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Exercices Électricité

Calcul de la Densité de Charge

Calcul de la Densité de Charge

Calcul de la Densité de Charge

Comprendre la Densité de Charge

La densité de charge décrit comment la charge électrique est distribuée dans un objet ou une région de l'espace. Selon la géométrie de la distribution, on distingue principalement trois types de densités de charge : la densité de charge linéique (\(\lambda\)) pour les distributions sur une ligne (charge par unité de longueur), la densité de charge surfacique (\(\sigma\)) pour les distributions sur une surface (charge par unité de surface), et la densité de charge volumique (\(\rho\)) pour les distributions dans un volume (charge par unité de volume). La connaissance de ces densités est cruciale pour calculer les champs électriques et les potentiels créés par des distributions de charges, en utilisant par exemple la loi de Gauss ou l'intégration directe.

Données de l'étude

On considère trois objets chargés distincts : un fil rectiligne, un disque mince et une sphère pleine. On suppose que la charge est uniformément répartie sur chaque objet.

Caractéristiques des objets chargés :

  • Objet 1 : Un fil rectiligne de longueur \(L = 20 \, \text{cm}\) portant une charge totale \(Q_{fil} = +40 \, \text{nC}\).
  • Objet 2 : Un disque mince de rayon \(R = 10 \, \text{cm}\) portant une charge totale \(Q_{disque} = -60 \, \text{nC}\).
  • Objet 3 : Une sphère pleine de rayon \(a = 5 \, \text{cm}\) portant une charge totale \(Q_{sphere} = +80 \, \text{nC}\).
Schéma : Exemples de Distributions de Charges
Fil (λ) L - - - Disque (σ) R +++ Sphère (ρ) a Distributions de Charges

Représentation d'un fil, d'un disque et d'une sphère avec leurs charges respectives.

Questions à traiter

  1. Calculer la densité de charge linéique (\(\lambda\)) du fil en C/m.
  2. Calculer l'aire (\(S_{disque}\)) du disque en \(\text{m}^2\).
  3. Calculer la densité de charge surfacique (\(\sigma\)) du disque en \(\text{C/m}^2\).
  4. Calculer le volume (\(V_{sphere}\)) de la sphère en \(\text{m}^3\).
  5. Calculer la densité de charge volumique (\(\rho\)) de la sphère en \(\text{C/m}^3\).
  6. Si on prélève une longueur \(\Delta L = 1 \, \text{cm}\) du fil, quelle est la charge \(\Delta Q_{fil}\) contenue dans cette section ?

Correction : Calcul de la Densité de Charge

Question 1 : Densité de charge linéique (\(\lambda\)) du fil

Principe :

La densité de charge linéique (\(\lambda\)) est la charge totale (\(Q_{fil}\)) répartie sur la longueur (\(L\)) du fil. On suppose une distribution uniforme.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\lambda = \frac{Q_{fil}}{L}\]
Données spécifiques (converties en unités SI) :
  • Charge totale du fil (\(Q_{fil}\)) : \(+40 \, \text{nC} = +40 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • Longueur du fil (\(L\)) : \(20 \, \text{cm} = 0.20 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \lambda &= \frac{40 \times 10^{-9} \, \text{C}}{0.20 \, \text{m}} \\ &= \frac{40}{0.20} \times 10^{-9} \, \text{C/m} \\ &= 200 \times 10^{-9} \, \text{C/m} \\ &= 2 \times 10^{-7} \, \text{C/m} \quad (\text{ou } 200 \, \text{nC/m}) \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La densité de charge linéique du fil est \(\lambda = 2 \times 10^{-7} \, \text{C/m}\) (ou \(200 \, \text{nC/m}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : L'unité de la densité de charge linéique est :

Question 2 : Aire (\(S_{disque}\)) du disque

Principe :

L'aire d'un disque de rayon \(R\) est donnée par la formule \(S = \pi R^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[S_{disque} = \pi R^2\]
Données spécifiques (converties en unités SI) :
  • Rayon du disque (\(R\)) : \(10 \, \text{cm} = 0.10 \, \text{m}\)
  • \(\pi \approx 3.14159\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} S_{disque} &= \pi \times (0.10 \, \text{m})^2 \\ &= \pi \times 0.01 \, \text{m}^2 \\ &\approx 3.14159 \times 0.01 \, \text{m}^2 \\ &\approx 0.0314159 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'aire du disque est \(S_{disque} \approx 0.0314 \, \text{m}^2\).

Question 3 : Densité de charge surfacique (\(\sigma\)) du disque

Principe :

La densité de charge surfacique (\(\sigma\)) est la charge totale (\(Q_{disque}\)) répartie sur l'aire (\(S_{disque}\)) du disque. On suppose une distribution uniforme.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma = \frac{Q_{disque}}{S_{disque}}\]
Données spécifiques :
  • Charge totale du disque (\(Q_{disque}\)) : \(-60 \, \text{nC} = -60 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • Aire du disque (\(S_{disque}\)) : \(\approx 0.0314159 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma &= \frac{-60 \times 10^{-9} \, \text{C}}{0.0314159 \, \text{m}^2} \\ &\approx -1909.86 \times 10^{-9} \, \text{C/m}^2 \\ &\approx -1.91 \times 10^{-6} \, \text{C/m}^2 \quad (\text{ou } -1.91 \, \mu\text{C/m}^2) \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La densité de charge surfacique du disque est \(\sigma \approx -1.91 \times 10^{-6} \, \text{C/m}^2\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la charge totale sur une surface double et que la surface reste la même, la densité de charge surfacique :

