Application du Théorème de Norton

Application du Théorème de Norton

Comprendre l’Application du Théorème de Norton

Objectif: Transformer un circuit donné en son équivalent Norton et calculer le courant dans une charge spécifique connectée à cet équivalent.

Description du circuit

Considérons un circuit composé des éléments suivants :

  • Une source de tension \( V_s = 12 \, \text{V} \)
  • Une résistance \( R_1 = 6 \, \Omega \)
  • Une résistance \( R_2 = 3 \, \Omega \)
  • Une résistance \( R_3 = 3 \, \Omega \)

La source de tension et \( R_1 \) sont en série, et ce groupe est en parallèle avec \( R_2 \). \( R_3 \) est connectée en série à ce montage parallèle, formant une charge externe au reste du circuit.

Le but est de déterminer le courant traversant \( R_3 \) en utilisant le théorème de Norton.

Diagramme du circuit

Application du Théorème de Norton

Instructions:

1. Trouver l’équivalent de Norton jusqu’aux bornes de \( R_3 \):

  • Calculez la résistance de Norton \( R_N \) en éteignant la source de tension (remplacer \( V_s \) par un court-circuit) et en calculant la résistance équivalente vue de \( R_2 \) et \( R_1 \).
  • Déterminez le courant de Norton \( I_N \) en trouvant le courant total qui passerait à travers un court-circuit placé à la place de \( R_3 \).

2. Calcul du courant dans \( R_3 \):

  • Utilisez l’équivalent de Norton pour calculer le courant à travers \( R_3 \) lorsque \( R_3 \) est reconnectée au circuit.

Correction : Application du Théorème de Norton

1. Calcul de l’équivalent de Norton

A. Calcul de la résistance de Norton \( R_N \)

Pour calculer \( R_N \), nous devons éteindre toutes les sources de tension (remplacer \( V_s \) par un court-circuit) et trouver la résistance vue des bornes où \( R_3 \) est connectée. \( R_1 \) et \( R_2 \) sont maintenant en parallèle car la source \( V_s \) est court-circuitée.

  • Résistances en parallèle ( \( R_1 \) et \( R_2 \) ):

\[ R_{\text{parallel}} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} \] \[ R_{\text{parallel}} = \frac{6 \, \Omega \times 3 \, \Omega}{6 \, \Omega + 3 \, \Omega} \] \[ R_{\text{parallel}} = \frac{18}{9} = 2 \, \Omega \]

B. Calcul du courant de Norton \( I_N \)

Pour calculer \( I_N \), nous allons réactiver la source de tension \( V_s \) et calculer le courant total à travers un court-circuit hypothétique remplaçant \( R_3 \). Ce courant est équivalent au courant traversant \( R_{\text{parallel}} \).

  • Courant de court-circuit \( I_{\text{cc}} \) (également \( I_N \)) :

\[ I_{\text{cc}} = \frac{V_s}{R_{\text{parallel}}} \] \[ I_{\text{cc}} = \frac{12 \, \text{V}}{2 \, \Omega} = 6 \, \text{A} \]

2. Calcul du courant dans \( R_3 \) avec l’équivalent de Norton

L’équivalent de Norton pour notre circuit est une source de courant de \( 6 \, A \) en parallèle avec une résistance de \( 2 \, \Omega \) et \( R_3 = 3 \, \Omega \) reconnectée au circuit.

Calcul de la résistance totale pour le courant \( I_3 \):

\[ R_{\text{total}} = \frac{R_N \times R_3}{R_N + R_3} \] \[ R_{\text{total}} = \frac{2 \, \Omega \times 3 \, \Omega}{2 \, \Omega + 3 \, \Omega} \] \[ R_{\text{total}} = \frac{6}{5} = 1.2 \, \Omega \]

Calcul du courant dans \( R_3 \) en utilisant l’équivalent de Norton:

\[ I_3 = I_N \times \frac{R_N}{R_N + R_3} \] \[ I_3 = 6 \, \text{A} \times \frac{2 \, \Omega}{2 \, \Omega + 3 \, \Omega} \] \[ I_3 = 6 \, \text{A} \times \frac{2}{5} \] \[ I_3 = 2.4 \, \text{A} \]

Résumé des résultats:

  • Résistance de Norton, \( R_N \): \( 2 \, \Omega \)
  • Courant de Norton, \( I_N \): \( 6 \, A \)
  • Courant dans \( R_3 \): \( 2.4 \, A \)

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