courant est une application directe et standard de la loi d'Ohm et de la loi des nœuds de Kirchhoff pour les circuits parallèles.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du Diviseur de Courant

I_L = I_{\text{Total}} \cdot \frac{R_{\text{autre branche}}}{R_{\text{autre branche}} + R_{\text{branche mesurée}}}

Application au circuit de Norton

I_L = I_N \cdot \frac{R_N}{R_N + R_L}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous supposons que le modèle équivalent de Norton que nous avons calculé est une représentation fidèle du circuit original, vu des bornes A et B.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Nous utilisons les résultats des questions précédentes et les données de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Courant de Norton	\(I_N\)	11	A
Résistance de Norton	\(R_N\)	4	Ω
Résistance de Charge	\(R_L\)	3	Ω

Astuces (Pour aller plus vite)

Avant de calculer, comparez \(R_N\) et \(R_L\). Ici, \(R_N\) (4 Ω) est légèrement plus grande que \(R_L\) (3 Ω). Le courant préférant le chemin le plus facile, on peut prédire que \(I_L\) sera légèrement supérieur à la moitié de \(I_N\) (qui serait 5.5 A). Cela donne un bon ordre de grandeur pour vérifier le résultat final.

Schéma (Avant les calculs)

Application du Diviseur de Courant

Calcul(s) (l'application numérique)

Application de la formule du diviseur de courant

\begin{aligned} I_L &= I_N \cdot \frac{R_N}{R_N + R_L} \\ &= 11 \text{ A} \cdot \frac{4 \text{ Ω}}{4 \text{ Ω} + 3 \text{ Ω}} \\ &= 11 \text{ A} \cdot \frac{4}{7} \end{aligned}

Résultat numérique

I_L \approx 6.286 \text{ A}

Schéma (Après les calculs)

Répartition finale du courant

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat de 6.29 A est conforme à notre estimation : il est bien supérieur à la moitié de 11 A (5.5 A), car la résistance de charge \(R_L\) (3 Ω) est plus faible que la résistance interne \(R_N\) (4 Ω) et attire donc une plus grande part du courant total. On peut vérifier que \(4.71 A + 6.29 A = 11 A\), respectant la loi des nœuds.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne vous trompez pas dans la formule du diviseur de courant ! C'est bien \(R_N\) (l'autre résistance) qui est au numérateur, et non \(R_L\). Une bonne façon de s'en souvenir est que si \(R_L\) était nulle (un court-circuit), tout le courant devrait la traverser, et la formule \(I_N \cdot (R_N / (R_N + 0))\) donne bien \(I_N\).

Points à retenir (pour maîtriser la question)

Concept Clé : Le courant se divise dans les branches parallèles.
Outil : La formule du diviseur de courant est l'outil final pour exploiter le modèle de Norton.
Logique : Plus une branche est résistante, moins elle reçoit de courant.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le théorème de Norton est équivalent au théorème de Thévenin. On peut passer de l'un à l'autre par les relations \(V_{Th} = I_N \cdot R_N\) et \(R_{Th} = R_N\). Pour notre exercice, \(V_{Th} = 11 A \cdot 4 \Omega = 44 V\). En utilisant Thévenin, \(I_L = V_{Th} / (R_{Th} + R_L) = 44 / (4 + 3) \approx 6.286 A\). Le résultat est identique !

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le courant traversant la résistance de charge est \(I_L \approx 6.29 \text{ A}\).

A vous de jouer (pour vérifier la compréhension)

Avec le même circuit de Norton (\(I_N = 11A\), \(R_N = 4\Omega\)), que deviendrait le courant \(I_L\) si la résistance de charge \(R_L\) était de 7 Ω ?

Outil Interactif : Simulateur Norton

Utilisez les curseurs ci-dessous pour faire varier la tension de la source \(V_1\) et la valeur de la résistance de charge \(R_L\). Observez en temps réel l'impact sur le courant de Norton \(I_N\) et sur le courant de charge \(I_L\).

Paramètres d'Entrée

Tension Source V₁ (V) 28 V

Résistance de Charge \(R_L\) (Ω) 3 Ω

Résultats Clés

Courant de Norton \(I_N\) (A) -

Courant de Charge \(I_L\) (A) -

Glossaire

Courant de Norton (\(I_N\)): Le courant qui circulerait à travers un court-circuit placé entre les bornes de sortie d'un circuit linéaire. C'est la valeur de la source de courant dans le modèle équivalent de Norton.
Résistance de Norton (\(R_N\)): La résistance équivalente d'un circuit vue depuis ses bornes de sortie, une fois que toutes les sources de tension indépendantes ont été remplacées par des courts-circuits et toutes les sources de courant indépendantes par des circuits ouverts.
Diviseur de courant: Une loi de l'électronique qui permet de calculer la répartition d'un courant dans les différentes branches d'un circuit parallèle.
Source de tension idéale: Un composant théorique qui fournit une tension constante, quelle que soit la valeur du courant qui le traverse. Sa résistance interne est nulle.
Source de courant idéale: Un composant théorique qui fournit un courant constant, quelle que soit la valeur de la tension à ses bornes. Sa résistance interne est infinie.