Question 4 : Volume (\(V_{sphere}\)) de la sphère

Principe :

Le volume d'une sphère de rayon \(a\) est donné par la formule \(V = \frac{4}{3} \pi a^3\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{sphere} = \frac{4}{3} \pi a^3\]
Données spécifiques (converties en unités SI) :
  • Rayon de la sphère (\(a\)) : \(5 \, \text{cm} = 0.05 \, \text{m}\)
  • \(\pi \approx 3.14159\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{sphere} &= \frac{4}{3} \pi (0.05 \, \text{m})^3 \\ &= \frac{4}{3} \pi (0.000125 \, \text{m}^3) \\ &\approx \frac{4}{3} \times 3.14159 \times 0.000125 \, \text{m}^3 \\ &\approx 1.3333 \times 3.14159 \times 0.000125 \, \text{m}^3 \\ &\approx 0.0005236 \, \text{m}^3 \\ &= 5.236 \times 10^{-4} \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le volume de la sphère est \(V_{sphere} \approx 5.236 \times 10^{-4} \, \text{m}^3\).

Question 5 : Densité de charge volumique (\(\rho\)) de la sphère

Principe :

La densité de charge volumique (\(\rho\)) est la charge totale (\(Q_{sphere}\)) répartie dans le volume (\(V_{sphere}\)) de la sphère. On suppose une distribution uniforme.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\rho = \frac{Q_{sphere}}{V_{sphere}}\]
Données spécifiques :
  • Charge totale de la sphère (\(Q_{sphere}\)) : \(+80 \, \text{nC} = +80 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • Volume de la sphère (\(V_{sphere}\)) : \(\approx 5.236 \times 10^{-4} \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \rho &= \frac{80 \times 10^{-9} \, \text{C}}{5.236 \times 10^{-4} \, \text{m}^3} \\ &\approx \frac{80}{5.236} \times 10^{-9 - (-4)} \, \text{C/m}^3 \\ &\approx 15.28 \times 10^{-5} \, \text{C/m}^3 \\ &\approx 1.528 \times 10^{-4} \, \text{C/m}^3 \quad (\text{ou } 152.8 \, \mu\text{C/m}^3) \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La densité de charge volumique de la sphère est \(\rho \approx 1.53 \times 10^{-4} \, \text{C/m}^3\).

Quiz Intermédiaire 5 : Si le rayon d'une sphère chargée uniformément double, et que la charge totale reste la même, la densité de charge volumique :

Question 6 : Charge \(\Delta Q_{fil}\) dans une section \(\Delta L\) du fil

Principe :

Si la charge est uniformément répartie sur le fil avec une densité linéique \(\lambda\), la charge contenue dans une petite longueur \(\Delta L\) est simplement le produit de \(\lambda\) et \(\Delta L\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta Q_{fil} = \lambda \cdot \Delta L\]
Données spécifiques (converties en unités SI) :
  • Densité de charge linéique (\(\lambda\)) : \(2 \times 10^{-7} \, \text{C/m}\)
  • Longueur de la section (\(\Delta L\)) : \(1 \, \text{cm} = 0.01 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta Q_{fil} &= (2 \times 10^{-7} \, \text{C/m}) \times (0.01 \, \text{m}) \\ &= 2 \times 10^{-7} \times 10^{-2} \, \text{C} \\ &= 2 \times 10^{-9} \, \text{C} \\ &= 2 \, \text{nC} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La charge contenue dans une section de \(1 \, \text{cm}\) du fil est \(\Delta Q_{fil} = 2 \, \text{nC}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Laquelle de ces unités n'est PAS une unité de densité de charge ?

2. Si une charge \(Q\) est uniformément répartie sur une surface \(S\), la densité de charge surfacique \(\sigma\) est donnée par :

3. Pour une distribution de charge volumique uniforme \(\rho\) dans une sphère de rayon \(a\), la charge totale \(Q\) est :

Glossaire

Charge Électrique (\(Q\))
Propriété fondamentale de la matière responsable des interactions électromagnétiques. Elle peut être positive ou négative. Unité SI : Coulomb (C).
Densité de Charge Linéique (\(\lambda\))
Charge électrique par unité de longueur. Utilisée pour décrire la distribution de charge sur un fil ou une ligne. Unité SI : Coulomb par mètre (C/m).
Densité de Charge Surfacique (\(\sigma\))
Charge électrique par unité de surface. Utilisée pour décrire la distribution de charge sur une surface. Unité SI : Coulomb par mètre carré (C/m²).
Densité de Charge Volumique (\(\rho\))
Charge électrique par unité de volume. Utilisée pour décrire la distribution de charge dans un volume tridimensionnel. Unité SI : Coulomb par mètre cube (C/m³).
Distribution Uniforme de Charge
Situation où la densité de charge est constante sur toute la longueur, la surface ou le volume considéré.
Loi de Gauss
Loi fondamentale de l'électrostatique qui relie le flux du champ électrique à travers une surface fermée à la charge électrique totale enfermée par cette surface.
Calcul de la Densité de Charge - Exercice d'Application

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