Calcul de la constante k de Coulomb

Comprendre le Calcul de la constante k de Coulomb

Dans le cadre de l’électromagnétisme, la constante \( k \) est cruciale pour décrire la force entre deux charges électriques. Selon la loi de Coulomb, la force électrostatique \( F \) entre deux charges ponctuelles \( q_1 \) et \( q_2 \), séparées par une distance \( r \), est directement proportionnelle au produit des charges et inversement proportionnelle au carré de la distance entre elles. La constante de proportionnalité \( k \) varie en fonction du système d’unités utilisé.

Données:

\( q_1 = 1.5 \times 10^{-6} \) C

\( q_2 = 3.0 \times 10^{-6} \) C

\( r = 0.5 \) m

\( F = 0.9 \) N

1. Calcul de la constante k

À partir de la loi de Coulomb, on a : \[ k = \frac{F \, r^{2}}{q_{1}\,q_{2}} \]

Calculs détaillés

1. Calcul de \(r^{2}\) : \[ r^{2} = (0.5\ \text{m})^{2} \] \[ r^{2} = 0.25\ \text{m}^{2} \]

2. Numérateur \(F \cdot r^{2}\) : \[ F \cdot r^{2} = 0.9\ \text{N} \times 0.25\ \text{m}^{2} \] \[ F \cdot r^{2} = 0.225\ \text{N}\cdot\text{m}^{2} \]

3. Produit des charges \(q_{1}\,q_{2}\) : \[ q_{1}\,q_{2} = (1.5\times10^{-6}\ \text{C}) \times (3.0\times10^{-6}\ \text{C}) = 4.5\times10^{-12}\ \text{C}^{2} \]

4. Substitution dans l’équation : \[ k = \frac{0.225\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}}{4.5\times10^{-12}\ \text{C}^{2}} \]

5. Calcul final de k : Divisons 0.225 par 4.5 : \[ \frac{0.225}{4.5} = 0.05 \] Puis, en intégrant la puissance de 10 : \[ k = 0.05 \times 10^{12}\ \frac{\text{N}\cdot\text{m}^{2}}{\text{C}^{2}} \] \[ k = 5.0\times10^{10}\ \frac{\text{N}\cdot\text{m}^{2}}{\text{C}^{2}} \]

Résultat :

\[ k = 5.0\times10^{10}\ \frac{\text{N}\cdot\text{m}^{2}}{\text{C}^{2}} \]

2. Vérification des unités de k

Analyse :

\[ F = k \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2} \]

\( f\) est en Newtons (N)

\( q_{1}\,q_{2} \) sont en Coulombs (C)

\( r \) est en mètres (m).

Dimensionnellement, \[ [k] = \frac{[\text{N}]\,[\text{m}]^{2}}{[\text{C}]^{2}} = \text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}^{2} \] Ce qui est cohérent avec la définition de la constante de Coulomb.

3. Impact physique de la valeur de \(k\)

Rôle de k dans la Loi de Coulomb

La constante k détermine l’intensité de l’interaction électrostatique. Une valeur élevée de k augmente la force F pour des charges et distances données.

Effet des modifications des paramètres

Variation des Charges \( q_{1}\,q_{2} \) :

Augmentation des charges :

Si l’une ou l’autre des charges augmente, leur produit \( q_{1}\,q_{2} \) augmente, ce qui, induira une augmentation proportionnelle de la force \( f \)

Diminution des charges :

Si les charges diminuent, le produit diminue et la force \( f\) en sera réduite.

Variation de la Distance \( r \) :

Augmentation de la distance :

La force \( f\) varie inversement avec le carré de la distance \( r \) c’est-à-dire \[ F \propto \frac{1}{r^2} \] . Une petite augmentation de \( r \) a donc un effet important en diminuant considérablement \( F \).

Diminution de la distance :

En réduisant \( r \) , la force \( F \) augmente de manière quadratique, ce qui renforce fortement l’interaction entre les charges.

Rôle de \( k \) comme Facteur de Pondération :

La valeur de \( k \) est déterminée par le milieu dans lequel les charges se trouvent (par exemple, dans le vide, \[ k \approx 8.988 \times 10^9 \,\mathrm{N\cdot m^2/C^2} \] ). Dans notre cas, en ayant trouvé \[ k = 5.0 \times 10^{10} \,\mathrm{N\cdot m^2/C^2} \] , on constate que dans le problème, soit les données représentent une situation particulière ou un milieu différent, soit elles sont choisies pour illustrer le calcul.

La valeur élevée de \( k \) entraîne une force électrostatique plus importante pour des charges données, même si l’ordre de grandeur n’est pas typique du vide.